Option 109 Einheitliche Staatsexamenlösung zu Aufgabe 18.

Einheitliches Staatsexamen im Mathematikprofilniveau

Die Arbeit besteht aus 19 Aufgaben.
Teil 1:
8 kurze Antwortaufgaben im einfachen Schwierigkeitsgrad.
Teil 2:
4 kurze Antwortaufgaben
7 Aufgaben mit detaillierten Antworten hohes Level Schwierigkeiten.

Laufzeit - 3 Stunden 55 Minuten.

Beispiele für Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens

Lösen von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik.

Um es selbst zu lösen:

1 Kilowattstunde Strom kostet 1 Rubel 80 Kopeken.
Der Stromzähler zeigte am 1. November 12.625 Kilowattstunden und am 1. Dezember 12.802 Kilowattstunden an.
Wie viel muss ich für den Strom im November bezahlen?
Geben Sie Ihre Antwort in Rubel an.

Problem mit Lösung:

In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide ABCS mit der Basis ABC sind folgende Kanten bekannt: AB = 5 Wurzeln aus 3, SC = 13.
Finden Sie den Winkel, den die Grundebene mit der Geraden bildet, die durch die Mitte der Kanten AS und BC verläuft.

Lösung:

1. Da SABC eine regelmäßige Pyramide ist, ist ABC ein gleichseitiges Dreieck und die übrigen Flächen sind gleichschenklige Dreiecke.
Das heißt, alle Seiten der Basis sind gleich 5 sqrt(3) und alle Seitenkanten sind gleich 13.

2. Sei D der Mittelpunkt von BC, E der Mittelpunkt von AS, SH die Höhe vom Punkt S zur Basis der Pyramide, EP die Höhe vom Punkt E zur Basis der Pyramide.

3. Finden Sie AD aus dem rechtwinkligen Dreieck CAD mithilfe des Satzes des Pythagoras. Es ergibt sich 15/2 = 7,5.

4. Da die Pyramide regelmäßig ist, ist Punkt H der Schnittpunkt der Höhen/Mittelwerte/Halbierenden des Dreiecks ABC und teilt daher AD im Verhältnis 2:1 (AH = 2 AD).

5. Finden Sie SH aus dem rechtwinkligen Dreieck ASH. AH = AD 2/3 = 5, AS = 13, gemäß dem Satz des Pythagoras SH = sqrt(13 2 -5 2) = 12.

6. Die Dreiecke AEP und ASH sind beide rechte Winkel und haben einen gemeinsamen Winkel A, daher ähnlich. Bedingung: AE = AS/2, was AP = AH/2 und EP = SH/2 bedeutet.

7. Es bleibt abzuwägen rechtwinkliges Dreieck EDV (uns interessiert nur der EDV-Aspekt).
EP = SH/2 = 6;
DP = AD 2/3 = 5;

Winkeltangens EDP = EP/DP = 6/5,
Winkel EDP = arctan(6/5)

Antwort:

In der Wechselstube kostet 1 Griwna 3 Rubel 70 Kopeken.
Urlauber tauschten Rubel gegen Griwna und kauften 3 kg Tomaten zum Preis von 4 Griwna pro 1 kg.
Wie viel Rubel hat sie dieser Kauf gekostet? Runden Sie Ihre Antwort auf eine ganze Zahl.

Mascha schickte ihren 16 Freunden SMS-Nachrichten mit Neujahrsgrüßen.
Die Kosten für eine SMS-Nachricht betragen 1 Rubel 30 Kopeken. Bevor die Nachricht gesendet wurde, hatte Mascha 30 Rubel auf ihrem Konto.
Wie viele Rubel bleiben Mascha übrig, nachdem sie alle Nachrichten verschickt hat?

Die Schule verfügt über Campingzelte für drei Personen.
Wie viele Zelte benötigen Sie am wenigsten für einen Campingausflug mit 20 Personen?

Der Zug Nowosibirsk-Krasnojarsk fährt um 15:20 Uhr ab und kommt am nächsten Tag um 4:20 Uhr (Moskauer Zeit) an.
Wie viele Stunden fährt der Zug?

Weißt du, was?

Unter allen Figuren mit demselben Umfang hat der Kreis die größte Fläche. Umgekehrt hat der Kreis von allen Formen mit derselben Fläche den kleinsten Umfang.

