je mnohostěn, který je tvořen základnou jehlanu a řezem s ní rovnoběžným. Můžeme říci, že komolý jehlan je pyramida s odříznutým vrcholem. Tato postava má mnoho jedinečných vlastností:

• Boční stěny pyramidy jsou lichoběžníky;
• Boční hrany pravidelného komolého jehlanu jsou stejně dlouhé a skloněné k základně pod stejným úhlem;
• Základy jsou podobné polygony;
• V pravidelné komolé pyramidě jsou tváře identické rovnoramenné lichoběžníky, jejichž plocha je stejná. Jsou také nakloněny k základně pod jedním úhlem.

Vzorec pro plochu bočního povrchu komolého jehlanu je součet ploch jeho stran:

Protože strany komolého jehlanu jsou lichoběžníky, pro výpočet parametrů budete muset použít vzorec lichoběžníková oblast. U běžného komolého jehlanu můžete použít jiný vzorec pro výpočet plochy. Protože všechny jeho strany, plochy a úhly na základně jsou stejné, je možné použít obvody základny a apotému a také odvodit plochu přes úhel v základně.

Je-li podle podmínek v pravidelném komolém jehlanu uvedena apotéma (výška strany) a délky stran podstavy, pak lze plochu vypočítat prostřednictvím polovičního součinu součtu obvodů základny. základy a apotéma:

Podívejme se na příklad výpočtu plochy bočního povrchu komolého jehlanu.
Daná pravidelná pětiboká pyramida. Apotém l= 5 cm, délka hrany ve velké základně je A= 6 cm a okraj je na menší základně b= 4 cm. Vypočítejte plochu komolého jehlanu.

Nejprve najdeme obvody základen. Protože jsme dostali pětiúhelníkový jehlan, chápeme, že základny jsou pětiúhelníky. To znamená, že základny obsahují postavu s pěti stejnými stranami. Najdeme obvod větší základny:

Stejným způsobem zjistíme obvod menší základny:

Nyní můžeme vypočítat plochu pravidelné komolé pyramidy. Dosaďte data do vzorce:

Vypočítali jsme tedy plochu pravidelného komolého jehlanu přes obvody a apotém.

Dalším způsobem, jak vypočítat plochu bočního povrchu pravidelné pyramidy, je vzorec přes úhly na základně a plochu těchto základen.

Podívejme se na příklad výpočtu. Pamatujeme si, že tento vzorec platí pouze pro pravidelný komolý jehlan.

Nechť je dán pravidelný čtyřboký jehlan. Hrana spodní základny je a = 6 cm a hrana horní základny je b = 4 cm Úhel vzepětí u základny je β = 60°. Najděte oblast bočního povrchu pravidelné komolé pyramidy.

Nejprve vypočítejme plochu základny. Jelikož je pyramida pravidelná, všechny hrany základen jsou si navzájem rovné. Vzhledem k tomu, že základna je čtyřúhelník, chápeme, že bude nutné počítat plocha náměstí. Je to součin šířky a délky, ale po umocnění jsou tyto hodnoty stejné. Pojďme najít plochu větší základny:


Nyní použijeme nalezené hodnoty k výpočtu boční plochy.

Se znalostí několika jednoduchých vzorců jsme snadno vypočítali plochu bočního lichoběžníku komolého jehlanu pomocí různých hodnot.

Schopnost vypočítat objem prostorových obrazců je důležitá při řešení řady praktických úloh v geometrii. Jednou z nejběžnějších postav je pyramida. V tomto článku budeme uvažovat o plných i zkrácených pyramidách.

Pyramida jako trojrozměrná postava

Každý ví o egyptských pyramidách, takže má dobrou představu o tom, o jaké postavě budeme mluvit. Egyptské kamenné stavby jsou však pouze zvláštním případem obrovské třídy pyramid.

Uvažovaným geometrickým objektem je v obecném případě polygonální základna, jejíž každý vrchol je spojen s určitým bodem v prostoru, který nepatří do roviny základny. Tato definice vede k obrázku sestávajícímu z jednoho n-úhelníku a n trojúhelníků.

Libovolný jehlan se skládá z n+1 ploch, 2*n hran a n+1 vrcholů. Vzhledem k tomu, že se jedná o dokonalý mnohostěn, počet označených prvků se řídí Eulerovou rovností:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Mnohoúhelník umístěný na základně udává název pyramidy, například trojúhelníková, pětiúhelníková atd. Sada pyramid s různými základnami je zobrazena na fotografii níže.

