Heute fahren wir in das Land der Geometrie, wo wir verschiedene Arten von Dreiecken kennenlernen.

Erwägen geometrische Figuren und finden Sie darunter "extra" (Abb. 1).

Reis. 1. Abbildung zum Beispiel

Wir sehen, dass die Zahlen # 1, 2, 3, 5 Vierecke sind. Jeder von ihnen hat seinen eigenen Namen (Abb. 2).

Reis. 2. Vierecke

Das bedeutet, dass die „zusätzliche“ Figur ein Dreieck ist (Abb. 3).

Reis. 3. Abbildung zum Beispiel

Ein Dreieck ist eine Figur, die aus drei Punkten besteht, die nicht auf einer Geraden liegen, und drei Segmenten, die diese Punkte paarweise verbinden.

Die Punkte heißen die Eckpunkte des Dreiecks, Segmente - es Parteien... Die Seiten des Dreiecks bilden An den Eckpunkten des Dreiecks befinden sich drei Ecken.

Die Hauptzeichen eines Dreiecks sind drei Seiten und drei Ecken. In Bezug auf den Winkel sind Dreiecke spitzwinklig, rechteckig und stumpfwinklig.

Ein Dreieck wird als spitzwinklig bezeichnet, wenn alle drei Ecken spitz sind, dh weniger als 90° (Abb. 4).

Reis. 4. Spitzwinkliges Dreieck

Ein Dreieck wird als rechteckig bezeichnet, wenn eine seiner Ecken 90° beträgt (Abb. 5).

Reis. 5. Rechtwinkliges Dreieck

Ein Dreieck wird als stumpf bezeichnet, wenn eine seiner Ecken stumpf ist, dh mehr als 90 ° beträgt (Abb. 6).

Reis. 6. Stumpfes Dreieck

Entsprechend der Anzahl gleicher Seiten sind Dreiecke gleichseitig, gleichschenklig, vielseitig.

Ein gleichschenkliges Dreieck ist ein Dreieck, dessen zwei Seiten gleich sind (Abb. 7).

Reis. 7. Gleichschenkliges Dreieck

Diese Parteien heißen seitlich, die dritte Seite - Basis. In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Winkel an der Basis gleich.

Gleichschenklige Dreiecke sind spitzwinklig und stumpfwinklig(Abb. 8) .

Reis. 8. Akute und stumpfe gleichschenklige Dreiecke

Ein gleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind (Abb. 9).

Reis. 9. Gleichseitiges Dreieck

In einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel sind gleich. Gleichseitige Dreiecke stets spitzwinklig.

Ein Dreieck heißt vielseitig, wenn alle drei Seiten verschiedene Längen(Abb. 10).

Reis. 10. Vielseitiges Dreieck

Die Aufgabe erledigen. Teilen Sie diese Dreiecke in drei Gruppen (Abb. 11).

Reis. 11. Illustration zur Aufgabe

Zuerst verteilen wir nach dem Betrag der Winkel.

Akute Dreiecke: Nr. 1, Nr. 3.

Rechteckige Dreiecke: Nr. 2, Nr. 6.

Stumpfe Dreiecke: Nr. 4, Nr. 5.

Wir werden die gleichen Dreiecke entsprechend der Anzahl gleicher Seiten in Gruppen aufteilen.

Vielseitige Dreiecke: Nr. 4, Nr. 6.

Gleichschenklige Dreiecke: Nr. 2, Nr. 3, Nr. 5.

Gleichseitiges Dreieck: Nr. 1.

Betrachten Sie die Zeichnungen.

Überlegen Sie, aus welchem ​​Stück Draht Sie jedes Dreieck hergestellt haben (Abb. 12).

Reis. 12. Illustration zur Aufgabe

Sie können so argumentieren.

Das erste Stück Draht wird in drei gleiche Teile geteilt, sodass daraus ein gleichseitiges Dreieck hergestellt werden kann. In der Abbildung ist er als dritter dargestellt.

Das zweite Drahtstück ist in drei verschiedene Teile geteilt, sodass Sie daraus ein vielseitiges Dreieck machen können. Er ist zuerst in der Abbildung gezeigt.

Das dritte Drahtstück ist in drei Teile geteilt, wobei die beiden Teile gleich lang sind, so dass daraus ein gleichschenkliges Dreieck hergestellt werden kann. In der Abbildung ist er als zweiter dargestellt.

Heute haben wir in der Lektion die verschiedenen Arten von Dreiecken kennengelernt.

Referenzliste

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2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Hausaufgaben

1. Vervollständige die Sätze.

a) Ein Dreieck ist eine Figur, die besteht aus ..., die nicht auf einer Geraden liegt, und ..., die diese Punkte paarweise verbindet.

b) Punkte heißen … , Segmente - es … ... Die Seiten des Dreiecks bilden an den Eckpunkten des Dreiecks ….

c) Vom Winkel her sind Dreiecke…,…,….

d) Dreiecke sind nach der Anzahl gleicher Seiten…,…,….

2. Zeichnen

ein) rechtwinkliges Dreieck;

b) spitzwinkliges Dreieck;

v) Stumpfes Dreieck;

d) ein gleichseitiges Dreieck;

e) vielseitiges Dreieck;

f) gleichschenkliges Dreieck.

3. Machen Sie Ihren Mitschülern eine Aufgabe zum Thema der Stunde.

Gleichheitstests für rechtwinklige Dreiecke

Arten von Dreiecken

Betrachten Sie drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, und drei Segmente, die diese Punkte verbinden (Abb. 1).

Ein Dreieck ist der Teil der Ebene, der von diesen Segmenten begrenzt wird, die Segmente werden die Seiten des Dreiecks und die Enden der Segmente (drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen) als Eckpunkte des Dreiecks bezeichnet.

Tabelle 1 listet alle möglichen Arten von Dreiecken auf abhängig von der Größe ihrer Winkel .

Tabelle 1 - Arten von Dreiecken in Abhängigkeit von der Größe der Winkel

Zeichnung	Dreieckstyp	Definition
	Spitzwinkliges Dreieck	Ein Dreieck mit alle ecken sind scharf , genannt spitzwinklig
	Rechtwinkliges Dreieck	Ein Dreieck mit eine der Ecken einer geraden Linie , genannt rechteckig
	Stumpfes Dreieck	Ein Dreieck mit eine der Ecken ist stumpf , genannt stumpf

Spitzwinkliges Dreieck

Definition: Ein Dreieck mit alle ecken sind scharf , genannt spitzwinklig

Rechtwinkliges Dreieck

Definition: Ein Dreieck mit eine der Ecken einer geraden Linie , genannt rechteckig

Stumpfes Dreieck

Definition: Ein Dreieck mit eine der Ecken ist stumpf , genannt stumpf

Je nach Seitenlänge Es gibt zwei wichtige Arten von Dreiecken.

Tabelle 2 - Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke

Zeichnung	Dreieckstyp	Definition
	Gleichschenkligen Dreiecks	seitliche Seiten, und die dritte Seite heißt Basis eines gleichschenkligen Dreiecks
	Gleichseitig (richtig) Dreieck	Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind, wird als gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck bezeichnet.

Gleichschenkligen Dreiecks

Definition: Ein Dreieck, dessen zwei Seiten gleich sind, heißt gleichschenkliges Dreieck. In diesem Fall zwei gleiche Seiten werden genannt seitliche Seiten, und die dritte Seite heißt Basis eines gleichschenkligen Dreiecks

Gleichseitiges (regelmäßiges) Dreieck

Definition: Ein Dreieck, bei dem alle drei Seiten gleich sind, wird als gleichseitiges oder regelmäßiges Dreieck bezeichnet.

Gleichheitstests für Dreiecke

Dreiecke heißen gleich, wenn sie kann überlagert werden .

Tabelle 3 zeigt Gleichheitskriterien für Dreiecke.

Tabelle 3 - Gleichheitszeichen von Dreiecken

Zeichnung	Funktionsname	Merkmalsformulierung
	an zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen
	Gleichheit von Dreiecken an Seite und zwei angrenzende Ecken
	Gleichheit von Dreiecken an drei Seiten

Gleichheit von Dreiecken auf beiden Seiten und der Winkel zwischen ihnen

Merkmalsformulierung. Wenn zwei Seiten eines Dreiecks und der Winkel zwischen ihnen jeweils gleich den beiden Seiten des anderen Dreiecks und der Winkel zwischen ihnen sind, dann sind solche Dreiecke gleich

Gleichheit von Dreiecken an der Seite und zwei angrenzenden Ecken

Merkmalsformulierung. Wenn eine Seite und zwei benachbarte Winkel eines Dreiecks jeweils gleich der Seite und zwei benachbarte Winkel eines anderen Dreiecks sind, dann sind diese Dreiecke gleich

Gleichheit von Dreiecken auf drei seiten

Merkmalsformulierung. Wenn drei Seiten eines Dreiecks jeweils gleich drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind solche Dreiecke gleich

Gleichheitstests für rechtwinklige Dreiecke

Es ist üblich, die folgenden Namen für die Seiten von rechtwinkligen Dreiecken zu verwenden.

Die Hypotenuse ist die gegenüberliegende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks rechter Winkel(Abb. 2), die anderen beiden Seiten werden Beine genannt.

Tabelle 4 - Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke

Zeichnung	Funktionsname	Merkmalsformulierung
	an zwei Beine
	Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke an Bein und angrenzend scharfe Ecke
	Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke an Bein und entgegengesetzter spitzer Winkel	Wenn der Schenkel und der gegenüberliegende spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils gleich dem Schenkel und der gegenüberliegende spitze Winkel des anderen rechtwinkligen Dreiecks sind, dann sind solche rechtwinkligen Dreiecke gleich
	Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke an Hypotenuse und spitzer Winkel	Wenn die Hypotenuse und der spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils gleich der Hypotenuse und dem spitzen Winkel eines anderen rechtwinkligen Dreiecks sind, dann sind diese rechtwinkligen Dreiecke gleich
	Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke an Bein und Hypotenuse	Wenn Bein und Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils gleich Bein und Hypotenuse eines anderen rechtwinkligen Dreiecks sind, dann sind solche rechtwinkligen Dreiecke gleich

