Definition. Wenn zwei Linien gegeben sind y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , dann scharfe Ecke zwischen diesen Zeilen wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2 . Zwei Geraden sind senkrecht, wenn k 1 = -1/ k 2 .

Satz. Die geraden Linien Ax + Vy + C \u003d 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sind parallel, wenn die Koeffizienten A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB proportional sind. Wenn auch С 1 = λС, dann fallen die Geraden zusammen. Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft

Senkrecht zu dieser Linie

Definition. Die Linie, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Linie y \u003d kx + b verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt:

Abstand von Punkt zu Linie

Satz. Wenn ein Punkt M(x 0, y 0) gegeben ist, ist der Abstand zur Linie Ax + Vy + C \u003d 0 definiert als

.

Nachweisen. Der Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die vom Punkt M auf die gegebene Linie fällt. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Die Koordinaten x 1 und y 1 finden sich als Lösung des Gleichungssystems:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen geraden Linie verläuft. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form umwandeln:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Setzen wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) ein, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Linien: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht zueinander stehen.

Lösung. Wir finden: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, daher sind die Linien senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind gegeben. Finden Sie die Gleichung für die vom Scheitelpunkt C gezogene Höhe.

Lösung. Wir finden die Gleichung der Seite AB: ; 4x = 6y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Die gesuchte Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k = . Dann ist y = . Weil die Höhe durch den Punkt C geht, dann erfüllen ihre Koordinaten diese Gleichung: womit b = 17. Gesamt: .

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

Gleichung einer Linie, die in einer bestimmten Richtung durch einen bestimmten Punkt verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht. Winkel zwischen zwei Geraden. Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden. Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1) in eine bestimmte Richtung, bestimmt durch die Neigung k,

j - j 1 = k(x - x 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Linienbündel, das durch einen Punkt verläuft EIN(x 1 , j 1), die als Strahlmittelpunkt bezeichnet wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht: EIN(x 1 , j 1) und B(x 2 , j 2) wird so geschrieben:

Die Steigung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen geraden Linien EIN Und B ist der Winkel, um den die erste Gerade gedreht werden muss EIN um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn herum, bis er mit der zweiten Linie zusammenfällt B. Wenn zwei Geraden durch Steigungsgleichungen gegeben sind

j = k 1 x + B 1 ,

j = k 2 x + B 2 , (4)

dann wird der Winkel zwischen ihnen durch die Formel bestimmt

Es ist zu beachten, dass im Zähler des Bruchs die Steigung der ersten Geraden von der Steigung der zweiten Geraden subtrahiert wird.

Wenn die Gleichungen einer Geraden gegeben sind Gesamtansicht

EIN 1 x + B 1 j + C 1 = 0,

EIN 2 x + B 2 j + C 2 = 0, (6)

der Winkel zwischen ihnen wird durch die Formel bestimmt

4. Bedingungen für die Parallelität zweier Linien:

a) Wenn die Linien durch Gleichungen (4) mit einer Steigung gegeben sind, dann ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität die Gleichheit ihrer Steigungen:

k 1 = k 2 . (8)

b) Für den Fall, dass die Linien durch Gleichungen in allgemeiner Form (6) gegeben sind, ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität, dass die Koeffizienten an den entsprechenden Stromkoordinaten in ihren Gleichungen proportional sind, d.h.

5. Bedingungen für die Rechtwinkligkeit zweier Geraden:

a) In dem Fall, dass die Geraden durch die Gleichungen (4) mit einer Steigung gegeben sind, ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit, dass ihre Steigungen reziprok in der Größe und entgegengesetzt im Vorzeichen sind, d.h.

Diese Bedingung kann auch in das Formular geschrieben werden

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Sind die Geradengleichungen in der allgemeinen Form (6) gegeben, so ist die Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit (notwendig und hinreichend) die Erfüllung der Gleichheit

EIN 1 EIN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden werden durch Lösen des Gleichungssystems (6) ermittelt. Die Linien (6) schneiden sich genau dann, wenn

1. Schreiben Sie die Gleichungen der Geraden auf, die durch den Punkt M gehen, von denen eine parallel und die andere senkrecht zur gegebenen Geraden l ist.

Dieses Material widmet sich einem Konzept wie dem Winkel zwischen zwei sich schneidenden geraden Linien. Im ersten Absatz erklären wir, was es ist, und zeigen es in Illustrationen. Dann werden wir analysieren, wie Sie den Sinus, den Kosinus dieses Winkels und den Winkel selbst finden können (wir werden Fälle mit einer Ebene und einem dreidimensionalen Raum getrennt betrachten), wir werden die notwendigen Formeln geben und anhand von Beispielen zeigen, wie genau sie angewendet werden in der Praxis.

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Um zu verstehen, was ein Winkel ist, der am Schnittpunkt zweier Linien gebildet wird, müssen wir uns an die eigentliche Definition eines Winkels, einer Rechtwinkligkeit und eines Schnittpunkts erinnern.

Bestimmung 1

Wir nennen zwei Geraden schneidend, wenn sie einen gemeinsamen Punkt haben. Dieser Punkt wird Schnittpunkt der beiden Geraden genannt.

Jede Linie wird durch den Schnittpunkt in Strahlen unterteilt. In diesem Fall bilden beide Linien 4 Winkel, von denen zwei vertikal und zwei benachbart sind. Wenn wir das Maß von einem von ihnen kennen, können wir die anderen verbleibenden bestimmen.

Nehmen wir an, wir wissen, dass einer der Winkel gleich α ist. In einem solchen Fall ist der senkrecht dazu stehende Winkel ebenfalls gleich α. Um die verbleibenden Winkel zu finden, müssen wir die Differenz 180 ° - α berechnen. Wenn α gleich 90 Grad ist, dann sind alle Winkel richtig. Linien, die sich rechtwinklig schneiden, werden senkrecht genannt (ein separater Artikel ist dem Konzept der Rechtwinkligkeit gewidmet).

Schau dir das Bild an:

Fahren wir mit der Formulierung der Hauptdefinition fort.

Bestimmung 2

Der Winkel, der von zwei sich schneidenden Linien gebildet wird, ist das Maß für den kleineren der 4 Winkel, die diese beiden Linien bilden.

Aus der Definition muss eine wichtige Schlussfolgerung gezogen werden: Die Größe des Winkels wird in diesem Fall durch eine beliebige reelle Zahl im Intervall (0, 90] ausgedrückt. Wenn die Linien senkrecht sind, ist der Winkel zwischen ihnen in jedem Fall gleich 90 Grad.

Die Fähigkeit, das Maß des Winkels zwischen zwei sich schneidenden Linien zu finden, ist nützlich, um viele praktische Probleme zu lösen. Das Lösungsverfahren kann aus mehreren Optionen ausgewählt werden.

Für den Anfang können wir geometrische Methoden nehmen. Wenn wir etwas über zusätzliche Winkel wissen, können wir sie mit den Eigenschaften gleicher oder ähnlicher Formen zu dem benötigten Winkel verbinden. Wenn wir beispielsweise die Seiten eines Dreiecks kennen und den Winkel zwischen den Linien berechnen müssen, auf denen sich diese Seiten befinden, eignet sich der Kosinussatz zum Lösen. Wenn wir in der Bedingung sind rechtwinkliges Dreieck, dann benötigen wir für Berechnungen auch die Kenntnis von Sinus, Cosinus und Tangens des Winkels.

Die Koordinatenmethode ist auch sehr praktisch, um Probleme dieser Art zu lösen. Lassen Sie uns erklären, wie Sie es richtig verwenden.

Wir haben ein rechteckiges (kartesisches) Koordinatensystem O x y mit zwei Geraden. Lassen Sie uns sie mit den Buchstaben a und b bezeichnen. Dabei können Geraden mit beliebigen Gleichungen beschrieben werden. Die ursprünglichen Linien haben einen Schnittpunkt M . Wie bestimmt man den gewünschten Winkel (nennen wir ihn mit α) zwischen diesen Linien?

Beginnen wir mit der Formulierung des Grundprinzips der Winkelfindung unter gegebenen Bedingungen.

Wir wissen, dass Konzepte wie Richtung und Normalenvektor eng mit dem Konzept einer geraden Linie verwandt sind. Wenn wir die Gleichung einer geraden Linie haben, können wir ihr die Koordinaten dieser Vektoren entnehmen. Wir können dies für zwei sich schneidende Linien gleichzeitig tun.

Der Winkel, der durch zwei sich schneidende Linien gebildet wird, kann gefunden werden mit:

• Winkel zwischen Richtungsvektoren;
• Winkel zwischen Normalenvektoren;
• der Winkel zwischen dem Normalenvektor einer Linie und dem Richtungsvektor der anderen.

Betrachten wir nun jede Methode separat.

1. Angenommen, wir haben eine Linie a mit Richtungsvektor a → = (a x , a y) und eine Linie b mit Richtungsvektor b → (b x , b y) . Lassen Sie uns nun zwei Vektoren a → und b → vom Schnittpunkt beiseite legen. Danach werden wir sehen, dass sie sich jeweils in einer eigenen Zeile befinden. Dann haben wir vier Optionen für ihre relative Position. Siehe Abbildung:

Wenn der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht stumpf ist, dann ist es der Winkel, den wir zwischen den sich schneidenden Linien a und b benötigen. Wenn es stumpf ist, ist der gewünschte Winkel gleich dem Winkel neben dem Winkel a → , b → ^ . Somit ist α = a → , b → ^ wenn a → , b → ^ ≤ 90 ° , und α = 180 ° - a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .

Da die Kosinus gleiche Winkel gleich sind, können wir die resultierenden Gleichheiten wie folgt umschreiben: cos α = cos a → , b → ^ if a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ wenn a → , b → ^ > 90 ° .

Im zweiten Fall wurden Reduktionsformeln verwendet. Auf diese Weise,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Schreiben wir die letzte Formel in Worten:

Bestimmung 3

Der Kosinus des Winkels, der durch zwei sich schneidende Linien gebildet wird, ist gleich dem Betrag des Kosinus des Winkels zwischen seinen Richtungsvektoren.

Die allgemeine Form der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren a → = (a x, a y) und b → = (b x, b y) sieht so aus:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Daraus können wir die Formel für den Kosinus des Winkels zwischen zwei gegebenen Geraden ableiten:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dann kann der Winkel selbst mit der folgenden Formel gefunden werden:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Dabei sind a → = (a x , a y) und b → = (b x , b y) die Richtungsvektoren der gegebenen Geraden.

Lassen Sie uns ein Beispiel für die Lösung des Problems geben.

Beispiel 1

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem sind zwei Schnittlinien a und b in der Ebene gegeben. Sie können durch Parametergleichungen x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R und x 5 = y - 6 - 3 beschrieben werden. Berechnen Sie den Winkel zwischen diesen Linien.

Lösung

Wir haben eine Parametergleichung in der Bedingung, was bedeutet, dass wir für diese Gerade sofort die Koordinaten ihres Richtungsvektors aufschreiben können. Dazu müssen wir die Werte der Koeffizienten am Parameter nehmen, d.h. die Gerade x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R wird einen Richtungsvektor a → = (4 , 1) haben.

Die zweite Gerade wird durch die kanonische Gleichung x 5 = y - 6 - 3 beschrieben. Hier können wir die Koordinaten aus den Nennern entnehmen. Somit hat diese Gerade einen Richtungsvektor b → = (5 , - 3) .

Als nächstes gehen wir direkt zum Ermitteln des Winkels über. Ersetzen Sie dazu einfach die verfügbaren Koordinaten der beiden Vektoren in die obige Formel α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Wir erhalten Folgendes:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Antworten: Diese Linien bilden einen Winkel von 45 Grad.

Wir können ein ähnliches Problem lösen, indem wir den Winkel zwischen Normalenvektoren finden. Wenn wir eine Linie a mit einem Normalenvektor na → = (nax , nay) und eine Linie b mit einem Normalenvektor nb → = (nbx , nby) haben, dann ist der Winkel zwischen ihnen gleich dem Winkel zwischen na → und nb → oder der Winkel, der an na → , nb → ^ angrenzt. Diese Methode ist im Bild dargestellt:

Die Formeln zur Berechnung des Kosinus des Winkels zwischen sich schneidenden Linien und dieses Winkels selbst unter Verwendung der Koordinaten von Normalenvektoren sehen folgendermaßen aus:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Dabei bezeichnen n a → und n b → die Normalenvektoren zweier gegebener Geraden.

Beispiel 2

Mit den Gleichungen 3 x + 5 y - 30 = 0 und x + 4 y - 17 = 0 werden zwei Geraden in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie den Sinus, Cosinus des Winkels zwischen ihnen und die Größe dieses Winkels selbst.

Lösung

Die ursprünglichen Geraden werden durch normale Geradengleichungen der Form A x + B y + C = 0 gegeben. Bezeichne den Normalenvektor n → = (A , B) . Finden wir die Koordinaten des ersten Normalenvektors für eine Gerade und schreiben sie auf: n a → = (3 , 5) . Für die zweite Linie x + 4 y - 17 = 0 hat der Normalenvektor die Koordinaten n b → = (1 , 4) . Fügen Sie nun die erhaltenen Werte zur Formel hinzu und berechnen Sie die Summe:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Wenn wir den Kosinus eines Winkels kennen, können wir seinen Sinus mit der grundlegenden trigonometrischen Identität berechnen. Da der durch gerade Linien gebildete Winkel α nicht stumpf ist, ist sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

In diesem Fall ist α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Antwort: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

Analysieren wir den letzten Fall - das Finden des Winkels zwischen den Linien, wenn wir die Koordinaten des Richtungsvektors einer Linie und des Normalenvektors der anderen kennen.

Angenommen, die Linie a hat einen Richtungsvektor a → = (a x , a y) , und die Linie b hat einen Normalenvektor n b → = (n b x , n b y) . Wir müssen diese Vektoren vom Schnittpunkt verschieben und alle Optionen für ihre relative Position berücksichtigen. Siehe Bild:

Wenn der Winkel zwischen den angegebenen Vektoren nicht mehr als 90 Grad beträgt, stellt sich heraus, dass er den Winkel zwischen a und b zu einem rechten Winkel ergänzt.

a → , n b → ^ = 90 ° - α wenn a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Wenn es weniger als 90 Grad beträgt, erhalten wir Folgendes:

a → , n b → ^ > 90 ° , dann a → , n b → ^ = 90 ° + α

Unter Verwendung der Gleichheitsregel von Cosinus gleicher Winkel schreiben wir:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α für a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α bei a → , n b → ^ > 90 ° .

Auf diese Weise,

sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ ≤ 90 ° - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^ > 0 - cos a → , nb → ^ , a → , nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Lassen Sie uns ein Fazit formulieren.

Bestimmung 4

Um den Sinus des Winkels zwischen zwei Linien zu finden, die sich in einer Ebene schneiden, müssen Sie den Betrag des Kosinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der ersten Linie und dem Normalenvektor der zweiten Linie berechnen.

Lassen Sie uns die notwendigen Formeln aufschreiben. Den Sinus eines Winkels finden:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Die Ecke selbst finden:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Dabei ist a → der Richtungsvektor der ersten Linie und n b → der Normalenvektor der zweiten.

Beispiel 3

Zwei sich schneidende Geraden sind durch die Gleichungen x - 5 = y - 6 3 und x + 4 y - 17 = 0 gegeben. Finde den Schnittwinkel.

Lösung

Die Koordinaten des Richtungs- und Normalenvektors entnehmen wir den gegebenen Gleichungen. Es stellt sich heraus a → = (- 5 , 3) ​​​​und n → b = (1 , 4) . Wir nehmen die Formel α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 und betrachten:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Beachten Sie, dass wir die Gleichungen aus dem vorherigen Problem genommen haben und genau das gleiche Ergebnis erhalten haben, aber auf andere Weise.

Antworten:α = a r c sin 7 2 34

Hier ist eine weitere Möglichkeit, den gewünschten Winkel mithilfe der Steigungskoeffizienten gegebener Linien zu finden.

Wir haben eine Linie a, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem unter Verwendung der Gleichung y = k 1 · x + b 1 definiert ist, und eine Linie b, die als y = k 2 · x + b 2 definiert ist. Das sind Geradengleichungen mit Steigung. Um den Schnittwinkel zu finden, verwenden Sie die Formel:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 , wobei k 1 und k 2 die Steigungen der gegebenen Geraden sind. Um diese Aufzeichnung zu erhalten, wurden Formeln zur Bestimmung des Winkels durch die Koordinaten von Normalenvektoren verwendet.

Beispiel 4

Es gibt zwei gerade Linien, die sich in der Ebene schneiden, gegeben durch die Gleichungen y = - 3 5 x + 6 und y = - 1 4 x + 17 4 . Berechne den Schnittwinkel.

Lösung

Die Steigungen unserer Geraden sind gleich k 1 = – 3 5 und k 2 = – 1 4 . Fügen wir sie zur Formel α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 hinzu und berechnen:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Antworten:α = a r c cos 23 2 34

Zum Schluss dieses Absatzes sei darauf hingewiesen, dass die hier angegebenen Formeln zur Winkelbestimmung nicht auswendig gelernt werden müssen. Dazu reicht es aus, die Koordinaten der Hilfslinien und/oder Normalenvektoren der gegebenen Linien zu kennen und daraus bestimmen zu können verschiedene Typen Gleichungen. Aber die Formeln zur Berechnung des Kosinus eines Winkels sind besser zu merken oder aufzuschreiben.

So berechnen Sie den Winkel zwischen sich schneidenden Linien im Raum

Die Berechnung eines solchen Winkels kann auf die Berechnung der Koordinaten der Richtungsvektoren und die Bestimmung der Größe des durch diese Vektoren gebildeten Winkels reduziert werden. Für solche Beispiele verwenden wir die gleiche Argumentation, die wir zuvor angegeben haben.

Nehmen wir an, wir haben ein rechteckiges Koordinatensystem, das sich bei befindet dreidimensionaler Raum. Sie enthält zwei Geraden a und b mit dem Schnittpunkt M . Um die Koordinaten der Richtungsvektoren zu berechnen, müssen wir die Gleichungen dieser Linien kennen. Bezeichne die Richtungsvektoren a → = (a x , a y , a z) und b → = (b x , b y , b z) . Um den Kosinus des Winkels zwischen ihnen zu berechnen, verwenden wir die Formel:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Um den Winkel selbst zu finden, brauchen wir diese Formel:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Beispiel 5

Wir haben eine gerade Linie im 3D-Raum unter Verwendung der Gleichung x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 definiert. Es ist bekannt, dass sie die O z -Achse schneidet. Berechnen Sie den Schnittwinkel und den Kosinus dieses Winkels.

Lösung

Bezeichnen wir den zu berechnenden Winkel mit dem Buchstaben α. Schreiben wir die Koordinaten des Richtungsvektors für die erste Gerade auf - a → = (1 , - 3 , - 2) . Für die Anwendungsachse können wir den Koordinatenvektor k → = (0 , 0 , 1) als Richtwert nehmen. Wir haben die notwendigen Daten erhalten und können sie der gewünschten Formel hinzufügen:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Als Ergebnis erhalten wir, dass der Winkel, den wir brauchen, gleich a r c cos 1 2 = 45 ° ist.

Antworten: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

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Markiert man zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) auf einer Geraden im Raum, so müssen die Koordinaten dieser Punkte die Gleichung der erfüllen oben erhaltene Gerade:

Außerdem können wir für Punkt M 1 schreiben:

.

Wenn wir diese Gleichungen zusammen lösen, erhalten wir:

.

Das ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum geht.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als die Gleichung einer Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Allgemeine Geradengleichungen in Koordinatenform:

Ein praktisches Problem besteht oft darin, die Liniengleichungen in allgemeiner Form auf die kanonische Form zu reduzieren.

Dazu müssen Sie einen beliebigen Punkt auf der Linie und die Zahlen m, n, p finden.

In diesem Fall kann der Richtungsvektor einer Geraden als Vektorprodukt der Normalenvektoren zu den gegebenen Ebenen gefunden werden.

Beispiel. Finden Sie die kanonische Gleichung, wenn die Gerade in der Form gegeben ist:

Um einen beliebigen Punkt auf einer geraden Linie zu finden, nehmen wir seine Koordinate x = 0 und setzen diesen Wert dann in das gegebene Gleichungssystem ein.

Diese. A(0, 2, 1).

Wir finden die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.

Dann die kanonischen Gleichungen der Linie:

Beispiel. Bringen Sie die Gleichung einer geraden Linie in die kanonische Form, die in der Form gegeben ist:

Um einen beliebigen Punkt der geraden Linie zu finden, die die Schnittlinie der obigen Ebenen ist, nehmen wir z = 0. Dann gilt:

;

2x - 9x - 7 = 0;

Wir erhalten: A(-1; 3; 0).

Richtungsvektor direkt: .

Winkel zwischen Ebenen.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen im Raum  steht in Beziehung zu dem Winkel zwischen den Normalen zu diesen Ebenen  1 durch die Beziehung:  =  1 oder  = 180 0 -  1, d.h.

cos = cos 1 .

Lassen Sie uns den Winkel  1 definieren. Es ist bekannt, dass Ebenen durch die Beziehungen definiert werden können:

, wo

(A 1 , B 1 , C 1), (A 2 , B 2 , C 2). Wir finden den Winkel zwischen den Normalenvektoren aus ihrem Skalarprodukt:

.

Somit wird der Winkel zwischen den Ebenen durch die Formel gefunden:

Die Wahl des Vorzeichens des Kosinus hängt davon ab, welcher Winkel zwischen den Ebenen gefunden werden soll - spitz oder stumpf daneben.

Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Basierend auf der obigen Formel zum Ermitteln des Winkels zwischen den Ebenen können Sie die Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit der Ebenen ermitteln.

Damit die Ebenen senkrecht stehen, ist es notwendig und ausreichend, dass der Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen gleich Null ist. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn:

Die Ebenen sind parallel, die Normalenvektoren kollinear:  . Diese Bedingung ist erfüllt, wenn: .

Winkel zwischen Linien im Raum.

Gegeben seien zwei Geraden im Raum. Ihre parametrischen Gleichungen sind:

Der Winkel zwischen den Linien  und der Winkel zwischen den Richtungsvektoren  dieser Linien stehen in Beziehung zu der Beziehung:  =  1 oder  = 180 0 -  1 . Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren ergibt sich aus dem Skalarprodukt. Auf diese Weise:

.

Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit von Linien im Raum.

Damit zwei Geraden parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Geraden kollinear sind, d.h. ihre jeweiligen Koordinaten waren proportional.

Gegeben seien Linien im Raum l Und m. Durch einen Punkt A des Raums ziehen wir gerade Linien l 1 || l Und m 1 || m(Abb. 138).

Beachten Sie, dass der Punkt A beliebig gewählt werden kann, insbesondere auf einer der vorgegebenen Geraden liegen kann. Wenn gerade l Und m schneiden, dann kann A als Schnittpunkt dieser Geraden genommen werden ( l 1 =l Und m 1 = m).

Winkel zwischen nicht parallelen Linien l Und m ist der Wert des kleinsten der benachbarten Winkel, die durch sich schneidende Geraden gebildet werden l 1 Und m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Der Winkel zwischen parallelen Linien wird mit Null angenommen.

Winkel zwischen Linien l Und m bezeichnet mit \(\widehat((l;m)) \). Aus der Definition folgt, dass wenn es in Grad gemessen wird, dann 0 ° < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, und wenn im Bogenmaß, dann 0 < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .

Eine Aufgabe. Der Würfel ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ist gegeben (Abb. 139).

Finden Sie den Winkel zwischen den Geraden AB und DC 1 .

Gerade Kreuzung AB und DC 1. Da die Gerade DC parallel zur Geraden AB verläuft, ist der Winkel zwischen den Geraden AB und DC 1 laut Definition gleich \(\widehat(C_(1)DC)\).

Also \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Direkte l Und m namens aufrecht, wenn \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Zum Beispiel in einem Würfel

Berechnung des Winkels zwischen Linien.

Das Problem, den Winkel zwischen zwei Geraden im Raum zu berechnen, wird auf die gleiche Weise gelöst wie in der Ebene. Bezeichne mit φ den Winkel zwischen den Linien l 1 Und l 2 und durch ψ - den Winkel zwischen den Richtungsvektoren aber Und B diese Geraden.

Dann wenn

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (Abb. 206.6), dann φ = 180° - ψ. Es ist offensichtlich, dass in beiden Fällen die Gleichheit cos φ = |cos ψ| gilt. Gemäß der Formel (der Kosinus des Winkels zwischen den Nicht-Null-Vektoren a und b ist gleich dem Skalarprodukt dieser Vektoren dividiert durch das Produkt ihrer Längen) haben wir

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

Folglich,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Die Linien seien durch ihre kanonischen Gleichungen gegeben

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Und \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Dann wird der Winkel φ zwischen den Linien mit der Formel bestimmt

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Wenn eine der Linien (oder beide) durch nicht-kanonische Gleichungen gegeben ist, müssen Sie zur Berechnung des Winkels die Koordinaten der Richtungsvektoren dieser Linien finden und dann Formel (1) verwenden.

Aufgabe 1. Winkel zwischen Linien berechnen

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;und\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Richtungsvektoren von Geraden haben Koordinaten:

a \u003d (-√2; √2; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Durch Formel (1) finden wir

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Daher beträgt der Winkel zwischen diesen Linien 60°.

Aufgabe 2. Winkel zwischen Linien berechnen

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) und \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(cases) $$

Hinter dem Führungsvektor aber Als erste Gerade nehmen wir das Vektorprodukt von Normalenvektoren n 1 = (3; 0; -12) und n 2 = (1; 1; -3) Ebenen, die diese Linie definieren. Durch die Formel \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) erhalten wir

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Analog finden wir den Richtungsvektor der zweiten Geraden:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Aber Formel (1) berechnet den Kosinus des gewünschten Winkels:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Daher beträgt der Winkel zwischen diesen Linien 90°.

Aufgabe 3. Bei der dreieckigen Pyramide MAVS stehen die Kanten MA, MB und MC senkrecht zueinander (Abb. 207);

ihre Längen sind jeweils gleich 4, 3, 6. Punkt D ist die Mitte [MA]. Finden Sie den Winkel φ zwischen den Linien CA und DB.

Seien SA und DB die Richtungsvektoren der Linien SA und DB.

Nehmen wir den Punkt M als Koordinatenursprung. Durch die Aufgabenbedingung haben wir A (4; 0; 0), B (0; 0; 3), C (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Also \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Wir verwenden Formel (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Gemäß der Kosinustabelle finden wir, dass der Winkel zwischen den Geraden CA und DB ungefähr 72 ° beträgt.