Leonardo da Vinci leitete eine Regel ab, nach der das Quadrat des Durchmessers eines Baumstamms gleich der Summe der Quadrate der Durchmesser der Zweige ist, die auf einer gemeinsamen festen Höhe gemessen werden. Spätere Studien bestätigten dies mit nur einem Unterschied: Der Grad in der Formel ist nicht unbedingt gleich 2, sondern liegt im Bereich von 1,8 bis 2,3. Traditionell wurde angenommen, dass dieses Muster dadurch erklärt wird, dass ein Baum mit einer solchen Struktur über einen optimalen Mechanismus zur Versorgung mit Ästen verfügt Nährstoffe. Im Jahr 2010 fand der amerikanische Physiker Christophe Alloy jedoch eine einfachere mechanische Erklärung für das Phänomen: Wenn wir einen Baum als Fraktal betrachten, minimiert Leonardos Gesetz die Wahrscheinlichkeit, dass Äste unter dem Einfluss von Wind brechen.

Laborstudien haben gezeigt, dass Bienen wählen können optimale Route. Nach der Lokalisierung platziert verschiedene Orte Die Biene umfliegt die Blumen und kehrt so zurück, dass der letzte Weg der kürzeste ist. Damit bewältigen diese Insekten effektiv das klassische „Problem des Handlungsreisenden“ aus der Informatik, dessen Lösung moderne Computer je nach Punktezahl mehr als einen Tag in Anspruch nehmen können.

Wenn Sie Ihr Alter mit 7 multiplizieren und dann mit 1443 multiplizieren, erhalten Sie als Ergebnis Ihr Alter, das dreimal hintereinander geschrieben wird.

Wir glauben negative Zahlen etwas Natürliches, aber das war nicht immer der Fall. Negative Zahlen wurden erstmals im 3. Jahrhundert in China legalisiert, jedoch nur in Ausnahmefällen verwendet, da sie im Allgemeinen als bedeutungslos galten. Wenig später begann man in Indien, negative Zahlen zur Bezeichnung von Schulden zu verwenden, doch im Westen setzten sie sich nicht durch – der berühmte Diophantus von Alexandria argumentierte, dass die Gleichung 4x+20=0 absurd sei.

Der amerikanische Mathematiker George Dantzig kam eines Tages als Doktorand an der Universität zu spät zum Unterricht und verwechselte die an der Tafel geschriebenen Gleichungen mit Hausaufgaben. Es schien ihm schwieriger als sonst, aber nach ein paar Tagen konnte er es schaffen. Es stellte sich heraus, dass er zwei „unlösbare“ Probleme in der Statistik löste, mit denen viele Wissenschaftler zu kämpfen hatten.

In der russischen mathematischen Literatur gibt es keine Null natürliche Zahl Im Westen hingegen gehört es zur Menge der natürlichen Zahlen.

Das von uns verwendete Dezimalzahlensystem entstand, weil der Mensch 10 Finger hat. Die Fähigkeit zum abstrakten Zählen entwickelte der Mensch nicht sofort, und es erwies sich als am bequemsten, die Finger zum Zählen zu verwenden. Die Maya-Zivilisation und unabhängig davon die Tschuktschen nutzten historisch gesehen das zwanzigstellige Zahlensystem, wobei sie nicht nur die Finger an den Händen, sondern auch an den Zehen verwendeten. Auch das im antiken Sumer und Babylon übliche Duodezimal- und Sexagesimalsystem basierte auf der Verwendung von Händen: Die Fingerglieder der anderen Finger der Handfläche, deren Anzahl 12 beträgt, wurden mit dem Daumen gezählt.

Eine Freundin bat Einstein, sie anzurufen, warnte jedoch, dass ihre Telefonnummer sehr schwer zu merken sei: - 24-361. Erinnerst du dich? Wiederholen! Überrascht antwortete Einstein: „Natürlich erinnere ich mich!“ Zwei Dutzend und 19 im Quadrat.

Stephen Hawking ist einer der führenden theoretischen Physiker und Popularisierer der Wissenschaft. In einer Geschichte über sich selbst erwähnte Hawking, dass er Professor für Mathematik geworden sei, ohne seitdem eine mathematische Ausbildung erhalten zu haben weiterführende Schule. Als Hawking anfing, in Oxford Mathematik zu unterrichten, las er das Lehrbuch zwei Wochen vor seinen eigenen Schülern.

Die maximale Zahl, die in römischen Ziffern geschrieben werden kann, ohne gegen Shvartsmans Regeln (Regeln zum Schreiben römischer Ziffern) zu verstoßen, ist 3999 (MMMCMXCIX) – Sie können nicht mehr als drei Ziffern hintereinander schreiben.

Es gibt viele Gleichnisse darüber, wie eine Person eine andere einlädt, ihn für einen Dienst zu bezahlen, und zwar wie folgt: auf dem ersten Platz Schachbrett er wird ein Reiskorn auf das zweite legen - zwei und so weiter: auf jedes nächste Feld doppelt so viel wie auf das vorherige. Infolgedessen wird derjenige, der auf diese Weise zahlt, mit Sicherheit bankrott gehen. Dies ist nicht überraschend: Es wird geschätzt Gesamtgewicht Reis wird mehr als 460 Milliarden Tonnen betragen.

