Wenn wir auf einer Geraden im Raum zwei beliebige Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1) und M 2 (x 2, y 2, z 2) markieren, dann müssen die Koordinaten dieser Punkte die Geradengleichung erfüllen oben erhalten:

Außerdem können Sie für Punkt M 1 schreiben:

.

Wenn wir diese Gleichungen zusammen lösen, erhalten wir:

.

Dies ist die Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte im Raum verläuft.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden im Raum.

Die Gleichung einer Geraden kann als die Gleichung der Schnittlinie zweier Ebenen betrachtet werden.

Allgemeine Gleichungen einer Geraden in Koordinatenform:

Eine praktische Aufgabe besteht oft darin, die Geradengleichungen in Gesamtansicht zur kanonischen Form.

Dazu müssen Sie einen beliebigen Punkt auf der Linie und die Zahlen m, n, p finden.

In diesem Fall ergibt sich der Richtungsvektor der Geraden als Vektorprodukt der Vektoren senkrecht zu den gegebenen Ebenen.

Beispiel. Finden Sie die kanonische Gleichung, wenn die Gerade in der Form gegeben ist:

Um einen beliebigen Punkt auf einer Geraden zu finden, nehmen wir seine Koordinate x = 0 und setzen diesen Wert dann in das gegebene Gleichungssystem ein.

Jene. A (0, 2, 1).

Finden Sie die Komponenten des Richtungsvektors der Geraden.

Dann die kanonischen Gleichungen der Geraden:

Beispiel. Bringen Sie die Gleichung einer Geraden in die kanonische Form, gegeben in der Form:

Um einen beliebigen Punkt einer geraden Linie zu finden, die die Schnittlinie der obigen Ebenen ist, nehmen wir z = 0. Dann gilt:

;

2x - 9x - 7 = 0;

Wir erhalten: A (-1; 3; 0).

Richtungsvektor einer Geraden: .

Der Winkel zwischen den Ebenen.

Der Winkel zwischen zwei Ebenen im Raum  steht in Beziehung zum Winkel zwischen den Normalen zu diesen Ebenen  1 durch das Verhältnis:  =  1 oder  = 180 0 -  1, d.h.

cos = cos 1.

Definieren wir den Winkel  1. Es ist bekannt, dass Ebenen durch die Verhältnisse angegeben werden können:

, wo

(A1, B1, C1), (A2, B2, C2). Wir finden den Winkel zwischen den Vektoren der Normalen aus ihrem Skalarprodukt:

.

Somit ergibt sich der Winkel zwischen den Ebenen durch die Formel:

Die Wahl des Kosinuszeichens hängt davon ab, welcher Winkel zwischen den Ebenen gefunden werden soll - spitz oder stumpf daneben.

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Basierend auf der oben erhaltenen Formel zum Bestimmen des Winkels zwischen den Ebenen ist es möglich, die Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit der Ebenen zu finden.

Damit die Ebenen senkrecht stehen, ist es notwendig und ausreichend, dass der Kosinus des Winkels zwischen den Ebenen gleich Null ist. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn:

Die Ebenen sind parallel, die Normalenvektoren sind kollinear: Diese Bedingung ist erfüllt, wenn: .

Der Winkel zwischen geraden Linien im Raum.

Gegeben seien zwei Geraden im Raum. Ihre parametrischen Gleichungen:

Der Winkel zwischen den Geraden  und der Winkel zwischen den Richtungsvektoren  dieser Geraden stehen im Verhältnis:  =  1 bzw.  = 180 0 -  1. Der Winkel zwischen den Richtungsvektoren wird aus dem Skalarprodukt ermittelt. Auf diese Weise:

.

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit von Geraden im Raum.

Damit zwei Geraden parallel sind, ist es notwendig und ausreichend, dass die Richtungsvektoren dieser Geraden kollinear sind, d.h. ihre jeweiligen Koordinaten waren proportional.

WINKEL ZWISCHEN EBENEN

Betrachten Sie zwei Ebenen α 1 und α 2, die jeweils durch die Gleichungen gegeben sind:

Unter Winkel zwischen zwei Ebenen meinen wir einen der von diesen Ebenen gebildeten Diederwinkel. Offensichtlich ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren und den Ebenen α 1 und α 2 gleich einem der angegebenen benachbarten Diederwinkel oder ... So ... Denn und , dann

.

Beispiel. Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Ebenen x+2ja-3z+ 4 = 0 und 2 x+3ja+z+8=0.

Bedingung der Parallelität zweier Ebenen.

Zwei Ebenen α 1 und α 2 sind genau dann parallel, wenn ihre Normalenvektoren und parallel sind, also .

Zwei Ebenen sind also genau dann parallel, wenn die Koeffizienten an den entsprechenden Koordinaten proportional sind:

oder

Bedingung der Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Es ist klar, dass zwei Ebenen genau dann senkrecht sind, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht sind, und daher, oder.

Auf diese Weise, .

Beispiele.

GERADE IM RAUM.

VEKTOR-LINIEN-GLEICHUNG.

PARAMETRISCHGLEICHUNGEN DER LINIE

Die Lage einer Geraden im Raum wird vollständig durch die Angabe eines ihrer Fixpunkte bestimmt m 1 und ein Vektor parallel zu dieser Linie.

Ein zu einer Geraden paralleler Vektor heißt Führung Vektor dieser Linie.

Also lass es gerade sein l geht durch den punkt m 1 (x 1 , ja 1 , z 1) auf einer zum Vektor parallelen Geraden liegend.

Betrachten Sie einen beliebigen Punkt M (x, y, z) auf einer geraden Linie. Die Abbildung zeigt das .

Vektoren und sind kollinear, also gibt es eine solche Zahl T, was, wo ist der Faktor T kann alles nehmen numerischer Wert je nach Position des Punktes m auf einer geraden Linie. Faktor T Parameter genannt. Bezeichnen der Radiusvektoren der Punkte m 1 und m jeweils durch und, erhalten wir. Diese Gleichung heißt Vektor Geradengleichung. Es zeigt, dass für jeden Wert des Parameters T entspricht dem Radiusvektor eines Punktes m auf einer geraden Linie liegen.

Schreiben wir diese Gleichung in Koordinatenform. Beachte das , und von hier

Die resultierenden Gleichungen heißen parametrisch Gleichungen einer geraden Linie.

Beim Ändern eines Parameters T Koordinaten ändern x, ja und z und Punkt m bewegt sich in einer geraden Linie.

Kanonische gerade Gleichungen

Lassen m 1 (x 1 , ja 1 , z 1) ist ein Punkt, der auf einer Geraden liegt l, und Ist sein Richtungsvektor. Nehmen Sie wieder einen beliebigen Punkt auf einer Geraden M (x, y, z) und betrachte einen Vektor.

Es ist klar, dass Vektoren und kollinear sind, daher müssen ihre entsprechenden Koordinaten proportional sein, daher

– kanonisch Gleichungen der Geraden.

Bemerkung 1. Beachten Sie, dass die kanonischen Gleichungen der Geraden aus den parametrischen erhalten werden können, indem der Parameter ausgeschlossen wird T... Tatsächlich erhalten wir aus den parametrischen Gleichungen oder .

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden in parametrischer Form.

Wir bezeichnen , von hier x = 2 + 3T, ja = –1 + 2T, z = 1 –T.

Bemerkung 2. Die Gerade sei senkrecht zu einer der Koordinatenachsen, zum Beispiel die Achse Ochse... Dann ist der Richtungsvektor senkrecht Ochse, somit, m= 0. Folglich haben die parametrischen Gleichungen der Geraden die Form

Eliminieren des Parameters aus den Gleichungen T, erhalten wir die Geradengleichungen in der Form

Aber auch in diesem Fall vereinbaren wir, die kanonischen Gleichungen der Geraden formal in der Form ... Wenn also der Nenner eines der Brüche Null ist, bedeutet dies, dass die Gerade senkrecht auf der entsprechenden Koordinatenachse steht.

Ebenso die kanonischen Gleichungen entspricht einer Geraden senkrecht zu den Achsen Ochse und Oy oder parallel zur Achse Oz.

Beispiele.

ALLGEMEINE GLEICHUNG EINER LINIE ALS SCHNITTLINIE ZWEIER EBENEN

Durch jede gerade Linie im Raum gehen unzählige Ebenen. Beliebige zwei von ihnen, die sich schneiden, definieren es im Raum. Folglich repräsentieren die Gleichungen zweier solcher Ebenen zusammen betrachtet die Gleichungen dieser geraden Linie.

Im Allgemeinen sind zwei beliebige nicht parallele Ebenen gegeben durch die allgemeinen Gleichungen

Definieren Sie die Linie ihres Schnittpunkts. Diese Gleichungen heißen allgemeine Gleichungen gerade.

Beispiele.

Konstruiere eine durch Gleichungen gegebene Gerade

Um eine Gerade zu bauen, genügt es, zwei beliebige Punkte zu finden. Am einfachsten ist es, die Schnittpunkte der Linie mit den Koordinatenebenen auszuwählen. Zum Beispiel der Schnittpunkt mit der Ebene xOy erhalten wir aus den Gleichungen der Geraden, Einstellung z= 0:

Nachdem wir dieses System gelöst haben, finden wir den Punkt m 1 (1;2;0).

Ebenso Einstellung ja= 0, erhalten wir den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene xOz:

Von den allgemeinen Gleichungen einer Geraden können Sie zu ihren kanonischen oder parametrischen Gleichungen gehen. Dazu müssen Sie einen Punkt finden m 1 auf der Linie und den Richtungsvektor der Linie.

Punktkoordinaten m 1 erhält man aus diesem Gleichungssystem, indem man einer der Koordinaten einen beliebigen Wert zuweist. Um den Richtungsvektor zu finden, beachten Sie, dass dieser Vektor senkrecht zu beiden Normalenvektoren stehen muss und ... Also hinter dem Richtungsvektor der Geraden l Wir können das Kreuzprodukt der Normalenvektoren nehmen:

.

Beispiel. Geben Sie die allgemeinen Gleichungen der Geraden an zur kanonischen Form.

Finden Sie einen Punkt auf einer Geraden. Dazu wählen wir willkürlich eine der Koordinaten aus, zum Beispiel: ja= 0 und löse das Gleichungssystem:

Normalenvektoren der Ebenen, die die Gerade definieren, haben Koordinaten Daher ist der Richtungsvektor der Geraden

... Somit, l: .

WINKEL ZWISCHEN GERADE

Ecke zwischen geraden Linien im Raum nennen wir jeden der angrenzenden Winkel, die durch zwei gerade Linien gebildet werden, die durch einen beliebigen Punkt parallel zu den Daten gezogen werden.

Im Raum seien zwei Geraden gegeben:

Offensichtlich kann der Winkel zwischen den Geraden als der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren und angenommen werden. Da dann nach der Formel für den Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren

Oh-oh-oh-oh-oh ... und Blech, wenn du den Satz selbst liest =) Aber dann hilft Entspannung, vor allem heute passendes Zubehör gekauft. Kommen wir also zum ersten Abschnitt, ich hoffe, dass ich bis zum Ende des Artikels eine fröhliche Stimmung bewahren werde.

Die relative Position zweier Geraden

Der Fall, wenn das Publikum den Refrain mitsingt. Zwei gerade Linien können:

1) übereinstimmen;

2) parallel sein:;

3) oder an einem einzigen Punkt schneiden:.

Hilfe für Dummies : Bitte denken Sie an das Vorzeichen der Schnittmenge, es wird sehr häufig vorkommen. Der Datensatz gibt an, dass die Linie die Linie an einem Punkt schneidet.

Wie bestimme ich die relative Position zweier Geraden?

Beginnen wir mit dem ersten Fall:

Zwei Geraden fallen genau dann zusammen, wenn ihre entsprechenden Koeffizienten proportional sind, das heißt, es gibt so viele "Lambdas", dass die Gleichheiten gelten

Betrachten Sie die Geraden und stellen Sie drei Gleichungen aus den entsprechenden Koeffizienten zusammen:. Aus jeder Gleichung folgt daher, dass diese Linien zusammenfallen.

In der Tat, wenn alle Koeffizienten der Gleichung mit -1 multiplizieren (Vorzeichen ändern), und alle Koeffizienten der Gleichung um 2 reduziert, erhalten Sie die gleiche Gleichung:.

Der zweite Fall, wenn die Linien parallel sind:

Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn ihre Koeffizienten für die Variablen proportional sind: , aber.

Betrachten Sie als Beispiel zwei Zeilen. Wir prüfen die Proportionalität der entsprechenden Koeffizienten für die Variablen:

Das ist jedoch ganz klar.

Und der dritte Fall, wenn sich die Linien schneiden:

Zwei Geraden schneiden sich genau dann, wenn ihre Koeffizienten für Variablen NICHT proportional sind, das heißt, es gibt KEINEN Lambda-Wert, bei dem die Gleichungen erfüllt sind

Also, für gerade Linien werden wir das System zusammensetzen:

Aus der ersten Gleichung folgt das und aus der zweiten Gleichung: also das System ist inkonsistent(keine Lösungen). Somit sind die Koeffizienten der Variablen nicht proportional.

Fazit: Linien kreuzen sich

Bei praktischen Problemen können Sie das soeben betrachtete Lösungsschema verwenden. Es ist übrigens dem Algorithmus zum Prüfen von Vektoren auf Kollinearität sehr ähnlich, den wir in der Lektion betrachtet haben Das Konzept der linearen (Nicht-)Abhängigkeit von Vektoren. Basis von Vektoren... Aber es gibt eine zivilisiertere Verpackung:

Beispiel 1

Ermitteln Sie die relative Position der Geraden:

Lösung basierend auf der Untersuchung von Richtungsvektoren von Geraden:

a) Aus den Gleichungen finden wir die Richtungsvektoren der Geraden: .

, also sind die Vektoren nicht kollinear und die Linien schneiden sich.

Für alle Fälle lege ich einen Stein mit Hinweisen an die Kreuzung:

Der Rest springt über den Stein und geht weiter, direkt zu Kashchei dem Unsterblichen =)

b) Finden Sie die Richtungsvektoren von Geraden:

Linien haben den gleichen Richtungsvektor, was bedeutet, dass sie entweder parallel sind oder zusammenfallen. Auch hier muss die Determinante nicht mitgezählt werden.

Offensichtlich sind die Koeffizienten für die Unbekannten proportional, während.

Lassen Sie uns herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist:

Auf diese Weise,

c) Finden Sie die Richtungsvektoren von Geraden:

Berechnen wir die Determinante, die sich aus den Koordinaten dieser Vektoren zusammensetzt:
daher sind die Richtungsvektoren kollinear. Linien sind entweder parallel oder fallen zusammen.

Der Proportionalitätskoeffizient "Lambda" ist leicht direkt aus dem Verhältnis der kollinearen Richtungsvektoren zu erkennen. Es kann jedoch auch durch die Koeffizienten der Gleichungen selbst gefunden werden: .

Lassen Sie uns nun herausfinden, ob die Gleichheit wahr ist. Beide freien Terme sind null, also:

Der resultierende Wert erfüllt diese Gleichung (im Allgemeinen erfüllt jede Zahl sie).

Somit fallen die Linien zusammen.

Antworten:

Sehr bald werden Sie lernen (oder sogar schon gelernt haben), wie Sie das mündlich betrachtete Problem in Sekundenschnelle buchstäblich lösen können. Diesbezüglich sehe ich keinen Grund, etwas für eine eigenständige Lösung anzubieten, besser ist es, einen weiteren wichtigen Baustein in das geometrische Fundament zu legen:

Wie baut man eine gerade Linie parallel zu einer gegebenen?

Weil du das nicht weißt die einfachste aufgabe die Nachtigall der Räuber bestraft hart.

Beispiel 2

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Gleichen Sie eine parallele Gerade aus, die durch einen Punkt geht.

Lösung: Bezeichnen wir den unbekannten geraden Buchstaben. Was sagt der Zustand über sie aus? Die Gerade geht durch den Punkt. Und wenn die Geraden parallel sind, dann ist es offensichtlich, dass der Richtvektor der Geraden "tse" auch zum Konstruieren der Geraden "de" geeignet ist.

Wir nehmen den Richtungsvektor aus der Gleichung heraus:

Antworten:

Die Geometrie des Beispiels sieht einfach aus:

Die analytische Verifizierung besteht aus den folgenden Schritten:

1) Wir überprüfen, ob die Linien den gleichen Richtungsvektor haben (wenn die Gleichung der Linie nicht richtig vereinfacht wird, sind die Vektoren kollinear).

2) Prüfen Sie, ob der Punkt die erhaltene Gleichung erfüllt.

Die analytische Überprüfung ist in den meisten Fällen einfach mündlich durchzuführen. Schauen Sie sich die beiden Gleichungen an und viele von Ihnen werden schnell die Parallelität von geraden Linien ohne Zeichnung herausfinden.

Beispiele für eine Do-it-yourself-Lösung werden heute kreativ sein. Denn du musst immer noch mit Baba Yaga konkurrieren, und sie ist eine Liebhaberin aller Arten von Rätseln.

Beispiel 3

Bilden Sie eine Gleichung einer Geraden, die durch einen Punkt parallel zu einer Geraden verläuft, wenn

Es gibt eine rationale und nicht sehr rationale Lösung. Der kürzeste Weg ist am Ende der Lektion.

Wir haben ein wenig mit parallelen Geraden gearbeitet und kommen später darauf zurück. Der Fall, dass gerade Linien zusammenfallen, ist von geringem Interesse. Betrachten Sie also ein Problem, das Ihnen aus dem Lehrplan der Schule gut bekannt ist:

Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Wenn gerade in einem Punkt schneiden, dann sind seine Koordinaten die Lösung lineare Gleichungssysteme

Wie findet man den Schnittpunkt von Linien? Lösen Sie das System.

So viel für dich geometrische Bedeutung eines Systems von zwei linearen Gleichungen in zwei Unbekannten Sind zwei sich (meistens) schneidende Geraden auf einer Ebene.

Beispiel 4

Finden Sie den Schnittpunkt der Linien

Lösung: Es gibt zwei Lösungswege - grafisch und analytisch.

Der grafische Weg besteht darin, einfach die Datenlinien zu zeichnen und den Schnittpunkt direkt aus der Zeichnung herauszufinden:

Hier ist unser Punkt:. Um dies zu überprüfen, sollten Sie ihre Koordinaten in jede Gleichung der Geraden einsetzen, sie sollten dort und dort passen. Mit anderen Worten, die Koordinaten eines Punktes sind die Lösung des Systems. Im Grunde haben wir uns einen grafischen Lösungsweg angesehen lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen, zwei Unbekannten.

Die grafische Methode ist natürlich nicht schlecht, aber es gibt spürbare Nachteile. Nein, es geht nicht darum, dass die Siebtklässler so entscheiden, sondern dass die richtigen und GENAUE Zeichnung die Zeit wird vergehen. Außerdem ist es nicht so einfach, einige gerade Linien zu konstruieren, und der Schnittpunkt selbst kann irgendwo im Dreißigbereich außerhalb des Notizbuchblatts liegen.

Daher ist es zweckmäßiger, den Schnittpunkt mit der analytischen Methode zu suchen. Lösen wir das System:

Um das System zu lösen, wurde die Methode der Term-für-Term-Addition von Gleichungen verwendet. Um relevante Fähigkeiten aufzubauen, besuchen Sie die Lektion Wie löst man ein Gleichungssystem?

Antworten:

Die Prüfung ist trivial – die Koordinaten des Schnittpunkts müssen jede Gleichung des Systems erfüllen.

Beispiel 5

Finden Sie den Schnittpunkt von Linien, wenn sie sich schneiden.

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Es ist praktisch, die Aufgabe in mehrere Phasen aufzuteilen. Die Analyse des Zustands legt nahe, was benötigt wird:
1) Bilden Sie die Geradengleichung.
2) Bilden Sie die Geradengleichung.
3) Ermitteln Sie die relative Position der Geraden.
4) Wenn sich die Linien schneiden, suchen Sie den Schnittpunkt.

Die Entwicklung eines Handlungsalgorithmus ist typisch für viele geometrische Probleme, und ich werde mich immer wieder darauf konzentrieren.

Komplette Lösung und Antwort am Ende des Tutorials:

Ein Paar Schuhe ist noch nicht abgenutzt, als wir im zweiten Abschnitt der Lektion angekommen sind:

Senkrechte Geraden. Abstand von Punkt zu Linie.
Winkel zwischen geraden Linien

Beginnen wir mit einem typischen und sehr wichtige Aufgabe... Im ersten Teil haben wir gelernt, wie man eine gerade Linie parallel zu dieser baut, und jetzt dreht sich die Hütte auf Hühnerbeinen um 90 Grad:

Wie baut man eine gerade Linie senkrecht zu einer gegebenen?

Beispiel 6

Die Gerade ist durch die Gleichung gegeben. Gleichen Sie eine senkrechte Linie durch einen Punkt aus.

Lösung: Bedingung ist bekannt, dass. Es wäre schön, den Richtungsvektor der Geraden zu finden. Da die Linien senkrecht stehen, ist der Trick einfach:

Aus der Gleichung "entfernen" Sie den Normalenvektor:, der der Richtungsvektor der geraden Linie ist.

Lassen Sie uns die Gleichung einer Geraden aus einem Punkt und einem Richtungsvektor zusammensetzen:

Antworten:

Erweitern wir die geometrische Skizze:

Hmmm ... Orangefarbener Himmel, orangefarbenes Meer, orangefarbenes Kamel.

Analytische Überprüfung der Lösung:

1) Entnehmen Sie die Richtungsvektoren aus den Gleichungen und mit der hilfe Punktprodukt von Vektoren kommen wir zu dem Schluss, dass die Geraden tatsächlich senkrecht sind:.

Übrigens, Sie können normale Vektoren verwenden, es ist noch einfacher.

2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die erhaltene Gleichung erfüllt .

Die Prüfung ist wiederum einfach mündlich durchzuführen.

Beispiel 7

Finden Sie den Schnittpunkt der senkrechten Geraden, wenn die Gleichung bekannt ist und Punkt.

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Es gibt mehrere Aktionen in der Aufgabe, daher ist es praktisch, die Lösung Punkt für Punkt zu erstellen.

Unsere spannende Reise geht weiter:

Entfernung von Punkt zu Linie

Vor uns liegt ein gerader Flussstreifen und unsere Aufgabe ist es, ihn auf dem kürzesten Weg zu erreichen. Es gibt keine Hindernisse und die meisten optimale Route es wird eine Bewegung entlang der Senkrechten geben. Das heißt, der Abstand von einem Punkt zu einer geraden Linie ist die Länge der senkrechten Linie.

Der Abstand in der Geometrie wird traditionell mit dem griechischen Buchstaben "ro" bezeichnet, zum Beispiel: - der Abstand vom Punkt "em" zur Geraden "de".

Entfernung von Punkt zu Linie ausgedrückt durch die Formel

Beispiel 8

Finden Sie die Entfernung von einem Punkt zu einer geraden Linie

Lösung: Sie müssen lediglich die Zahlen sorgfältig in die Formel einsetzen und die Berechnungen durchführen:

Antworten:

Führen wir die Zeichnung aus:

Der gefundene Abstand von Punkt zu Linie entspricht genau der Länge der roten Linie. Wenn Sie eine Zeichnung auf kariertem Papier im Maßstab 1 anfertigen. = 1 cm (2 Felder), dann kann der Abstand mit einem gewöhnlichen Lineal gemessen werden.

Betrachten Sie eine andere Aufgabe für dieselbe Blaupause:

Die Aufgabe besteht darin, die Koordinaten eines Punktes zu finden, der symmetrisch zu einem Punkt in Bezug auf eine Gerade ist ... Ich schlage vor, die Aktionen selbst durchzuführen, aber ich werde einen Lösungsalgorithmus mit Zwischenergebnissen benennen:

1) Finden Sie eine Linie, die senkrecht zur Linie steht.

2) Ermitteln Sie den Schnittpunkt der Linien: .

Beide Aktionen werden in dieser Lektion ausführlich behandelt.

3) Der Punkt ist der Mittelpunkt des Liniensegments. Wir kennen die Koordinaten der Mitte und eines der Enden. Durch die Formeln für die Koordinaten des Mittelpunkts des Segments wir finden.

Es ist nicht überflüssig zu prüfen, ob der Abstand auch 2,2 Einheiten beträgt.

Hier kann es bei Berechnungen zu Schwierigkeiten kommen, aber im Turm hilft ein Mikrorechner sehr, mit dem Sie gewöhnliche Brüche zählen können. Immer wieder geraten, werde immer wieder beraten.

Wie finde ich den Abstand zwischen zwei parallelen Linien?

Beispiel 9

Finden Sie den Abstand zwischen zwei parallelen Linien

Dies ist ein weiteres Beispiel für eine unabhängige Lösung. Lassen Sie mich Ihnen einen kleinen Hinweis geben: Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, es zu lösen. Nachbesprechung am Ende der Lektion, aber versuchen Sie es besser selbst zu erraten, ich denke, Sie haben es geschafft, Ihren Einfallsreichtum recht gut zu verteilen.

Winkel zwischen zwei Geraden

Jeder Winkel ist ein Pfosten:


In der Geometrie wird der Winkel zwischen zwei Geraden als der KLEINSTE Winkel angenommen, woraus automatisch folgt, dass er nicht stumpf sein kann. In der Abbildung wird der durch den roten Bogen angezeigte Winkel nicht als Winkel zwischen sich schneidenden Geraden gezählt. Und sein "grüner" Nachbar gilt als solcher, oder entgegengesetzt orientiert"Karmesinrot" Ecke.

Wenn die Geraden senkrecht sind, kann jeder der 4 Winkel als Winkel zwischen ihnen genommen werden.

Wie unterscheiden sich Winkel? Orientierung. Zunächst ist die Richtung, in der die Ecke gescrollt wird, von grundlegender Bedeutung. Zweitens wird ein negativ orientierter Winkel mit einem Minuszeichen geschrieben, beispielsweise wenn.

Warum habe ich das erzählt? Es scheint, dass auf das übliche Konzept eines Winkels verzichtet werden kann. Tatsache ist, dass Sie in den Formeln, mit denen wir die Winkel finden, leicht ein negatives Ergebnis erhalten können, und dies sollte Sie nicht überraschen. Ein Winkel mit einem Minuszeichen ist nicht schlechter und hat eine ganz bestimmte geometrische Bedeutung. Achten Sie bei einem negativen Winkel in der Zeichnung darauf, die Ausrichtung mit einem Pfeil (im Uhrzeigersinn) anzugeben.

Wie findet man den Winkel zwischen zwei Geraden? Es gibt zwei Arbeitsformeln:

Beispiel 10

Finden Sie den Winkel zwischen geraden Linien

Lösung und Methode eins

Betrachten Sie zwei Geraden, die durch Gleichungen in allgemeiner Form gegeben sind:

Wenn gerade nicht senkrecht, dann orientiert der Winkel zwischen ihnen kann mit der Formel berechnet werden:

Achten wir genau auf den Nenner – genau das ist es Skalarprodukt Richtungsvektoren von Geraden:

Wenn, dann verschwindet der Nenner der Formel und die Vektoren sind orthogonal und die Geraden stehen senkrecht. Aus diesem Grund wurde in der Formulierung ein Vorbehalt gegen die Nicht-Rechtwinkligkeit der Geraden gemacht.

Basierend auf dem Vorstehenden ist es zweckmäßig, eine Lösung in zwei Schritten zu erstellen:

1) Berechnen Sie das Skalarprodukt der Richtungsvektoren von Geraden:
, was bedeutet, dass die Geraden nicht senkrecht sind.

2) Der Winkel zwischen den Geraden ergibt sich aus der Formel:

Mit Hilfe Umkehrfunktion Die Ecke selbst ist leicht zu finden. In diesem Fall verwenden wir die Ungeradheit des Arkustangens (siehe. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen):

Antworten:

In der Antwort geben wir den genauen Wert sowie den ungefähren Wert (vorzugsweise sowohl in Grad als auch in Bogenmaß) an, der mit einem Taschenrechner berechnet wird.

Nun, minus, so minus, das ist okay. Hier ist eine geometrische Illustration:

Es ist nicht verwunderlich, dass sich der Winkel als negativ herausstellte, denn in der Aufgabenstellung ist die erste Zahl eine Gerade und damit begann die "Verdrehung" des Winkels.

Wenn Sie wirklich einen positiven Winkel erhalten möchten, müssen Sie die Geraden vertauschen, dh die Koeffizienten aus der zweiten Gleichung nehmen , und die Koeffizienten werden der ersten Gleichung entnommen. Kurz gesagt, Sie müssen mit einer geraden Linie beginnen .

Anweisungen

beachten Sie

Die Periode der trigonometrischen Funktion der Tangente beträgt 180 Grad, was bedeutet, dass die Steigungen der Geraden in absoluten Werten diesen Wert nicht überschreiten können.

Nützlicher Hinweis

Wenn die Steigungen einander gleich sind, ist der Winkel zwischen diesen Linien 0, da diese Linien entweder zusammenfallen oder parallel sind.

Um den Wert des Winkels zwischen sich kreuzenden Geraden zu bestimmen, müssen beide Geraden (oder eine davon) vor dem Kreuzen mit der Parallelübertragungsmethode an eine neue Position verschoben werden. Danach sollten Sie den Wert des Winkels zwischen den resultierenden sich schneidenden Geraden ermitteln.

Du wirst brauchen

• Lineal, rechtwinkliges Dreieck, Bleistift, Winkelmesser.

Anweisungen

Es sei also der Vektor V = (a, b, c) und die Ebene A x + B y + C z = 0 gegeben, wobei A, B und C die Koordinaten der Normalen N sind. Dann ist der Kosinus des Winkels α zwischen den Vektoren V und N ist gleich: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Um den Wert des Winkels in Grad oder Bogenmaß zu berechnen, müssen Sie aus dem resultierenden Ausdruck die Funktion invers zum Kosinus berechnen, d. inverser Kosinus: α = arssos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Beispiel: find Injektion zwischen Vektor(5, -3, 8) und Flugzeug gegeben durch die allgemeine Gleichung 2 x - 5 y + 3 z = 0 Lösung: Notieren Sie die Koordinaten des Normalenvektors der Ebene N = (2, -5, 3). Ersetzen Sie alle bekannten Werte in der obigen Formel: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

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Eine Gerade, die einen gemeinsamen Punkt mit einem Kreis hat, tangiert den Kreis. Ein weiteres Merkmal der Tangente ist, dass sie immer senkrecht zu dem an den Tangentenpunkt gezogenen Radius steht, d. h. Tangente und Radius bilden eine Gerade Injektion... Wenn von einem Punkt A zwei Tangenten an den Kreis AB und AC gezogen werden, sind sie immer gleich. Bestimmung des Winkels zwischen Tangenten ( Injektion ABC) wird mit dem Satz des Pythagoras erzeugt.

Anweisungen

Um den Winkel zu bestimmen, müssen Sie den Radius des Kreises OB und OS und den Abstand des Ursprungspunktes der Tangente vom Mittelpunkt des Kreises kennen - O. Die Winkel von ABO und ASO sind also gleich, der Radius von OB, zum Beispiel 10 cm, und der Abstand zum Kreismittelpunkt AO beträgt 15 cm Bestimmen Sie die Länge der Tangente entlang der Formel nach dem Satz des Pythagoras: AB = Quadratwurzel von AO2 - OB2 oder 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Definition. Wenn zwei Geraden gegeben sind y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, dann scharfe Ecke zwischen diesen Zeilen wird definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2. Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1 / k 2.

Satz. Geraden Ax + Vy + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Proportionalitätskoeffizienten A 1 = λA, B 1 = λB sind. Ist auch С 1 = λС, dann fallen die Linien zusammen. Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt geht

Senkrecht zu dieser Linie

Definition. Die Gerade, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft und senkrecht zur Geraden y = kx + b verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt:

Entfernung von Punkt zu Linie

Satz. Ist ein Punkt M (x 0, y 0) gegeben, so bestimmt sich der Abstand zur Geraden Ax + Vy + C = 0 zu

.

Nachweisen. Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die von Punkt M auf eine gegebene Gerade fallen gelassen werden. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

(1)

Als Lösung des Gleichungssystems erhält man die Koordinaten x 1 und y 1:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft. Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel... Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geraden: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; = p / 4.

Beispiel... Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht sind.

Lösung... Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, also stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel... Die Eckpunkte des Dreiecks A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind angegeben. Finden Sie die Gleichung für die Höhe vom Scheitelpunkt C.

Lösung... Wir finden die Seitengleichung AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b. k =. Dann y =. Denn Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: woher b = 17. Gesamt:.

Antwort: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Gleichung einer geraden Linie, die durch einen bestimmten Punkt in einer bestimmten Richtung verläuft. Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht. Der Winkel zwischen zwei Geraden. Die Bedingung der Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Linien. Bestimmung des Schnittpunktes zweier Geraden

1. Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt geht EIN(x 1 , ja 1) in eine gegebene Richtung, bestimmt durch die Steigung k,

ja - ja 1 = k(x - x 1). (1)

Diese Gleichung definiert ein Bündel gerader Linien, die durch den Punkt gehen EIN(x 1 , ja 1), das Zentrum des Balkens genannt wird.

2. Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft: EIN(x 1 , ja 1) und B(x 2 , ja 2) wird wie folgt geschrieben:

Die Steigung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte verläuft, wird durch die Formel bestimmt

3. Winkel zwischen geraden Linien EIN und B wird der Winkel genannt, um den Sie die erste Gerade drehen müssen EIN um den Schnittpunkt dieser Linien gegen den Uhrzeigersinn, bis er mit der zweiten Linie übereinstimmt B... Wenn zwei Geraden durch Gleichungen mit einer Steigung . gegeben sind

ja = k 1 x + B 1 ,

ja = k 2 x + B 2 , (4)

dann wird der Winkel zwischen ihnen durch die Formel bestimmt

Beachten Sie, dass im Zähler des Bruchs die Steigung der ersten Geraden von der Steigung der zweiten Geraden subtrahiert wird.

Sind die Geradengleichungen in allgemeiner Form gegeben

EIN 1 x + B 1 ja + C 1 = 0,

EIN 2 x + B 2 ja + C 2 = 0, (6)

der Winkel zwischen ihnen wird durch die Formel bestimmt

4. Bedingungen für die Parallelität zweier Linien:

a) Sind die Geraden durch Gleichungen (4) mit Steigung gegeben, so besteht die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität in der Gleichheit ihrer Steigungen:

k 1 = k 2 . (8)

b) Für den Fall, dass die Geraden durch Gleichungen der allgemeinen Form (6) gegeben sind, ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Parallelität, dass die Koeffizienten an den entsprechenden aktuellen Koordinaten in ihren Gleichungen proportional sind, d.h.

5. Bedingungen für die Rechtwinkligkeit von zwei Linien:

a) Für den Fall, dass die Geraden durch die Gleichungen (4) mit der Steigung gegeben sind, ist die notwendige und hinreichende Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit, dass ihre Steigungen betragsmäßig reziprok und im Vorzeichen entgegengesetzt sind, d.h.

Diese Bedingung kann auch in der Form geschrieben werden

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Sind die Geradengleichungen in allgemeiner Form (6) gegeben, so besteht die Bedingung für ihre Rechtwinkligkeit (notwendig und hinreichend) in der Erfüllung der Gleichung

EIN 1 EIN 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden werden durch Lösen des Gleichungssystems (6) ermittelt. Geraden (6) schneiden sich genau dann, wenn

1. Schreiben Sie die Gleichungen der durch den Punkt M verlaufenden Geraden, von denen eine parallel und die andere senkrecht zu einer gegebenen Geraden l steht.