Das Gleichheitszeichen von rechtwinkligen Dreiecken auf zwei Beinen

Merkmalsformulierung. Sind zwei Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils gleich zwei Schenkeln eines anderen rechtwinkligen Dreiecks, dann sind solche rechtwinkligen Dreiecke gleich

Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke entlang des Beins und angrenzender spitzer Winkel

Merkmalsformulierung. Wenn das Bein und der angrenzende spitze Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks jeweils gleich dem Bein und dem angrenzenden spitzen Winkel eines anderen rechtwinkligen Dreiecks sind, dann sind solche rechtwinkligen Dreiecke

Gleichheit rechtwinkliger Dreiecke entlang des Beins und dem gegenüberliegenden spitzen Winkel

Die vielleicht grundlegendste, einfachste und interessanteste Figur in der Geometrie ist das Dreieck. Im Kurs weiterführende Schule seine Haupteigenschaften werden untersucht, aber manchmal wird das Wissen zu diesem Thema unvollständig gebildet. Die Arten von Dreiecken bestimmen zunächst ihre Eigenschaften. Aber diese Ansicht bleibt gemischt. Daher werden wir dieses Thema nun etwas genauer analysieren.

Die Arten von Dreiecken hängen vom Gradmaß der Winkel ab. Diese Figuren sind spitz, rechteckig und stumpf. Wenn alle Winkel 90 Grad nicht überschreiten, kann die Figur sicher als spitzwinklig bezeichnet werden. Wenn mindestens ein Winkel des Dreiecks 90 Grad beträgt, handelt es sich um eine rechteckige Unterart. Dementsprechend wird in allen anderen Fällen der betrachtete stumpf genannt.

Es gibt viele Probleme für spitzwinklige Unterarten. Besonderheit ist die interne Position der Schnittpunkte von Winkelhalbierenden, Medianen und Höhen. In anderen Fällen kann diese Bedingung nicht erfüllt sein. Es ist nicht schwer, die Art der Form "Dreieck" zu bestimmen. Es reicht beispielsweise aus, den Kosinus jedes Winkels zu kennen. Wenn einer der Werte kleiner als Null ist, ist das Dreieck sowieso stumpf. Wenn der Exponent null ist, hat die Figur einen rechten Winkel. Alles positive Werte sagen Ihnen garantiert, dass Sie eine spitze Sicht vor sich haben.

Es ist unmöglich, nichts über das regelmäßige Dreieck zu sagen. Dies ist die idealste Ansicht, bei der alle Schnittpunkte von Medianen, Winkelhalbierenden und Höhen zusammenfallen. An derselben Stelle liegt auch der Mittelpunkt des eingeschriebenen und umschriebenen Kreises. Um Probleme zu lösen, müssen Sie nur eine Seite kennen, da Ihnen die Winkel zunächst vorgegeben sind und die anderen beiden Seiten bekannt sind. Das heißt, die Form wird nur durch einen Parameter angegeben. Sie existieren Hauptmerkmal- Gleichheit von zwei Seiten und Winkeln an der Basis.

Manchmal stellt sich die Frage, ob es ein Dreieck mit gegebenen Seiten gibt. Tatsächlich werden Sie gefragt, ob diese Beschreibung zu den Haupttypen passt. Wenn beispielsweise die Summe der beiden Seiten kleiner als die dritte ist, existiert eine solche Zahl in Wirklichkeit gar nicht. Stellt sich die Aufgabe, den Kosinus der Winkel eines Dreiecks mit den Seiten 3,5,9 zu ermitteln, dann kann hier das Offensichtliche ohne komplizierte mathematische Tricks erklärt werden. Angenommen, Sie möchten von Punkt A nach Punkt B gelangen. Die Entfernung in einer geraden Linie beträgt 9 Kilometer. Sie haben sich jedoch daran erinnert, dass Sie im Geschäft zu Punkt C gehen müssen. Die Entfernung von A nach C beträgt 3 Kilometer und von C nach B - 5. Es stellt sich also heraus, dass Sie beim Durchlaufen des Ladens einen Kilometer weniger laufen. Da Punkt C jedoch nicht auf der Linie AB liegt, müssen Sie eine zusätzliche Strecke zurücklegen. Hier entsteht ein Widerspruch. Dies ist natürlich eine bedingte Erklärung. Die Mathematik kennt mehr als eine Möglichkeit zu beweisen, dass alle Arten von Dreiecken der grundlegenden Identität gehorchen. Es besagt, dass die Summe der beiden Seiten größer ist als die Länge der dritten.

Jede Art hat die folgenden Eigenschaften:

1) Die Summe aller Winkel beträgt 180 Grad.

2) Es gibt immer ein Orthozentrum - den Schnittpunkt aller drei Höhen.

3) Alle drei Mediane aus den Scheitelpunkten gezogen innere Ecken, kreuzen sich an einer Stelle.

4) Um jedes Dreieck kann man einen Kreis beschreiben. Es ist auch möglich, den Kreis so zu beschriften, dass er nur drei Berührungspunkte hat und nicht über die Außenseiten hinausgeht.

Jetzt sind Sie mit den grundlegenden Eigenschaften vertraut, die Verschiedene Arten Dreiecke. In Zukunft ist es wichtig zu verstehen, womit man es bei der Lösung eines Problems zu tun hat.

Mehr Kinder Vorschulalter wissen, wie ein Dreieck aussieht. Aber mit dem, was sie sind, beginnen die Jungs bereits in der Schule zu verstehen. Einer der Typen ist ein stumpfes Dreieck. Der einfachste Weg, um zu verstehen, was es ist, wenn Sie ein Bild mit seinem Bild sehen. Und in der Theorie wird es "das einfachste Polygon" mit drei Seiten und Ecken genannt, von denen eine ist

Die Konzepte verstehen

In der Geometrie werden diese Arten von Figuren mit drei Seiten unterschieden: spitzwinklige, rechteckige und stumpfe Dreiecke. Darüber hinaus sind die Eigenschaften dieser einfachsten Polygone für alle gleich. Bei allen aufgeführten Arten wird also eine solche Ungleichheit beobachtet. Die Summe der Längen von zwei beliebigen Seiten ist notwendigerweise größer als die Länge der dritten Seite.

Aber um sicher zu gehen es kommt Es geht um die fertige Figur und nicht um eine Menge einzelner Eckpunkte, bei der überprüft werden muss, ob die Grundbedingung erfüllt ist: Die Winkelsumme eines stumpfen Dreiecks beträgt 180 Grad. Das gleiche gilt für andere Arten von Formen mit drei Seiten. In einem stumpfen Dreieck beträgt einer der Winkel zwar sogar mehr als 90 ° und die anderen beiden werden definitiv scharf sein. In diesem Fall ist es der größte Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt. Dies sind zwar bei weitem nicht alle Eigenschaften eines stumpfen Dreiecks. Aber selbst wenn sie nur diese Eigenschaften kennen, können Schulkinder viele Probleme in der Geometrie lösen.

Für jedes Polygon mit drei Eckpunkten gilt auch, dass wir, wenn wir eine der Seiten fortsetzen, einen Winkel erhalten, dessen Größe gleich der Summe zweier nicht benachbarter interner Eckpunkte ist. Der Umfang eines stumpfen Dreiecks wird wie bei anderen Formen berechnet. Es ist gleich der Summe der Längen aller seiner Seiten. Für die Definition haben Mathematiker verschiedene Formeln abgeleitet, je nachdem, welche Daten zunächst vorliegen.

Richtiger Typ

Eine der wichtigsten Voraussetzungen zur Lösung von Geometrieproblemen ist die richtige Zeichnung. Mathelehrer sagen oft, dass er nicht nur helfen wird, zu visualisieren, was gegeben und was von Ihnen verlangt wird, sondern auch 80% näher an der richtigen Antwort. Deshalb ist es wichtig zu wissen, wie man ein stumpfes Dreieck baut. Wenn Sie nur eine hypothetische Form wünschen, können Sie ein beliebiges Polygon mit drei Seiten zeichnen, sodass eine der Ecken größer als 90 Grad ist.

Wenn bestimmte Werte der Seitenlängen oder Winkelgrade angegeben sind, muss entsprechend ein stumpfes Dreieck gezeichnet werden. In diesem Fall muss versucht werden, die Winkel so genau wie möglich darzustellen, sie mit einem Winkelmesser zu berechnen und die Seiten im Verhältnis zu den in der Aufgabe angegebenen Bedingungen anzuzeigen.

Hauptlinien

Schulkindern reicht es oft nicht, nur zu wissen, wie bestimmte Figuren aussehen sollen. Sie können nicht nur auf Informationen darüber beschränkt werden, welches Dreieck stumpf und welches rechteckig ist. Der Mathematikkurs sieht vor, dass ihre Kenntnisse der Hauptmerkmale der Figuren vertieft werden.

Jeder Schüler sollte also die Definition der Winkelhalbierenden, des Medians, der Senkrechten und der Höhe verstehen. Außerdem muss er deren Grundeigenschaften kennen.

Die Winkelhalbierenden teilen also den Winkel in zwei Hälften und die gegenüberliegende Seite - in Segmente, die proportional zu den angrenzenden Seiten sind.

Der Median teilt jedes Dreieck in zwei flächengleiche. An dem Punkt, an dem sie sich kreuzen, wird jedes von ihnen im Verhältnis 2: 1 in 2 Segmente aufgeteilt, von dem Scheitelpunkt aus gesehen, aus dem es herausgekommen ist. In diesem Fall wird der große Median immer auf seine kleinste Seite gezogen.

Nicht weniger Aufmerksamkeit wird der Höhe geschenkt. Es steht senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite der Ecke. Die Höhe eines stumpfen Dreiecks hat ihre eigenen Eigenschaften. Wenn es von einem scharfen Scheitelpunkt gezeichnet wird, fällt es nicht auf die Seite dieses einfachsten Polygons, sondern auf seine Fortsetzung.

Der Mittelpunkt ist das Liniensegment, das sich von der Mitte der Dreiecksfläche erstreckt. Außerdem befindet es sich im rechten Winkel dazu.

Mit Kreisen arbeiten

Zu Beginn des Geometriestudiums müssen Kinder nur verstehen, wie man ein stumpfes Dreieck zeichnet, lernen, es von anderen Typen zu unterscheiden und sich an seine Haupteigenschaften zu erinnern. Aber dieses Wissen reicht für Gymnasiasten nicht aus. Bei der Prüfung gibt es zum Beispiel oft Fragen zu umschriebenen und eingeschriebenen Kreisen. Der erste berührt alle drei Eckpunkte des Dreiecks und der zweite hat einen gemeinsamen Punkt mit allen Seiten.

Es ist schon viel schwieriger, ein eingeschriebenes oder beschriebenes stumpfes Dreieck zu konstruieren, denn dafür muss man zuerst herausfinden, wo der Kreismittelpunkt und sein Radius liegen sollen. Übrigens, notwendiges Werkzeug in diesem Fall wird nicht nur ein Bleistift mit Lineal, sondern auch ein Zirkel.

Die gleichen Schwierigkeiten treten beim Konstruieren von eingeschriebenen Polygonen mit drei Seiten auf. Von Mathematikern wurden verschiedene Formeln abgeleitet, die es ermöglichen, ihren Standort möglichst genau zu bestimmen.

Beschriftete Dreiecke

Wie bereits erwähnt, wenn ein Kreis alle drei Scheitelpunkte durchquert, wird dies als Umkreis bezeichnet. Seine Haupteigenschaft ist, dass es das einzige ist. Um herauszufinden, wie der umschriebene Kreis eines stumpfwinkligen Dreiecks liegen sollte, muss daran erinnert werden, dass sich sein Mittelpunkt im Schnittpunkt dreier Mittelsenkrechten befindet, die zu den Seiten der Figur verlaufen. Wenn in einem spitzwinkligen Polygon mit drei Scheitelpunkten dieser Punkt darin liegt, dann in einem stumpfwinkligen Polygon - außerhalb.

Wenn Sie beispielsweise wissen, dass eine der Seiten eines stumpfen Dreiecks gleich seinem Radius ist, können Sie den Winkel finden, der der bekannten Fläche gegenüberliegt. Sein Sinus ist gleich dem Ergebnis der Division der Länge der bekannten Seite durch 2R (wobei R der Radius des Kreises ist). Das heißt, der Sinus des Winkels ist ½. Dies bedeutet, dass der Winkel 150° beträgt.

Wenn Sie den Radius des umschriebenen Kreises eines stumpfen Dreiecks ermitteln müssen, benötigen Sie Informationen über die Länge seiner Seiten (c, v, b) und seine Fläche S. Schließlich berechnet sich der Radius wie folgt: ( cxvxb): 4 x S. Dabei spielt es keine Rolle, welche Figur Sie haben: ein vielseitiges stumpfes Dreieck, gleichschenklig, rechteckig oder spitzwinklig. In jeder Situation können Sie dank der obigen Formel die Fläche eines bestimmten Polygons mit drei Seiten ermitteln.

Beschriebene Dreiecke

Außerdem muss man oft mit eingeschriebenen Kreisen arbeiten. Nach einer der Formeln entspricht der Radius einer solchen Figur, multipliziert mit der Hälfte des Umfangs, der Fläche des Dreiecks. Es stimmt, um es herauszufinden, müssen Sie die Seiten eines stumpfen Dreiecks kennen. Um die Hälfte des Umfangs zu bestimmen, müssen ihre Längen addiert und durch 2 geteilt werden.

Um zu verstehen, wo sich der Mittelpunkt eines in ein stumpfes Dreieck eingeschriebenen Kreises befinden sollte, müssen drei Winkelhalbierende gezeichnet werden. Dies sind die Linien, die die Ecken halbieren. An ihrem Schnittpunkt befindet sich der Mittelpunkt des Kreises. Außerdem wird es von jeder Seite gleich weit entfernt sein.

Der Radius eines solchen Kreises, der in ein stumpfes Dreieck eingeschrieben ist, ergibt sich aus dem Quotienten (p-c) x (p-v) x (p-b): p. Außerdem ist p der Halbumfang des Dreiecks, c, v, b sind seine Seiten.

Standardbezeichnungen

Dreieck mit Scheitelpunkten EIN, B und C bezeichnet als (siehe Abb.). Das Dreieck hat drei Seiten:

Die Längen der Seiten des Dreiecks werden durch lateinische Kleinbuchstaben (a, b, c) angegeben:

Das Dreieck hat folgende Winkel:

Die Winkel an den entsprechenden Eckpunkten werden traditionell mit griechischen Buchstaben (α, β, γ) bezeichnet.

Gleichheitstests für Dreiecke

Ein Dreieck auf der euklidischen Ebene kann eindeutig (bis auf Kongruenz) durch die folgenden Tripel von Grundelementen bestimmt werden:

1. a, b, γ (Gleichheit auf zwei Seiten und der zwischen ihnen liegende Winkel);
2. a, β, γ (Gleichheit in Seiten- und zwei benachbarten Winkeln);
3. a, b, c (Gleichheit auf drei Seiten).

Gleichheitszeichen rechtwinkliger Dreiecke:

1. entlang des Beins und der Hypotenuse;
2. auf zwei Beinen;
3. entlang des Beins und der scharfen Ecke;
4. durch Hypotenuse und spitzen Winkel.

Einige Punkte im Dreieck sind "gepaart". Zum Beispiel gibt es zwei Punkte, von denen alle Seiten entweder bei 60° oder 120° sichtbar sind. Sie heißen Torricelli-Punkte... Es gibt auch zwei Punkte, deren Projektionen zu den Seiten an den Eckpunkten eines regelmäßigen Dreiecks liegen. Das - Apollonius-Punkte... Punkte und dergleichen werden genannt Brocard-Punkte.

Direkte

In jedem Dreieck liegen Schwerpunkt, Orthozentrum und Mittelpunkt des umschriebenen Kreises auf einer Geraden, genannt Eulers Gerade.

Die Gerade, die durch den Mittelpunkt des umschriebenen Kreises und den Lemoine-Punkt verläuft, heißt Brocard-Achse... Darauf liegen die Spitzen des Apollonius. Außerdem liegen der Torricelli-Punkt und der Lemoine-Punkt auf einer Geraden. Die Basen der äußeren Winkelhalbierenden eines Dreiecks liegen auf einer Geraden, genannt die Achse der äußeren Winkelhalbierenden... Die Schnittpunkte der Linien, die die Seiten des Orthodreiecks enthalten, mit den Linien, die die Seiten des Dreiecks enthalten, liegen ebenfalls auf einer Geraden. Diese Zeile heißt orthozentrische Achse, sie steht senkrecht auf der Euler-Linie.

Wenn wir einen Punkt auf dem umschriebenen Kreis eines Dreiecks nehmen, dann liegen seine Projektionen auf die Seiten des Dreiecks auf einer Geraden, genannt Simson ist hetero dieser Punkt. Simsons Linien diametral gegenüberliegender Punkte sind senkrecht.

Dreiecke

• Ein Dreieck mit Scheitelpunkten an der Basis der Chevians, die durch einen bestimmten Punkt gezogen werden, heißt Chevian-Dreieck dieser Punkt.
• Ein Dreieck mit Ecken in den Projektionen eines gegebenen Punktes an den Seiten heißt hinterhältig oder Pedaldreieck dieser Punkt.
• Das Dreieck an den Scheitelpunkten an den zweiten Schnittpunkten der durch die Scheitelpunkte gezogenen Geraden und dieser Punkt mit dem umschriebenen Kreis heißt Umfang Chevian Dreieck... Das Umfangs-Chevian-Dreieck ähnelt dem Podderny-Dreieck.

Kreise

• Beschrifteter Kreis- ein Kreis, der alles berührt drei Seiten Dreieck. Sie ist die Einzige. Der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises heißt incentrum.
• Umschriebener Kreis- ein Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks geht. Auch der umschriebene Kreis ist einzigartig.
• Auskreisen- ein Kreis tangential zu einer Seite des Dreiecks und die Fortsetzung der anderen beiden Seiten. Es gibt drei solcher Kreise in einem Dreieck. Ihr Radikalzentrum ist das Zentrum des einbeschriebenen Kreises des Mitteldreiecks, genannt Spikers Punkt.

Die Mittelpunkte der drei Seiten des Dreiecks, die Basis von drei seine Höhen und die Mittelpunkte von drei Segmenten, die seine Scheitelpunkte mit dem Orthozentrum verbinden, liegen auf einem Kreis, genannt ein Kreis aus neun Punkten oder Eulers Kreis... Der Mittelpunkt des Kreises aus neun Punkten liegt auf der Euler-Linie. Der Kreis aus neun Punkten berührt den Inkreis und die drei Ex-Punkte. Der Tangentialpunkt des einbeschriebenen Kreises und des Neun-Punkte-Kreises heißt Punkt Feuerbach... Wenn wir von jedem Scheitelpunkt aus die Außenseite des Dreiecks auf geraden Linien mit Seiten legen, die Orthese gleich lang wie die gegenüberliegenden Seiten, dann liegen die resultierenden sechs Punkte auf einem Kreis - Conways Kreis... In jedes Dreieck können drei Kreise so eingeschrieben werden, dass jeder von ihnen zwei Seiten des Dreiecks und zwei weitere Kreise berührt. Solche Kreise heißen Kreise Malfatti... Die Mittelpunkte der umschriebenen Kreise von sechs Dreiecken, in die das Dreieck durch Mediane unterteilt ist, liegen auf einem Kreis, der genannt wird Lamuns Kreis.

Ein Dreieck hat drei Kreise, die zwei Seiten des Dreiecks und des Umkreises berühren. Solche Kreise heißen halb geschrieben oder Verriers Kreise... Die Segmente, die die Tangentialpunkte der Verriere-Kreise mit dem umschriebenen Kreis verbinden, schneiden sich in einem Punkt, genannt Verrier-Punkt... Es dient als Zentrum der Homothetie, die den Umkreis in einen eingeschriebenen Kreis verwandelt. Die Tangentialpunkte der Verrière-Kreise mit den Seiten liegen auf einer Geraden, die durch den Mittelpunkt des einbeschriebenen Kreises geht.

Die Segmente, die die Tangentialpunkte des einbeschriebenen Kreises mit den Scheitelpunkten verbinden, schneiden sich in einem Punkt, genannt Punkt Gergonne, und die Liniensegmente, die die Eckpunkte mit den Tangentialpunkten der Exkreise verbinden, sind in Punkt Nagel.

Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

Eingeschriebener Kegel (Ellipse) und seine Perspektive

In ein Dreieck können unendlich viele Kegelschnitte (Ellipsen, Parabeln oder Hyperbeln) eingeschrieben werden. Schreibt man einen beliebigen Kegelschnitt in ein Dreieck ein und verbindet die Tangentialpunkte mit gegenüberliegenden Eckpunkten, dann schneiden sich die resultierenden Geraden in einem Punkt, genannt Perspektive Kegelschnitte. Für jeden Punkt der Ebene, der nicht auf der Seite oder auf ihrer Verlängerung liegt, gibt es an dieser Stelle einen eingeschriebenen Kegelschnitt mit Perspektive.

Die beschriebene Ellipse von Steiner und Chevians, die durch seinen Brennpunkt geht

Eine Ellipse kann in ein Dreieck eingeschrieben werden, das die Seiten in der Mitte berührt. Eine solche Ellipse heißt bezeichnete Steiner-Ellipse(seine Perspektive ist der Dreiecksschwerpunkt). Die beschriebene Ellipse, die die Linien berührt, die durch die Eckpunkte parallel zu den Seiten verlaufen, heißt beschrieben durch die Steiner-Ellipse... Wenn wir durch eine affine Transformation ("skewing") ein Dreieck in ein regelmäßiges verwandeln, dann geht seine eingeschriebene und umschriebene Steiner-Ellipse in den eingeschriebenen und umschriebenen Kreis über. Die durch die Brennpunkte der beschriebenen Steiner-Ellipse (Skutin-Punkte) gezogenen Chevianer sind gleich (Skutin-Theorem). Von allen beschriebenen Ellipsen hat die beschriebene Steiner-Ellipse kleinste Fläche, und von allen beschrifteten hat die beschriftete Steiner-Ellipse die größte Fläche.

Die Ellipse von Brocard und ihre Perspektive - Lemoine-Punkt

Eine Ellipse mit Brennpunkten an Brocard-Punkten heißt Brocards Ellipse... Als Perspektive dient der Lemoine-Punkt.

Eingeschriebene Parabeleigenschaften

Parabel Kipert

Die Perspektiven der eingeschriebenen Parabeln liegen auf der beschriebenen Steiner-Ellipse. Der Fokus der eingeschriebenen Parabel liegt auf dem Umkreis, und die Leitlinie verläuft durch das Orthozentrum. Eine in ein Dreieck eingeschriebene Parabel mit der Eulerschen Linie als Leitlinie heißt die Kipert-Parabel... Seine Perspektive ist der vierte Schnittpunkt des umschriebenen Kreises und der umschriebenen Steiner-Ellipse, genannt Steiner-Punkt.

Übertreibung von Kipert

Wenn die beschriebene Hyperbel durch den Schnittpunkt der Höhen geht, ist sie gleichseitig (dh ihre Asymptoten stehen senkrecht). Der Schnittpunkt der Asymptoten der gleichseitigen Hyperbel liegt auf dem Kreis der neun Punkte.

Transformationen

Wenn die geraden Linien, die durch die Scheitelpunkte und einen nicht auf den Seiten liegenden Punkt und ihre Verlängerungen verlaufen, relativ zu den entsprechenden Winkelhalbierenden gespiegelt werden, dann schneiden sich ihre Bilder auch in einem Punkt, der als bezeichnet wird isogonal konjugiert original (wenn der Punkt auf dem umschriebenen Kreis liegt, sind die resultierenden Geraden parallel). Viele Paare bemerkenswerter Punkte sind isogonal konjugiert: das Zentrum des umschriebenen Kreises und das Orthozentrum, der Schwerpunkt und der Lemoine-Punkt, Brocard-Punkte. Apollonius-Punkte sind zu Torricelli-Punkten isogonal konjugiert, und der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ist zu sich selbst isogonal konjugiert. Unter der Wirkung der isogonalen Konjugation gehen gerade Linien in beschriebene Kegelschnitte und beschriebene Kegelschnitte in gerade Linien über. So sind die Kipert-Hyperbel und die Brocard-Achse, die Enzhabek-Hyperbel und die Euler-Linie, die Feuerbach-Hyperbel und die Mittelpunktslinie der über den umschriebenen Kreisen eingeschriebenen Kreise isogonal konjugiert. Die umschriebenen Kreise der subkutanen Dreiecke der isogonal konjugierten Punkte fallen zusammen. Brennpunkte eingeschriebener Ellipsen sind isogonal konjugiert.

Wenn wir statt einer symmetrischen Cheviana eine Cheviana nehmen, deren Basis von der Mitte der Seite genauso entfernt wird wie die Basis des Originals, dann schneiden sich auch solche Chevianas an einem Punkt. Die resultierende Transformation heißt isotomische Konjugation... Es wandelt auch gerade Linien in beschriebene Kegelschnitte um. Die Punkte von Gergonne und Nagel sind isotomisch konjugiert. Bei affinen Transformationen werden isotomisch konjugierte Punkte in isotomisch konjugierte Punkte umgewandelt. Bei isotomischer Konjugation geht die beschriebene Steiner-Ellipse auf die unendlich weit entfernte Gerade.

Wenn wir in die Segmente, die von den Seiten des Dreiecks vom umschriebenen Kreis abgeschnitten werden, Kreise einschreiben, die die Seiten an der Basis der Chevians tangential durch einen bestimmten Punkt ziehen, und dann die Tangentialpunkte dieser Kreise mit dem umschriebenen Kreis verbinden mit gegenüberliegenden Scheitelpunkten, dann schneiden sich solche Geraden in einem Punkt. Die Transformation der Ebene, die dem resultierenden Punkt zum ursprünglichen Punkt entspricht, heißt isokreisförmige Transformation... Die isogonale und isotomische Konjugationszusammensetzung ist die isozirkulare Transformationszusammensetzung mit sich selbst. Diese Komposition ist eine projektive Transformation, die die Seiten des Dreiecks an Ort und Stelle belässt und die Achse der äußeren Winkelhalbierenden auf die Linie im Unendlichen überträgt.

Wenn wir die Seiten des Chevian-Dreiecks eines Punktes fortsetzen und ihre Schnittpunkte mit den entsprechenden Seiten nehmen, dann liegen die erhaltenen Schnittpunkte auf einer Geraden, genannt trilinear polar Startpunkt. Orthozentrische Achse - trilinearer Polar des Orthozentrums; die Achse der äußeren Winkelhalbierenden dient als trilinearer Polar des eingeschriebenen Kreismittelpunktes. Trilineare Polaren von Punkten, die auf dem umschriebenen Kegelschnitt liegen, schneiden sich in einem Punkt (für den umschriebenen Kreis ist dies der Lemoine-Punkt, für die umschriebene Steiner-Ellipse der Schwerpunkt). Die Zusammensetzung einer isogonalen (oder isotomischen) Konjugation und einer trilinearen Polare ist eine Transformation der Dualität (wenn ein zu einem Punkt isogonal (isotomisch) konjugierter Punkt auf der trilinearen Polarität eines Punktes liegt, dann ist eine trilineare Polarität eines Punktes isogonal (isotomisch) ) zu einem konjugierten Punkt liegt auf einer trilinearen Polare eines Punktes).

Würfel

Beziehungen in einem Dreieck

Notiz: in diesem Abschnitt ist Länge von drei Seiten des Dreiecks, und,, sind die diesen drei Seiten jeweils gegenüberliegenden Winkel (Gegenwinkel).

Dreiecksungleichung

Bei einem nicht entarteten Dreieck ist die Summe der Längen seiner beiden Seiten größer als die Länge der dritten Seite, bei einem entarteten Dreieck gleich. Mit anderen Worten, die Längen der Seiten eines Dreiecks hängen durch die folgenden Ungleichungen zusammen:

Die Dreiecksungleichung ist eines der Axiome der Metrik.

Der Summensatz der Winkel eines Dreiecks

Sinussatz

,

wobei R der Radius eines um ein Dreieck umschriebenen Kreises ist. Aus dem Satz folgt, dass wenn a< b < c, то α < β < γ.

Kosinussatz

Tangentensatz

Andere Verhältnisse

Metrische Verhältnisse in einem Dreieck sind gegeben für:

Dreiecke lösen

Die Berechnung der unbekannten Seiten und Winkel eines Dreiecks, basierend auf den bekannten, hat in der Vergangenheit den Namen "Lösung von Dreiecken" erhalten. In diesem Fall werden die obigen allgemeinen trigonometrischen Theoreme verwendet.

Fläche eines Dreiecks

Sonderfälle Bezeichnungen

Für die Fläche gelten folgende Ungleichungen:

Berechnen der Fläche eines Dreiecks im Raum mit Vektoren

Die Eckpunkte des Dreiecks seien an den Punkten,,.

Wir führen den Flächenvektor ein. Die Länge dieses Vektors entspricht der Fläche des Dreiecks und ist entlang der Normalen zur Ebene des Dreiecks gerichtet:

Wir setzen, wo,, - die Projektion des Dreiecks auf die Koordinatenebenen. Dabei

und ähnlich

Die Fläche des Dreiecks ist.

Eine Alternative besteht darin, die Längen der Seiten (nach dem Satz des Pythagoras) und dann nach der Heronschen Formel zu berechnen.

Dreieckssätze

Satz von Desargues: Wenn zwei Dreiecke perspektivisch sind (gerade Linien, die durch die jeweiligen Eckpunkte der Dreiecke verlaufen, schneiden sich in einem Punkt), dann schneiden sich ihre jeweiligen Seiten auf einer geraden Linie.

Sondas Theorem: wenn zwei Dreiecke perspektivisch und orthologisch sind (Senkrechte fallen von den Eckpunkten eines Dreiecks auf die den entsprechenden Eckpunkten des Dreiecks gegenüberliegenden Seiten und umgekehrt), dann beide Ortologiezentren (die Schnittpunkte dieser Vertikalen) und die Perspektivenmittelpunkt liegt auf einer Geraden senkrecht zur Perspektivachse (Gerade aus dem Satz von Desargues).