Bod, ve kterém se setkává n trojúhelníků obrazce, se nazývá vrchol pyramidy. Pokud se z něj spustí kolmice na základnu a ta ji protne v geometrickém středu, pak se takový obrazec nazývá přímka. Pokud tato podmínka není splněna, nastává nakloněná pyramida.

Pravý obrazec, jehož základnu tvoří rovnostranný (rovnoúhlý) n-úhelník, se nazývá pravidelný.

Vzorec pro objem pyramidy

Pro výpočet objemu pyramidy použijeme integrální počet. Abychom to udělali, rozdělíme postavu řezáním rovin rovnoběžných se základnou na nekonečný počet tenkých vrstev. Obrázek níže ukazuje čtyřboký jehlan o výšce h a délce strany L, ve kterém čtyřúhelník označuje tenkou vrstvu řezu.

Plochu každé takové vrstvy lze vypočítat pomocí vzorce:

A(z) = Ao*(h-z)2/h2.

Zde A 0 je plocha základny, z je hodnota vertikální souřadnice. Je vidět, že pokud z = 0, pak vzorec dává hodnotu A 0 .

Chcete-li získat vzorec pro objem pyramidy, měli byste vypočítat integrál přes celou výšku obrázku, to znamená:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Dosazením závislosti A(z) a výpočtem primitivní funkce dospějeme k výrazu:

V = -Ao*(h-z)3/(3*h2)| h 0 = 1/3*Ao*h.

Získali jsme vzorec pro objem pyramidy. Chcete-li zjistit hodnotu V, stačí vynásobit výšku postavy plochou základny a poté vydělit výsledek třemi.

Všimněte si, že výsledný výraz je platný pro výpočet objemu jehlanu jakéhokoli typu. To znamená, že může být nakloněný a jeho základna může být libovolný n-úhelník.

a její objem

Obecný vzorec pro objem získaný v odstavci výše lze upřesnit v případě pyramidy s pravidelnou základnou. Plocha takové základny se vypočítá pomocí následujícího vzorce:

Ao = n/4*L2*ctg(pi/n).

Zde L je délka strany pravidelného mnohoúhelníku s n vrcholy. Symbol pi je číslo pi.

Dosazením výrazu pro A 0 do obecného vzorce získáme objem pravidelného jehlanu:

Vn = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Například pro trojúhelníkovou pyramidu má tento vzorec za následek následující výraz:

V3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *h.

Pro pravidelnou čtyřbokou pyramidu má objemový vzorec tvar:

V4 = 4/12*L2*h*ctg(45o) = 1/3*L2*h.

Určení objemů pravidelných jehlanů vyžaduje znalost strany jejich základny a výšky obrazce.

Zkrácená pyramida

Předpokládejme, že jsme vzali libovolnou pyramidu a odřízli část její boční plochy obsahující vrchol. Zbývající postava se nazývá komolá pyramida. Skládá se již ze dvou n-gonálních základen a n lichoběžníků, které je spojují. Pokud byla řezná rovina rovnoběžná se základnou obrázku, pak je vytvořen komolý jehlan s podobnými rovnoběžnými základnami. To znamená, že délky stran jedné z nich lze získat vynásobením délek druhé určitým koeficientem k.

Na obrázku nahoře je zkrácený pravidelný, je vidět, že jeho horní základna, stejně jako spodní, je tvořena pravidelným šestiúhelníkem.

Vzorec, který lze odvodit pomocí integrálního počtu podobného výše uvedenému, je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √ (A 0 *A 1)).

Kde Ao a Ai jsou plochy spodní (velké) a horní (malé) báze. Proměnná h ​​označuje výšku komolého jehlanu.

Objem Cheopsovy pyramidy

Zajímavé je řešení problému určení objemu, který největší egyptská pyramida v sobě obsahuje.

V roce 1984 britští egyptologové Mark Lehner a Jon Goodman stanovili přesné rozměry Cheopsovy pyramidy. Jeho původní výška byla 146,50 metrů (v současnosti asi 137 metrů). Průměrná délka každé ze čtyř stran konstrukce byla 230,363 metru. Základna pyramidy je čtvercová s vysokou přesností.

Pomocí uvedených čísel určíme objem tohoto kamenného obra. Protože je pyramida pravidelná čtyřúhelníková, platí pro ni vzorec:

Dosazením čísel dostaneme:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Objem Cheopsovy pyramidy je téměř 2,6 mil. m3. Pro srovnání podotýkáme, že olympijský bazén má objem 2,5 tisíce m 3 . To znamená, že k naplnění celé Cheopsovy pyramidy budete potřebovat více než 1000 takových bazénů!

• 22.09.2014

  Princip fungování. Když stisknete tlačítko první číslice kódu SA1, spoušť DD1.1 se přepne a na vstupu D spouště DD1.2 se objeví vysoké napětí. Když tedy stisknete tlačítko dalšího kódu SA2, spoušť DD1.2 změní svůj stav a připraví další spoušť ke sepnutí. V případě dalšího správného vytáčení se jako poslední spustí trigger DD2.2 a...

• 03.10.2014

  Navržené zařízení stabilizuje napětí do 24V a proud do 2A s ochranou proti zkratu. V případě nestabilního rozběhu stabilizátoru by měla být použita synchronizace z autonomního pulzního generátoru (obr. 2. Obvod stabilizátoru je na obr. 1. Na VT1 VT2 je namontována Schmittova spoušť, která řídí výkonný regulační tranzistor VT3. Podrobnosti: VT3 je vybaven chladičem...

• 20.09.2014

  Zesilovač (viz foto) je vyroben podle tradičního obvodu s elektronkami s automatickým předpětím: výstup - AL5, budiče - 6G7, kenotron - AZ1. Schéma jednoho ze dvou kanálů stereo zesilovače je na obr. 1. Z ovládání hlasitosti je signál přiváděn do mřížky lampy 6G7, zesílen a z anody této lampy je přes izolační kondenzátor C4 přiváděn do ...

• 15.11.2017

  NE555 je univerzální časovač - zařízení pro vytváření (generování) jednotlivých i opakujících se pulzů se stabilní časovou charakteristikou. Jedná se o asynchronní RS spoušť se specifickými vstupními prahy, přesně definovanými analogovými komparátory a vestavěným děličem napětí (přesná Schmittova spoušť s RS spouští). Používá se ke stavbě různých generátorů, modulátorů, časových relé, prahových zařízení a dalších...

Pyramida. Zkrácená pyramida

Pyramida je mnohostěn, jehož jedna plocha je mnohoúhelník ( základna ) a všechny ostatní plochy jsou trojúhelníky se společným vrcholem ( boční plochy ) (obr. 15). Pyramida se nazývá opravit , je-li jeho základna pravidelný mnohoúhelník a vrchol jehlanu se promítá do středu základny (obr. 16). Trojúhelníkový jehlan se všemi hranami stejnými se nazývá čtyřstěn .

Postranní žebro pyramidy je strana boční plochy, která nepatří k základně Výška pyramida je vzdálenost od jejího vrcholu k rovině základny. Všechny boční hrany pravidelného jehlanu jsou si navzájem rovné, všechny boční stěny jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky. Výška boční plochy pravidelného jehlanu vytaženého z vrcholu se nazývá apotéma . Diagonální řez se nazývá řez jehlanem rovinou procházející dvěma bočními hranami, které nepatří ke stejné ploše.

Boční plocha povrchu pyramida je součtem ploch všech bočních stěn. Celková plocha povrchu se nazývá součet ploch všech bočních ploch a základny.

Věty

1. Jsou-li v jehlanu všechny boční hrany stejně nakloněny k rovině podstavy, pak se vrchol jehlanu promítá do středu kružnice opsané v blízkosti podstavy.

2. Pokud mají všechny boční hrany jehlanu stejnou délku, pak se vrchol jehlanu promítá do středu kružnice opsané poblíž základny.

3. Jsou-li všechny plochy jehlanu stejně nakloněny k rovině podstavy, pak se vrchol jehlanu promítá do středu kružnice vepsané do podstavy.

Pro výpočet objemu libovolné pyramidy je správný vzorec:

Kde PROTI- hlasitost;

S základna– základní plocha;

H- výška pyramidy.

Pro běžnou pyramidu jsou správné následující vzorce:

Kde p– obvod základny;

h a– apotéma;

H- výška;

S plný

S strana

S základna– základní plocha;

PROTI– objem pravidelné pyramidy.

Zkrácená pyramida nazývá se část jehlanu uzavřená mezi základnou a řeznou rovinou rovnoběžnou se základnou jehlanu (obr. 17). Pravidelná komolá pyramida nazývaná část pravidelného jehlanu uzavřená mezi základnou a řeznou rovinou rovnoběžnou se základnou jehlanu.

Důvody komolý jehlan - podobné mnohoúhelníky. Boční plochy – lichoběžníky. Výška komolého jehlanu je vzdálenost mezi jeho základnami. Úhlopříčka komolý jehlan je segment spojující jeho vrcholy, které neleží na stejné ploše. Diagonální řez je řez komolého jehlanu rovinou procházející dvěma bočními hranami, které nepatří ke stejné ploše.

Pro komolou pyramidu platí následující vzorce:

(4)

Kde S 1 , S 2 – plochy horní a dolní základny;

S plný– celková plocha;

S strana– boční plocha;

H- výška;

PROTI– objem komolého jehlanu.

Pro pravidelnou komolou pyramidu je vzorec správný:

Kde p 1 , p 2 – obvody základen;

h a– apotéma pravidelného komolého jehlanu.

Příklad 1. V pravidelné trojúhelníkové pyramidě je úhel vzepětí u základny 60º. Najděte tečnu úhlu sklonu boční hrany k rovině podstavy.

Řešení. Udělejme nákres (obr. 18).

Pyramida je pravidelná, což znamená, že na základně je rovnostranný trojúhelník a všechny boční stěny jsou stejné rovnoramenné trojúhelníky. Dihedrální úhel u základny je úhel sklonu boční plochy jehlanu k rovině základny. Lineární úhel je úhel A mezi dvěma kolmicemi atd. Vrchol pyramidy se promítá do středu trojúhelníku (střed opsané kružnice a vepsané kružnice trojúhelníku ABC). Úhel sklonu boční hrany (např S.B.) je úhel mezi samotnou hranou a jejím průmětem do roviny základny. Pro žebro S.B. tento úhel bude úhel SBD. Abyste našli tečnu, musíte znát nohy TAK A O.B.. Nechte délku segmentu BD rovná se 3 A. Tečka Oúsečka BD se dělí na části: a Od nalézáme TAK: Od najdeme:

Odpovědět:

Příklad 2 Najděte objem pravidelného komolého čtyřbokého jehlanu, jestliže úhlopříčky jeho podstav jsou rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.

Řešení. Pro zjištění objemu komolého jehlanu použijeme vzorec (4). Chcete-li najít plochu základen, musíte najít strany základních čtverců a znát jejich úhlopříčky. Strany podstav se rovnají 2 cm a 8 cm. To znamená plochy podstav a Dosazením všech dat do vzorce vypočítáme objem komolého jehlanu:

Odpovědět: 112 cm 3.

Příklad 3 Najděte plochu boční strany pravidelného trojúhelníkového komolého jehlanu, jehož strany základny jsou 10 cm a 4 cm a výška jehlanu je 2 cm.

Řešení. Udělejme nákres (obr. 19).

Boční stěna této pyramidy je rovnoramenný lichoběžník. Chcete-li vypočítat plochu lichoběžníku, musíte znát základnu a výšku. Základy jsou dány podle stavu, neznámá zůstává jen výška. Odkud ji najdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovině spodní základny, A 1 D– kolmo od A 1 za AC. A 1 E= 2 cm, protože to je výška pyramidy. Najít DE Udělejme další nákres znázorňující pohled shora (obr. 20). Tečka O– projekce středů horní a dolní základny. od (viz obr. 20) a Na druhé straně OK– poloměr vepsaný do kruhu a OM– poloměr vepsaný do kruhu:

MK = DE.

Podle Pythagorovy věty z

Oblast bočního obličeje:

Odpovědět:

Příklad 4. Na základně pyramidy leží rovnoramenný lichoběžník, jehož základny A A b (A> b). Každá boční plocha svírá úhel rovný rovině základny jehlanu j. Najděte celkovou plochu pyramidy.

Řešení. Udělejme nákres (obr. 21). Celková plocha pyramidy SABCD rovná se součtu ploch a plochy lichoběžníku abeceda.

Použijme tvrzení, že jsou-li všechny strany jehlanu stejně nakloněny k rovině podstavy, pak se vrchol promítá do středu kružnice vepsané do podstavy. Tečka O– vrcholová projekce S na základně pyramidy. Trojúhelník DRN je ortogonální průmět trojúhelníku CSD do roviny základny. Pomocí věty o oblasti ortogonální projekce rovinného obrazce získáme:

Stejně tak to znamená Problém byl tedy omezen na nalezení oblasti lichoběžníku abeceda. Nakreslíme lichoběžník abeceda samostatně (obr. 22). Tečka O– střed kruhu vepsaného do lichoběžníku.

Protože kruh může být vepsán do lichoběžníku, pak nebo Z Pythagorovy věty máme