In vielen Quellen gibt es die Aussage, dass Einstein in der Schule in Mathematik durchgefallen sei oder darüber hinaus generell in allen Fächern sehr schlecht gelernt habe. Tatsächlich war aber nicht alles so: Albert war noch da junges Alter begann, Talent in Mathematik zu zeigen und wusste es weit über den Lehrplan hinaus.

Einheitliches Staatsexamen 2019 in Mathematik Aufgabe 18 mit Lösung

Demo Option für das Einheitliche Staatsexamen 2019 in Mathematik

Einheitliches Staatsexamen in Mathematik 2019 im PDF-Format Grundstufe | Profilebene

Aufgaben zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik: Grund- und Spezialniveau mit Antworten und Lösungen.

Einheitliches Staatsexamen 2019 in Mathematik, Aufgabe 18

Einheitliches Staatsexamen 2019 in Mathematik Profilstufe Aufgabe 18 mit Lösung

Einheitliches Staatsexamen in Mathematik

Finden Sie alles positive Werte Parameter a,
für jedes davon die Gleichung und x = x hat eine einzigartige Lösung.

Sei f(x) = a x , g(x) = x.

Die Funktion g(x) ist stetig, über den gesamten Definitionsbereich streng ansteigend und kann jeden Wert von minus Unendlich bis plus Unendlich annehmen.

Bei 0< a < 1 функция f(x) - непрерывная, строго убывающая на всей области определения и может принимать значения в интервале (0;+бесконечность). Поэтому при любых таких a уравнение f(x) = g(x) имеет ровно одно решение.

Für a = 1 ist die Funktion f(x) identisch gleich eins und die Gleichung f(x) = g(x) hat ebenfalls eine eindeutige Lösung x = 1.

Für a > 1:
Die Ableitung der Funktion h(x) = (a x - x) ist gleich
(a x - x) = a x ln(a) - 1
Setzen wir es mit Null gleich:
a x ln(a) = 1
a x = 1/ln(a)
x = -log_a(ln(a)).

Die Ableitung hat eine einzelne Null. Links von diesem Wert nimmt die Funktion h(x) ab, rechts nimmt sie zu.

Daher hat es entweder überhaupt keine Nullen oder zwei Nullen. Und es hat nur dann eine Wurzel, wenn es mit dem gefundenen Extremum übereinstimmt.

Das heißt, wir müssen einen Wert von a finden, für den die Funktion gilt
h(x) = a x - x erreicht ein Extremum und verschwindet am selben Punkt. Mit anderen Worten, wenn die Gerade y = x den Graphen der Funktion a x tangiert.

EIN x = x
a x ln(a) = 1

Setze a x = x in die zweite Gleichung ein:
x ln(a) = 1, woraus ln(a) = 1/x, a = e (1/x) .

Setzen Sie erneut in die zweite Gleichung ein:
(e (1/x)) x (1/x) = 1
e 1 = x
x = e.

Und wir setzen dies in die erste Gleichung ein:
a e = e
a = e (1/e)

Antwort:

(0;1](e (1/e) )

Einheitliches Staatsexamen in Mathematik

Finden Sie alle Werte des Parameters a, für den die Funktion gilt
f(x) = x 2 - |x-a 2 | - 9x
hat mindestens einen Maximalpunkt.

Lösung:

Erweitern wir das Modul:

Bei x<= a 2: f(x) = x 2 - 8x - a 2 ,
für x > a 2: f(x) = x 2 - 10x + a 2.

Ableitung der linken Seite: f"(x) = 2x - 8
Ableitung der rechten Seite: f"(x) = 2x - 10

Sowohl der linke als auch der rechte Teil können nur ein Minimum haben. Das bedeutet, dass die Funktion f(x) genau dann ein eindeutiges Maximum haben kann, wenn am Punkt x=a 2 linke Seite steigt (d. h. 2x-8 > 0) und der rechte Wert nimmt ab (d. h. 2x-10).< 0).

Das heißt, wir erhalten das System:
2x-8 > 0
2x-10< 0
x = a 2

Wo
4 < a 2 < 5

a ~ (-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Antwort:(-sqrt(5); -2) ~ (2; sqrt(5))

Einheitliches Staatsexamen 2017. Mathematik. Aufgabe 18. Probleme mit einem Parameter. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2017. - 128 S.

Dieses Buch ist Problemen gewidmet, die dem Problem 18 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (Problem mit einem Parameter) ähneln. Es werden verschiedene Methoden zur Lösung solcher Probleme betrachtet und auch der grafischen Darstellung wird große Aufmerksamkeit geschenkt. Das Buch wird für Oberstufenschüler, Mathematiklehrer und Nachhilfelehrer nützlich sein.

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INHALT
Einleitung 4
§1. Lineare Gleichungen und lineare Gleichungssysteme 5
Probleme zur unabhängigen Lösung 11
§2. Untersuchung des quadratischen Trinoms mit Diskriminante 12
Probleme zur unabhängigen Lösung 19
§3. Satz 20 von Vieta
Probleme zur unabhängigen Lösung 26
§4. Lage der Wurzeln des quadratischen Trinoms 28
Probleme zur unabhängigen Lösung 43
§5. Verwendung grafischer Illustrationen
zum Studium des quadratischen Trinoms 45
Probleme zur unabhängigen Lösung 55
§6. Eingeschränkte Funktion. Ermitteln des Wertebereichs 56
Probleme zur unabhängigen Lösung 67
§7. Andere Eigenschaften von Funktionen 69
Probleme zur unabhängigen Lösung 80
§8. Logikprobleme mit Parameter 82
Probleme zur unabhängigen Lösung 93
Abbildungen auf der Koordinatenebene 95
Probleme zur unabhängigen Lösung 108
Methode "Okha" 110
Probleme zur unabhängigen Lösung 119
Antworten 120

Dieses Buch ist Problemen gewidmet, die Problem 18 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik (Problem mit einem Parameter) ähneln. Neben Problem 19 (ein Problem, dessen Lösung die Eigenschaften ganzer Zahlen nutzt) ist Problem 18 das schwierigste in der Variante. Das Buch versucht jedoch, die Aufgaben zu systematisieren dieser Artüber verschiedene Lösungsmethoden.
Mehrere Absätze sind einem scheinbar so beliebten Thema wie dem Studium des quadratischen Trinoms gewidmet. Allerdings erfordern solche Probleme manchmal andere, manchmal völlig unerwartete Lösungsansätze. Einer dieser nicht standardmäßigen Ansätze wird in Beispiel 7 von Absatz 2 demonstriert.
Bei der Lösung eines Problems mit einem Parameter ist es oft notwendig, die in der Bedingung angegebene Funktion zu untersuchen. Das Buch formuliert einige Aussagen zu Eigenschaften von Funktionen wie Beschränktheit, Parität, Kontinuität; Anschließend demonstrieren Beispiele die Anwendung dieser Eigenschaften zur Problemlösung.

In Aufgabe 18 – der vorletzten Aufgabe des Profils Ebene des Einheitlichen Staatsexamens in der Mathematik ist es notwendig, die Fähigkeit nachzuweisen, Probleme mit Parametern zu lösen. In den allermeisten Fällen handelt es sich bei dieser Aufgabe um ein System aus zwei Gleichungen mit dem Parameter a, und es müssen Werte gefunden werden, bei denen sich das System auf eine bestimmte Weise verhält – es hat zwei oder eine oder gar keine Lösungen.

Analyse typischer Optionen für Aufgaben Nr. 18 des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik auf Profilebene

Erste Version der Aufgabe (Demoversion 2018)

Finden Sie alle positiven Werte von a, für die das System jeweils eine eindeutige Lösung hat:

(|x|–5) 2 +(y–4) 2 =4
(x–2) 2 +y 2 =a 2

Lösungsalgorithmus:

Schauen wir uns die zweite Gleichung an und bestimmen, wie ihr Graph aussieht.
Wir ermitteln die Bedingung für die Eindeutigkeit der Lösung.
Wir ermitteln den Abstand zwischen den Mittelpunkten und bestimmen die Parameterwerte.
Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. Die erste Gleichung besteht aus zwei Kreisen mit den Radien 3 und den Koordinaten der Mittelpunkte C 2 (5;4) und C 2 (-5;4). Ein Kreis wird durch diese Gleichung für x≥0 definiert und der zweite – für x<0. Они не пересекаются и не касаются.

2. Die zweite Gleichung ist ein Kreis mit dem Radius „a“ und den Mittelpunktskoordinaten: C (-2;0).

3. Eine eindeutige Lösung zu haben bedeutet, dass ein Kreis einen der Kreise an einem Punkt berühren muss. Daher sollten zwei Systeme paarweise gelöst werden.

Natürlich erhält man im ersten und zweiten Fall ein Wurzelpaar, also die Koordinaten der Tangente auf äußere und innere Weise.

Es ist jedoch erwähnenswert, dass wir uns nur für die Wurzeln interessieren, die die äußere Tangentialität des linken Kreises und die innere Tangentialität des rechten Kreises bestimmen. Weil die anderen beiden Gleichungen der Bedingung widersprechen und mehr als eine Lösung haben. Schauen Sie sich einfach die beigefügte Zeichnung an: