अंतरिक्ष में सीधी रेखाएं दी जाएं एलऔर एम. अंतरिक्ष के किसी बिंदु A से होकर हम सीधी रेखाएँ खींचते हैं एल 1 || एलऔर एम 1 || एम(चित्र 138)।

ध्यान दें कि बिंदु A को विशेष रूप से मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, यह इनमें से किसी एक रेखा पर स्थित हो सकता है; अगर सीधा है एलऔर एमप्रतिच्छेद करें, तो A को इन रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु के रूप में लिया जा सकता है ( एल 1 = एलऔर एम 1 = एम).

गैर-समानांतर रेखाओं के बीच का कोण एलऔर एमप्रतिच्छेदी रेखाओं द्वारा बने निकटतम कोणों में से सबसे छोटे का मान है एल 1 और एम 1 (एल 1 || एल, एम 1 || एम). समांतर रेखाओं के बीच का कोण शून्य के बराबर माना जाता है।

सीधी रेखाओं के बीच का कोण एलऔर एम\(\वाइडहैट((एल;एम))\) से दर्शाया जाता है। परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि इसे डिग्री में मापा जाए तो 0° होता है < \(\वाइडहैट((एल;एम)) \) < 90°, और यदि रेडियन में है, तो 0 < \(\वाइडहैट((एल;एम)) \) < π / 2 .

काम।एक घन ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 दिया गया है (चित्र 139)।

सीधी रेखाओं AB और DC 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

सीधी रेखाएँ AB और DC 1 को काटती हैं। चूँकि सीधी रेखा DC, सीधी रेखा AB के समानांतर है, परिभाषा के अनुसार, सीधी रेखाओं AB और DC 1 के बीच का कोण, \(\widehat(C_(1)DC)\) के बराबर है।

इसलिए, \(\वाइडहैट((AB;DC_1))\) = 45°।

प्रत्यक्ष एलऔर एमकहा जाता है सीधा, यदि \(\वाइडहैट((एल;एम)) \) = π / 2. उदाहरण के लिए, एक घन में

सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना.

अंतरिक्ष में दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना करने की समस्या को उसी तरह हल किया जाता है जैसे किसी समतल में। आइए हम रेखाओं के बीच के कोण के परिमाण को φ से निरूपित करें एल 1 और एल 2, और ψ के माध्यम से - दिशा वैक्टर के बीच कोण का परिमाण ए और बी ये सीधी रेखाएँ.

तो अगर

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (चित्र 206.6), तो φ = 180° - ψ। जाहिर है, दोनों ही मामलों में समानता cos φ = |cos ψ| सत्य है। सूत्र के अनुसार (गैर-शून्य सदिश a और b के बीच के कोण की कोज्या इन सदिशों के अदिश गुणनफल को उनकी लंबाई के गुणनफल से विभाजित करने के बराबर है) हमारे पास है

$$ cos\psi = cos\वाइडहैट((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

इस तरह,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

मान लीजिए कि रेखाएँ उनके विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; और \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

फिर रेखाओं के बीच का कोण φ सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

यदि रेखाओं में से एक (या दोनों) गैर-विहित समीकरणों द्वारा दी गई है, तो कोण की गणना करने के लिए आपको इन रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक खोजने होंगे, और फिर सूत्र (1) का उपयोग करना होगा।

कार्य 1।रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;and\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

सीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के निर्देशांक होते हैं:

ए = (-√2 ; √2 ; -2), बी = (√3 ; √3 ; √6 ).

सूत्र (1) का उपयोग करके हम पाते हैं

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

अत: इन रेखाओं के बीच का कोण 60° है।

कार्य 2.रेखाओं के बीच के कोण की गणना करें

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) और \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(मामले) $$

गाइड वेक्टर के पीछे ए पहली पंक्ति में हम सामान्य सदिशों का सदिश गुणनफल लेते हैं एन 1 = (3; 0; -12) और एन 2 = (1; 1; -3) इस रेखा को परिभाषित करने वाले तल। सूत्र \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) का उपयोग करके हम पाते हैं

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

इसी प्रकार, हम दूसरी सीधी रेखा का दिशा वेक्टर पाते हैं:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

लेकिन सूत्र (1) का उपयोग करके हम वांछित कोण की कोज्या की गणना करते हैं:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$

अत: इन रेखाओं के बीच का कोण 90° है।

कार्य 3.त्रिकोणीय पिरामिड MABC में, किनारे MA, MB और MC परस्पर लंबवत हैं (चित्र 207);

उनकी लंबाई क्रमशः 4, 3, 6 है। बिंदु D मध्य [MA] है। रेखाओं CA और DB के बीच का कोण φ ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए CA और DB सीधी रेखाओं CA और DB के दिशा सदिश हैं।

आइए बिंदु M को निर्देशांक के मूल के रूप में लें। समीकरण की स्थिति के अनुसार हमारे पास A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) है। इसलिए \(\ओवरराइटएरो(CA)\) = (4; - 6;0), \(\ओवरराइटएरो(डीबी)\)= (-2; 0; 3)। आइए सूत्र (1) का उपयोग करें:

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

कोसाइन तालिका का उपयोग करके, हम पाते हैं कि सीधी रेखाओं CA और DB के बीच का कोण लगभग 72° है।

मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर दो सीधी रेखाएँ l और m सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई हैं: l: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0

इन रेखाओं के लिए सामान्य सदिश: = (ए 1, बी 1) - रेखा एल के लिए,

= (ए 2, बी 2) - लाइन एम के लिए।

माना कि रेखाओं l और m के बीच का कोण j है।

चूँकि परस्पर लंबवत भुजाओं वाले कोण या तो बराबर होते हैं या उनका योग p होता है, तो , अर्थात, क्योंकि j = .

तो, हमने निम्नलिखित प्रमेय को सिद्ध कर दिया है।

प्रमेय.मान लीजिए कि समतल पर दो रेखाओं के बीच का कोण j है, और इन रेखाओं को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सामान्य समीकरण A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 और A 2 x + B 2 y + C 2 द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। = 0. तब cos j = .

व्यायाम.

1) सीधी रेखाओं के बीच के कोण की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें यदि:

(1) दोनों पंक्तियाँ पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट हैं; (2) दोनों पंक्तियाँ विहित समीकरणों द्वारा दी गई हैं; (3) एक पंक्ति को पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट किया जाता है, दूसरी पंक्ति को एक सामान्य समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है; (4) दोनों रेखाएँ ढलान वाले समीकरण द्वारा दी गई हैं।

2) मान लीजिए j एक समतल पर दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण है, और इन सीधी रेखाओं को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में समीकरण y = k 1 x + b 1 और y = k 2 x + b 2 द्वारा परिभाषित किया जाता है।

तब tan j = .

3) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति का अन्वेषण करें, और तालिका भरें:

एक समतल पर एक बिंदु से एक सीधी रेखा की दूरी।

मान लीजिए कि कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में एक समतल पर सीधी रेखा l सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा दी गई है। आइए बिंदु M(x 0 , y 0) से सीधी रेखा l की दूरी ज्ञात करें।

बिंदु M से सीधी रेखा l तक की दूरी लंबवत HM (H О l, HM ^ l) की लंबाई है।

रेखा l का सदिश और सामान्य सदिश संरेख हैं, इसलिए | | = | | | | और | | = .

माना बिंदु H के निर्देशांक (x,y) हैं।

चूँकि बिंदु H रेखा l से संबंधित है, तो Ax + By + C = 0 (*)।

सदिशों के निर्देशांक और: = (x 0 - x, y 0 - y), = (ए, बी)।

| | = = =

(सी = -एक्स - द्वारा, देखें (*))

प्रमेय.मान लीजिए कि कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सीधी रेखा l को सामान्य समीकरण Ax + By + C = 0 द्वारा निर्दिष्ट किया गया है। फिर बिंदु M(x 0 , y 0) से इस सीधी रेखा की दूरी सूत्र द्वारा गणना की जाती है: r ( एम; एल) = .

व्यायाम.

1) एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना के लिए एक सूत्र प्राप्त करें यदि: (1) रेखा को पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है; (2) विहित समीकरणों को रेखा दी गई है; (3) सीधी रेखा कोणीय गुणांक वाले समीकरण द्वारा दी गई है।

2) रेखा 3x – y = 0 की स्पर्शरेखा वाले एक वृत्त का समीकरण लिखिए, जिसका केंद्र बिंदु Q(-2,4) पर है।

3) रेखाओं 2x + y - 1 = 0 और x + y + 1 = 0 के प्रतिच्छेदन से बने कोणों को विभाजित करने वाली रेखाओं के समीकरण आधे में लिखें।

§ 27. अंतरिक्ष में एक विमान की विश्लेषणात्मक परिभाषा

परिभाषा. समतल का सामान्य सदिशहम एक गैर-शून्य वेक्टर कहेंगे, जिसका कोई भी प्रतिनिधि किसी दिए गए विमान के लंबवत है।

टिप्पणी।यह स्पष्ट है कि यदि वेक्टर का कम से कम एक प्रतिनिधि विमान के लंबवत है, तो वेक्टर के अन्य सभी प्रतिनिधि इस विमान के लंबवत हैं।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली दी गई है।

मान लीजिए कि एक समतल दिया गया है, = (ए, बी, सी) - इस समतल का सामान्य सदिश, बिंदु एम (x 0 , y 0 , z 0) समतल a से संबंधित है।

समतल a के किसी भी बिंदु N(x, y, z) के लिए, सदिश और ऑर्थोगोनल हैं, अर्थात, उनका अदिश उत्पाद शून्य के बराबर है: = 0. आइए निर्देशांक में अंतिम समानता लिखें: A(x - x 0) ) + बी(वाई - वाई 0) + सी(जेड - जेड 0) = 0.

माना -Ax 0 - By 0 - Cz 0 = D, तो Ax + By + Cz + D = 0.

आइए एक बिंदु K (x, y) इस प्रकार लें कि Ax + By + Cz + D = 0. चूँकि D = -Ax 0 - By 0 - Cz 0, तो ए(एक्स - एक्स 0) + बी(वाई - वाई 0) + सी(जेड - जेड 0) = 0.चूँकि निर्देशित खंड के निर्देशांक = (x - x 0, y - y 0, z - z 0), अंतिम समानता का अर्थ है ^, और, इसलिए, K О a।

तो, हमने निम्नलिखित प्रमेय सिद्ध कर दिया है:

प्रमेय.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में अंतरिक्ष में किसी भी विमान को एक्स + बाय + सीजेड + डी = 0 (ए 2 + बी 2 + सी 2 ≠ 0) के रूप के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, जहां (ए, बी, सी) हैं इस तल पर सामान्य वेक्टर के निर्देशांक।

उल्टा भी सही है।

प्रमेय.कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) के रूप का कोई भी समीकरण एक निश्चित विमान को निर्दिष्ट करता है, और (A, B, C) सामान्य के निर्देशांक हैं इस तल पर सदिश.

सबूत।

एक बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0) इस प्रकार लें कि Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0 और वेक्टर = (A, B, C) ( ≠ q)।

एक विमान (और केवल एक) वेक्टर के लंबवत बिंदु M से होकर गुजरता है। पिछले प्रमेय के अनुसार, यह तल समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया गया है।

परिभाषा। Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) के रूप का समीकरण कहलाता है सामान्य समतल समीकरण.

उदाहरण।

आइए बिंदु M (0,2,4), N (1,-1,0) और K (-1,0,5) से गुजरने वाले विमान का समीकरण लिखें।

1. समतल (MNK) के सामान्य सदिश के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। चूँकि सदिश उत्पाद ´ असंरेखीय सदिशों के लिए ओर्थोगोनल है और, तो सदिश संरेख ´ है।

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

´ = (-11, 3, -5).

तो, सामान्य वेक्टर के रूप में हम वेक्टर = (-11, 3, -5) लेते हैं।

2. आइए अब पहले प्रमेय के परिणामों का उपयोग करें:

इस समतल का समीकरण A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) = 0, जहां (A, B, C) सामान्य वेक्टर के निर्देशांक हैं, (x 0 , y 0 , z 0) - समतल में स्थित एक बिंदु के निर्देशांक (उदाहरण के लिए, बिंदु M)।

11(x - 0) + 3(y - 2) - 5(z - 4) = 0

11x + 3y – 5z + 14 = 0

उत्तर: -11x + 3y - 5z + 14 = 0.

व्यायाम.

1) यदि समतल का समीकरण लिखिए

(1) विमान बिंदु M (-2,3,0) से होकर गुजरता है जो विमान 3x + y + z = 0 के समानांतर है;

(2) समतल में (ऑक्स) अक्ष है और यह x + 2y – 5z + 7 = 0 तल के लंबवत है।

2) दिए गए तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान का समीकरण लिखें।

§ 28. अर्ध-स्थान की विश्लेषणात्मक परिभाषा*

टिप्पणी*. चलो कोई प्लेन ठीक हो जाए. अंतर्गत आधा स्थानहम किसी दिए गए विमान के एक तरफ स्थित बिंदुओं के सेट को समझेंगे, यानी, दो बिंदु एक ही आधे स्थान पर स्थित हैं यदि उन्हें जोड़ने वाला खंड दिए गए विमान को नहीं काटता है। इस विमान को कहा जाता है इस आधे स्थान की सीमा. इस विमान और अर्ध-अंतरिक्ष का मिलन कहा जाएगा आधा स्थान बंद कर दिया.

मान लीजिए अंतरिक्ष में एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली स्थापित की गई है।

प्रमेय.मान लीजिए कि समतल a को सामान्य समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा दिया गया है। फिर दो अर्ध-स्थानों में से एक जिसमें समतल a स्थान को विभाजित करता है, असमानता Ax + By + Cz + D > 0 द्वारा दिया गया है। , और दूसरा आधा स्थान असमानता Ax + By + Cz + D द्वारा दिया गया है< 0.

सबूत।

आइए हम इस तल पर स्थित बिंदु M (x 0 , y 0 , z 0) से समतल a पर सामान्य वेक्टर = (A, B, C) आलेखित करें: = , M О a, MN ^ a। समतल अंतरिक्ष को दो अर्ध-स्थानों में विभाजित करता है: b 1 और b 2। यह स्पष्ट है कि बिंदु N इन अर्ध-स्थानों में से एक से संबंधित है। व्यापकता की हानि के बिना, हम मान लेंगे कि एन ओ बी 1।

आइए हम सिद्ध करें कि अर्ध-स्थान b 1 को असमानता Ax + By + Cz + D > 0 द्वारा परिभाषित किया गया है।

1) आधे स्थान b 1 में एक बिंदु K(x,y,z) लें। कोण Ð NMK सदिशों और - न्यून कोण के बीच का कोण है, इसलिए इन सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक है: > 0. आइए इस असमानता को निर्देशांक में लिखें: A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) > 0, अर्थात, Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0 > 0.

चूँकि M О b 1, तो Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0, इसलिए -Ax 0 - By 0 - C z 0 = D. इसलिए, अंतिम असमानता इस प्रकार लिखी जा सकती है: Ax + By + Cz + D > 0.

2) एक बिंदु L(x,y) इस प्रकार लें कि Ax + By + Cz + D > 0.

आइए D को (-Ax 0 - By 0 - C z 0) से प्रतिस्थापित करके असमानता को फिर से लिखें (चूंकि M О b 1, तो Ax 0 + By 0 + C z 0 + D = 0): A(x - x 0) + बी(वाई - वाई 0) + सी(जेड - जेड 0) > 0.

निर्देशांक (x - x 0,y - y 0, z - z 0) वाला एक वेक्टर एक वेक्टर है, इसलिए अभिव्यक्ति A(x - x 0) + B(y - y 0) + C(z - z 0) सदिशों और के अदिश गुणनफल के रूप में समझा जा सकता है। चूँकि सदिशों का अदिश गुणनफल धनात्मक होता है, उनके और बिंदु L О b 1 के बीच का कोण न्यून कोण होता है।

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि अर्ध-स्थान b 2 असमानता Ax + By + Cz + D द्वारा दिया गया है< 0.

टिप्पणियाँ।

1) यह स्पष्ट है कि ऊपर दिया गया प्रमाण समतल a में बिंदु M की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

2) यह स्पष्ट है कि एक ही अर्ध-स्थान को विभिन्न असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

उल्टा भी सही है।

प्रमेय. Ax + By + Cz + D > 0 (या Ax + By + Cz + D) के रूप में कोई भी रैखिक असमानता< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

सबूत।

अंतरिक्ष में समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) एक निश्चित विमान a को परिभाषित करता है (देखें § ...)। जैसा कि पिछले प्रमेय में सिद्ध किया गया था, दो अर्ध-रिक्त स्थानों में से एक जिसमें विमान अंतरिक्ष को विभाजित करता है, असमानता Ax Ax + By + Cz + D > 0 द्वारा दिया गया है।

टिप्पणियाँ।

1) यह स्पष्ट है कि एक बंद आधे-स्थान को एक गैर-सख्त रैखिक असमानता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, और कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कोई भी गैर-सख्त रैखिक असमानता एक बंद आधे-स्थान को परिभाषित करती है।

2) किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन को बंद आधे-स्थानों के चौराहे के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (जिनकी सीमाएं पॉलीहेड्रॉन के चेहरे वाले विमान हैं), यानी, विश्लेषणात्मक रूप से - रैखिक गैर-सख्त असमानताओं की एक प्रणाली द्वारा।

व्यायाम.

1) एक मनमाना एफ़िन समन्वय प्रणाली के लिए प्रस्तुत दो प्रमेयों को सिद्ध करें।

2) क्या इसका उलटा सच है, कि कोई भी व्यवस्था सख्त नहीं है रैखिक असमानताएँउत्तल बहुभुज को परिभाषित करता है?

व्यायाम।

1) कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित दो विमानों की सापेक्ष स्थिति की जांच करें और तालिका भरें।

ओह-ओह-ओह-ओह-ओह... ठीक है, यह कठिन है, जैसे कि वह खुद को एक वाक्य पढ़ रहा था =) हालांकि, आराम बाद में मदद करेगा, खासकर जब से मैंने आज उपयुक्त सामान खरीदा है। इसलिए, आइए पहले खंड पर आगे बढ़ें, मुझे आशा है कि लेख के अंत तक मैं प्रसन्नचित्त मूड बनाए रखूंगा।

दो सीधी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

यह वह स्थिति है जब श्रोता समवेत स्वर में गाते हैं। दो सीधी रेखाएँ हो सकती हैं:

1) मिलान;

2) समानांतर रहें: ;

3) या एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करें: .

नौसिखियों के लिए सहायता : कृपया गणितीय प्रतिच्छेदन चिन्ह याद रखें, यह बहुत बार दिखाई देगा। अंकन का अर्थ है कि रेखा रेखा के साथ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती है।

दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति कैसे ज्ञात करें?

आइए पहले मामले से शुरू करें:

दो रेखाएँ संपाती होती हैं यदि और केवल यदि उनके संगत गुणांक आनुपातिक हों, अर्थात, एक संख्या "लैम्ब्डा" ऐसी है जिससे समानताएं संतुष्ट होती हैं

आइए सीधी रेखाओं पर विचार करें और संबंधित गुणांकों से तीन समीकरण बनाएं:। प्रत्येक समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, इसलिए, ये रेखाएँ संपाती हैं।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 से गुणा करें (चिह्न बदलें), और समीकरण के सभी गुणांक 2 से घटाने पर आपको वही समीकरण प्राप्त होता है:।

दूसरा मामला, जब रेखाएँ समानांतर हों:

दो रेखाएँ समानांतर होती हैं यदि और केवल यदि उनके चरों के गुणांक आनुपातिक हों: , लेकिन.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधी रेखाओं पर विचार करें। हम चरों के लिए संगत गुणांकों की आनुपातिकता की जाँच करते हैं:

हालाँकि, यह बिल्कुल स्पष्ट है कि.

और तीसरा मामला, जब रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं:

दो रेखाएँ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके चरों के गुणांक आनुपातिक न हों, अर्थात्, "लैम्ब्डा" का कोई ऐसा मूल्य नहीं है जिससे समानताएँ संतुष्ट हों

तो, सीधी रेखाओं के लिए हम एक प्रणाली बनाएंगे:

पहले समीकरण से यह निष्कर्ष निकलता है कि, और दूसरे समीकरण से:, जिसका अर्थ है प्रणाली असंगत है(कोई समाधान नहीं). इस प्रकार, चरों के गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं

व्यावहारिक समस्याओं में, आप अभी चर्चा की गई समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वैसे, यह संरेखता के लिए वैक्टर की जाँच के लिए एल्गोरिदम की बहुत याद दिलाता है, जिसे हमने कक्षा में देखा था सदिशों की रैखिक (इन)निर्भरता की अवधारणा। सदिशों का आधार. लेकिन एक अधिक सभ्य पैकेजिंग भी है:

उदाहरण 1

रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए:

समाधानसीधी रेखाओं के दिशा सदिशों के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से हम रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात करते हैं: .

, जिसका अर्थ है कि सदिश संरेख नहीं हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

बस किसी मामले में, मैं चौराहे पर संकेतों वाला एक पत्थर रखूंगा:

बाकी लोग पत्थर पर कूदते हैं और आगे बढ़ते हैं, सीधे काशी द इम्मोर्टल की ओर =)

बी) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

रेखाओं का दिशा सदिश समान है, जिसका अर्थ है कि वे या तो समानांतर हैं या संपाती हैं। यहां निर्धारक को गिनने की कोई आवश्यकता नहीं है।

यह स्पष्ट है कि अज्ञात के गुणांक आनुपातिक हैं, और।

आइए जानें कि क्या समानता सत्य है:

इस प्रकार,

ग) रेखाओं के दिशा सदिश ज्ञात कीजिए:

आइए इन सदिशों के निर्देशांकों से बने निर्धारक की गणना करें:
, इसलिए, दिशा सदिश संरेख हैं। रेखाएँ या तो समानांतर होती हैं या संपाती होती हैं।

आनुपातिकता गुणांक "लैम्ब्डा" को सीधे कोलिनियर दिशा वैक्टर के अनुपात से देखना आसान है। हालाँकि, इसे स्वयं समीकरणों के गुणांकों के माध्यम से भी पाया जा सकता है: .

अब आइए जानें कि क्या समानता सत्य है। दोनों मुक्त पद शून्य हैं, इसलिए:

परिणामी मान इस समीकरण को संतुष्ट करता है (सामान्य तौर पर कोई भी संख्या इसे संतुष्ट करती है)।

इस प्रकार, रेखाएँ मेल खाती हैं।

उत्तर:

बहुत जल्द आप मौखिक रूप से चर्चा की गई समस्या को कुछ ही सेकंड में शाब्दिक रूप से हल करना सीख जाएंगे (या पहले ही सीख चुके हैं)। इस संबंध में, मुझे स्वतंत्र समाधान के लिए कुछ भी पेश करने का कोई मतलब नहीं दिखता, ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट रखना बेहतर है:

किसी दी गई रेखा के समानांतर एक रेखा कैसे बनाएं?

इस सरलतम कार्य की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल द रॉबर गंभीर रूप से दंडित करता है।

उदाहरण 2

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली समानांतर रेखा के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान: आइए अज्ञात रेखा को अक्षर से निरूपित करें। स्थिति उसके बारे में क्या कहती है? सीधी रेखा बिंदु से होकर गुजरती है। और यदि रेखाएँ समानांतर हैं, तो यह स्पष्ट है कि सीधी रेखा "त्से" का दिशा वेक्टर भी सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

हम समीकरण से दिशा वेक्टर निकालते हैं:

उत्तर:

उदाहरण की ज्यामिति सरल दिखती है:

विश्लेषणात्मक परीक्षण में निम्नलिखित चरण होते हैं:

1) हम जांचते हैं कि रेखाओं का दिशा सदिश समान है (यदि रेखा के समीकरण को ठीक से सरल नहीं किया गया है, तो सदिश संरेख होंगे)।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है।

ज्यादातर मामलों में, विश्लेषणात्मक परीक्षण आसानी से मौखिक रूप से किया जा सकता है। दोनों समीकरणों को देखें, और आप में से कई लोग बिना किसी रेखांकन के तुरंत ही रेखाओं की समानता निर्धारित कर लेंगे।

आज स्वतंत्र समाधान के उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यगा से प्रतिस्पर्धा करनी होगी, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार की पहेलियों की प्रेमी है।

उदाहरण 3

यदि रेखा के समांतर किसी बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा के लिए एक समीकरण लिखें

इसे हल करने का एक तर्कसंगत और उतना तर्कसंगत तरीका नहीं है। सबसे छोटा रास्ता पाठ के अंत में है।

हमने समानांतर रेखाओं के साथ थोड़ा काम किया और बाद में उन पर लौटेंगे। संपाती रेखाओं का मामला कम दिलचस्प है, तो आइए एक ऐसी समस्या पर विचार करें जो स्कूली पाठ्यक्रम से आपको बहुत परिचित है:

दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें?

अगर सीधा है बिंदु पर प्रतिच्छेद करें, तो इसके निर्देशांक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैसे ज्ञात करें? सिस्टम को हल करें.

हेयर यू गो दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ- ये एक समतल पर दो प्रतिच्छेदी (अक्सर) रेखाएँ होती हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए

समाधान: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिकल और विश्लेषणात्मक।

ग्राफ़िकल विधि में केवल दी गई रेखाएँ खींचना और चित्र से सीधे प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाना है:

यहाँ हमारी बात है: . जांचने के लिए, आपको रेखा के प्रत्येक समीकरण में इसके निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना चाहिए, उन्हें वहां और वहां दोनों जगह फिट होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु के निर्देशांक प्रणाली का एक समाधान हैं। मूलतः, हमने एक ग्राफ़िकल समाधान पर ध्यान दिया रैखिक समीकरणों की प्रणालीदो समीकरणों, दो अज्ञात के साथ।

बेशक, ग्राफ़िकल विधि ख़राब नहीं है, लेकिन इसमें ध्यान देने योग्य नुकसान भी हैं। नहीं, बात यह नहीं है कि सातवीं कक्षा के छात्र इस तरह निर्णय लेते हैं, बात यह है कि सही और सटीक चित्रणसमय बीत जाएगा. इसके अलावा, कुछ सीधी रेखाओं का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, और प्रतिच्छेदन बिंदु स्वयं नोटबुक शीट के बाहर तीसवें साम्राज्य में कहीं स्थित हो सकता है।

इसलिए, विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करके प्रतिच्छेदन बिंदु की खोज करना अधिक समीचीन है। आइए सिस्टम को हल करें:

प्रणाली को हल करने के लिए, समीकरणों को पद-दर-पद जोड़ने की विधि का उपयोग किया गया था। प्रासंगिक कौशल विकसित करने के लिए, एक सबक लें समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

जाँच तुच्छ है - प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक को सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।

उदाहरण 5

यदि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। कार्य को कई चरणों में विभाजित करना सुविधाजनक है। स्थिति के विश्लेषण से पता चलता है कि यह आवश्यक है:
1) सीधी रेखा का समीकरण लिखिए।
2) एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं।
3) रेखाओं की सापेक्ष स्थिति ज्ञात कीजिए।
4) यदि रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय समस्याओं के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पाठ के अंत में पूर्ण समाधान और उत्तर:

पाठ के दूसरे भाग तक पहुंचने से पहले एक जोड़ी जूते भी खराब नहीं हुए थे:

लम्बवत रेखायें। एक बिंदु से एक रेखा की दूरी.
सीधी रेखाओं के बीच का कोण

आइए एक विशिष्ट और बहुत से शुरू करें महत्वपूर्ण कार्य. पहले भाग में, हमने सीखा कि इसके समानांतर एक सीधी रेखा कैसे बनाई जाती है, और अब मुर्गे की टांगों पर झोपड़ी 90 डिग्री घूम जाएगी:

किसी दिए गए पर लंबवत रेखा कैसे बनाएं?

उदाहरण 6

सीधी रेखा समीकरण द्वारा दी गई है। बिंदु से गुजरने वाली रेखा पर लंबवत एक समीकरण लिखें।

समाधान: शर्त से पता चलता है कि. रेखा का निर्देशन सदिश ढूंढ़ना अच्छा रहेगा। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं, चाल सरल है:

समीकरण से हम सामान्य वेक्टर को "हटाते हैं":, जो सीधी रेखा का निर्देशन वेक्टर होगा।

आइए एक बिंदु और एक दिशा वेक्टर का उपयोग करके एक सीधी रेखा का समीकरण बनाएं:

उत्तर:

आइए ज्यामितीय रेखाचित्र का विस्तार करें:

हम्म्म... नारंगी आकाश, नारंगी समुद्र, नारंगी ऊँट।

समाधान का विश्लेषणात्मक सत्यापन:

1) हम समीकरणों से दिशा सदिश निकालते हैं और मदद से सदिशों का अदिश गुणनफलहम इस निष्कर्ष पर पहुँचते हैं कि रेखाएँ वास्तव में लंबवत हैं:।

वैसे, आप सामान्य वैक्टर का उपयोग कर सकते हैं, यह और भी आसान है।

2) जांचें कि क्या बिंदु परिणामी समीकरण को संतुष्ट करता है .

परीक्षण, फिर से, मौखिक रूप से करना आसान है।

उदाहरण 7

यदि समीकरण ज्ञात है तो लंब रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए और अवधि.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। समस्या में कई क्रियाएं होती हैं, इसलिए बिंदु दर बिंदु समाधान तैयार करना सुविधाजनक होता है।

हमारी रोमांचक यात्रा जारी है:

बिंदु से रेखा की दूरी

हमारे सामने नदी की एक सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे छोटे रास्ते से उस तक पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे ज्यादा इष्टतम मार्गएक लंबवत गति होगी. अर्थात्, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी लंब खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी को पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "rho" द्वारा दर्शाया जाता है, उदाहरण के लिए: - बिंदु "em" से सीधी रेखा "de" तक की दूरी।

बिंदु से रेखा की दूरी सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8

एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात कीजिए

समाधान: आपको बस सूत्र में संख्याओं को सावधानीपूर्वक प्रतिस्थापित करना और गणना करना है:

उत्तर:

आइए चित्र बनाएं:

बिंदु से रेखा तक की पाई गई दूरी बिल्कुल लाल खंड की लंबाई के बराबर है। यदि आप 1 इकाई के पैमाने पर चेकर पेपर पर एक चित्र बनाते हैं। = 1 सेमी (2 सेल), तो दूरी एक साधारण रूलर से मापी जा सकती है।

आइए उसी ड्राइंग के आधार पर एक अन्य कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक ढूंढना है जो सीधी रेखा के सापेक्ष बिंदु के सममित है . मैं चरणों को स्वयं निष्पादित करने का सुझाव देता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम की रूपरेखा तैयार करूंगा:

1) एक ऐसी रेखा खोजें जो रेखा पर लंबवत हो।

2) रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए: .

इस पाठ में दोनों क्रियाओं पर विस्तार से चर्चा की गई है।

3) बिंदु खंड का मध्यबिंदु है। हम मध्य और एक सिरे के निर्देशांक जानते हैं। द्वारा किसी खंड के मध्यबिंदु के निर्देशांक के लिए सूत्रहम देखतें है ।

यह जांचना एक अच्छा विचार होगा कि दूरी भी 2.2 इकाई है।

यहां गणना में कठिनाइयां उत्पन्न हो सकती हैं, लेकिन टावर में एक माइक्रोकैलकुलेटर एक बड़ी मदद है, जो आपको सामान्य अंशों की गणना करने की अनुमति देता है। मैंने आपको कई बार सलाह दी है और फिर भी आपको सलाह दूंगा।

दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण 9

दो समानान्तर रेखाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए

यह आपके लिए स्वयं निर्णय लेने का एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा संकेत देता हूँ: इसे हल करने के अनंत तरीके हैं। पाठ के अंत में डीब्रीफिंग, लेकिन स्वयं अनुमान लगाने का प्रयास करना बेहतर होगा, मुझे लगता है कि आपकी सरलता अच्छी तरह से विकसित थी।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण

हर कोना एक चौखट है:


ज्यामिति में, दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को छोटा कोण माना जाता है, जिससे यह स्वचालित रूप से पता चलता है कि यह अधिक कोण नहीं हो सकता है। चित्र में, लाल चाप द्वारा दर्शाए गए कोण को प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच का कोण नहीं माना जाता है। और उसका "हरा" पड़ोसी या विपरीत दिशा में उन्मुख"रास्पबेरी" कोने.

यदि रेखाएँ लंबवत हैं, तो चारों कोणों में से किसी एक को उनके बीच का कोण माना जा सकता है।

कोण किस प्रकार भिन्न हैं? अभिविन्यास। सबसे पहले, जिस दिशा में कोण को "स्क्रॉल" किया जाता है वह मौलिक रूप से महत्वपूर्ण है। दूसरे, एक नकारात्मक उन्मुख कोण को ऋण चिह्न के साथ लिखा जाता है, उदाहरण के लिए यदि।

मैंने तुम्हें यह क्यों बताया? ऐसा लगता है कि हम कोण की सामान्य अवधारणा से काम चला सकते हैं। तथ्य यह है कि जिन सूत्रों से हम कोण ज्ञात करेंगे उनका परिणाम आसानी से नकारात्मक हो सकता है, और इससे आपको आश्चर्य नहीं होना चाहिए। ऋण चिह्न वाला कोण कोई बुरा नहीं है, और इसका एक बहुत ही विशिष्ट ज्यामितीय अर्थ होता है। ड्राइंग में, एक नकारात्मक कोण के लिए, एक तीर (घड़ी की दिशा) के साथ इसके अभिविन्यास को इंगित करना सुनिश्चित करें।

दो सीधी रेखाओं के बीच का कोण कैसे ज्ञात करें?दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10

रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए

समाधानऔर विधि एक

समीकरणों द्वारा दी गई दो सीधी रेखाओं पर विचार करें सामान्य रूप से देखें:

अगर सीधा है लंबवत नहीं, वह उन्मुखीउनके बीच के कोण की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

आइए हम हर पर पूरा ध्यान दें - यह बिल्कुल यही है अदिश उत्पादसीधी रेखाओं के दिशा सदिश:

यदि, तो सूत्र का हर शून्य हो जाता है, और सदिश लंबकोणीय होंगे और रेखाएँ लंबवत होंगी। इसीलिए सूत्रीकरण में सीधी रेखाओं की गैर-लंबवतता के बारे में आरक्षण दिया गया था।

उपरोक्त के आधार पर, समाधान को दो चरणों में औपचारिक बनाना सुविधाजनक है:

1) आइए रेखाओं के दिशा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना करें:
, जिसका अर्थ है कि रेखाएँ लंबवत नहीं हैं।

2) सूत्र का उपयोग करके सीधी रेखाओं के बीच का कोण ज्ञात करें:

का उपयोग करके उलटा काम करनाखुद कोना ढूंढना आसान है. इस मामले में, हम आर्कटेंजेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें)। प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण):

उत्तर:

आपके उत्तर में, हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मान (अधिमानतः डिग्री और रेडियन दोनों में) इंगित करते हैं।

खैर, माइनस, माइनस, कोई बड़ी बात नहीं। यहाँ एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण नकारात्मक अभिविन्यास वाला निकला, क्योंकि समस्या कथन में पहला नंबर एक सीधी रेखा है और कोण का "अनस्क्रूइंग" ठीक इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको रेखाओं को स्वैप करना होगा, यानी दूसरे समीकरण से गुणांक लेना होगा , और पहले समीकरण से गुणांक लें। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरुआत करने की आवश्यकता है .

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा की तैयारी करने वाले प्रत्येक छात्र के लिए "सीधी रेखाओं के बीच कोण ढूँढना" विषय को दोहराना उपयोगी होगा। जैसा कि आंकड़े बताते हैं, प्रमाणन परीक्षा पास करते समय, स्टीरियोमेट्री के इस खंड में कार्य कठिनाइयों का कारण बनते हैं बड़ी मात्राछात्र. साथ ही, जिन कार्यों में सीधी रेखाओं के बीच के कोण को खोजने की आवश्यकता होती है, वे एकीकृत राज्य परीक्षा में बुनियादी और विशेष दोनों स्तरों पर पाए जाते हैं। इसका मतलब यह है कि हर किसी को उन्हें हल करने में सक्षम होना चाहिए।

बुनियादी क्षण

अंतरिक्ष में रेखाओं की सापेक्ष स्थिति 4 प्रकार की होती है। वे संपाती हो सकते हैं, प्रतिच्छेद कर सकते हैं, समानांतर हो सकते हैं या प्रतिच्छेद कर सकते हैं। उनके बीच का कोण न्यून या सीधा हो सकता है।

एकीकृत राज्य परीक्षा में रेखाओं के बीच के कोण को खोजने के लिए या, उदाहरण के लिए, हल करने में, मॉस्को और अन्य शहरों में स्कूली बच्चे स्टीरियोमेट्री के इस खंड में समस्याओं को हल करने के कई तरीकों का उपयोग कर सकते हैं। आप शास्त्रीय निर्माणों का उपयोग करके कार्य पूरा कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, स्टीरियोमेट्री के बुनियादी सिद्धांतों और प्रमेयों को सीखना उचित है। कार्य को प्लैनिमेट्रिक समस्या में लाने के लिए छात्र को तार्किक रूप से तर्क करने और चित्र बनाने में सक्षम होना चाहिए।

आप सरल सूत्रों, नियमों और एल्गोरिदम का उपयोग करके समन्वय वेक्टर विधि का भी उपयोग कर सकते हैं। इस मामले में मुख्य बात सभी गणनाओं को सही ढंग से करना है। स्टीरियोमेट्री और अन्य क्षेत्रों में समस्याओं को सुलझाने में अपने कौशल को निखारें स्कूल पाठ्यक्रमशकोल्कोवो शैक्षिक परियोजना आपकी सहायता करेगी।

समतलों के बीच का कोण

समीकरणों द्वारा क्रमशः परिभाषित दो विमानों α 1 और α 2 पर विचार करें:

अंतर्गत कोणदो तलों के बीच हम इन तलों द्वारा निर्मित एक द्विफलकीय कोण को समझेंगे। यह स्पष्ट है कि सामान्य वैक्टर और विमानों α 1 और α 2 के बीच का कोण संकेतित आसन्न डायहेड्रल कोणों में से एक के बराबर है या . इसीलिए . क्योंकि और , वह

.

उदाहरण।समतलों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए एक्स+2य-3जेड+4=0 और 2 एक्स+3य+जेड+8=0.

दो तलों की समांतरता के लिए शर्त.

दो समतल α 1 और α 2 समानांतर हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य सदिश समानांतर हैं, और इसलिए .

इसलिए, दो विमान एक दूसरे के समानांतर हैं यदि और केवल यदि संबंधित निर्देशांक के गुणांक आनुपातिक हैं:

या

विमानों की लंबवतता की स्थिति.

यह स्पष्ट है कि दो विमान लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनके सामान्य वेक्टर लंबवत हैं, और इसलिए, या।

इस प्रकार, ।

उदाहरण।

सीधे अंतरिक्ष में.

एक पंक्ति के लिए वेक्टर समीकरण.

पैरामीट्रिक प्रत्यक्ष समीकरण

अंतरिक्ष में किसी रेखा की स्थिति पूरी तरह से उसके किसी निश्चित बिंदु को निर्दिष्ट करके निर्धारित की जाती है एम 1 और इस रेखा के समानांतर एक सदिश।

किसी रेखा के समानान्तर सदिश को कहा जाता है गाइडइस लाइन का वेक्टर.

तो चलो सीधी रेखा एलएक बिंदु से होकर गुजरता है एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1), वेक्टर के समानांतर एक रेखा पर स्थित है।

एक मनमाना बिंदु पर विचार करें एम(एक्स,वाई,जेड)एक सीधी रेखा पर. चित्र से यह स्पष्ट है कि .

सदिश और संरेख हैं, इसलिए ऐसी संख्या है टी, क्या , गुणक कहाँ है टीकोई भी स्वीकार कर सकता है अंकीय मानबिंदु की स्थिति पर निर्भर करता है एमएक सीधी रेखा पर. कारक टीपैरामीटर कहा जाता है. बिंदुओं के त्रिज्या सदिशों को निर्दिष्ट करके एम 1 और एमक्रमशः, और के माध्यम से, हम प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को कहा जाता है वेक्टरएक सीधी रेखा का समीकरण. यह दिखाता है कि प्रत्येक पैरामीटर मान के लिए टीकिसी बिंदु के त्रिज्या वेक्टर से मेल खाता है एम, एक सीधी रेखा पर लेटना।

आइए इस समीकरण को निर्देशांक रूप में लिखें। नोटिस जो , और यहाँ से

परिणामी समीकरण कहलाते हैं पैरामीट्रिकएक सीधी रेखा के समीकरण.

पैरामीटर बदलते समय टीनिर्देशांक बदल जाते हैं एक्स, यऔर जेडऔर अवधि एमएक सीधी रेखा में चलता है.

प्रत्यक्ष के विहित समीकरण

होने देना एम 1 (एक्स 1 , य 1 , जेड 1)- एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु एल, और इसका दिशा सदिश है. आइए फिर से रेखा पर एक मनमाना बिंदु लें एम(एक्स,वाई,जेड)और वेक्टर पर विचार करें.

यह स्पष्ट है कि सदिश भी संरेख हैं, इसलिए उनके संगत निर्देशांक आनुपातिक होने चाहिए, इसलिए,

– कैनन काएक सीधी रेखा के समीकरण.

नोट 1।ध्यान दें कि पैरामीटर को हटाकर रेखा के विहित समीकरण पैरामीट्रिक समीकरणों से प्राप्त किए जा सकते हैं टी. दरअसल, पैरामीट्रिक समीकरणों से हमें प्राप्त होता है या .

उदाहरण।रेखा का समीकरण लिखिए पैरामीट्रिक रूप में.

चलो निरूपित करें , यहाँ से एक्स = 2 + 3टी, य = –1 + 2टी, जेड = 1 –टी.

नोट 2।मान लीजिए कि सीधी रेखा निर्देशांक अक्षों में से किसी एक पर लंबवत है, उदाहरण के लिए अक्ष बैल. तब रेखा का दिशा सदिश लंबवत होता है बैल, इस तरह, एम=0. परिणामस्वरूप, रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण रूप ले लेंगे

समीकरणों से पैरामीटर को बाहर करना टी, हम प्रपत्र में रेखा के समीकरण प्राप्त करते हैं

हालाँकि, इस मामले में भी, हम औपचारिक रूप से रेखा के विहित समीकरणों को फॉर्म में लिखने के लिए सहमत हैं . इस प्रकार, यदि भिन्नों में से किसी एक का हर शून्य है, तो इसका मतलब है कि सीधी रेखा संबंधित निर्देशांक अक्ष के लंबवत है।

विहित समीकरणों के समान अक्षों पर लंबवत एक सीधी रेखा से मेल खाता है बैलऔर ओएया अक्ष के समानांतर आउंस.

उदाहरण।

दो तलों के प्रतिच्छेदन रेखाओं के रूप में एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण

अंतरिक्ष में प्रत्येक सीधी रेखा के माध्यम से अनगिनत विमान हैं। उनमें से कोई भी दो, प्रतिच्छेद करते हुए, इसे अंतरिक्ष में परिभाषित करते हैं। नतीजतन, किन्हीं दो ऐसे विमानों के समीकरण, एक साथ विचार करने पर, इस रेखा के समीकरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

सामान्य तौर पर, सामान्य समीकरणों द्वारा परिभाषित कोई भी दो गैर-समानांतर विमान

उनके प्रतिच्छेदन की सीधी रेखा निर्धारित करें। इन समीकरणों को कहा जाता है सामान्य समीकरणसीधा।

उदाहरण।

समीकरणों द्वारा दी गई एक रेखा बनाइए

एक सीधी रेखा बनाने के लिए उसके किन्हीं दो बिंदुओं को खोजना पर्याप्त है। सबसे आसान तरीका निर्देशांक तलों वाली एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का चयन करना है। उदाहरण के लिए, समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु xOyयह मानते हुए हम सीधी रेखा के समीकरणों से प्राप्त करते हैं जेड= 0:

इस प्रणाली को हल करने के बाद, हमें बात समझ में आती है एम 1 (1;2;0).

इसी प्रकार, मान कर य= 0, हमें समतल के साथ रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है xOz:

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरणों से कोई इसके विहित या पैरामीट्रिक समीकरणों की ओर बढ़ सकता है। ऐसा करने के लिए आपको कोई बिंदु ढूंढ़ना होगा एम 1 एक सीधी रेखा पर और एक सीधी रेखा का दिशा सदिश।

बिंदु निर्देशांक एम 1 हम समीकरणों की इस प्रणाली से प्राप्त करते हैं, जो एक निर्देशांक को एक मनमाना मान देता है। दिशा सदिश ज्ञात करने के लिए, ध्यान दें कि यह सदिश दोनों सामान्य सदिशों के लंबवत होना चाहिए और . इसलिए, सीधी रेखा के दिशा वेक्टर से परे एलआप सामान्य वैक्टर का वेक्टर उत्पाद ले सकते हैं:

.

उदाहरण।रेखा के सामान्य समीकरण दीजिए विहित रूप में.

आइए एक रेखा पर स्थित एक बिंदु खोजें। ऐसा करने के लिए, हम मनमाने ढंग से किसी एक निर्देशांक को चुनते हैं, उदाहरण के लिए, य= 0 और समीकरणों की प्रणाली को हल करें:

रेखा को परिभाषित करने वाले समतलों के सामान्य सदिशों में निर्देशांक होते हैं अत: दिशा सदिश सीधा होगा

. इस तरह, एल: .

सीधी रेखाओं के बीच का कोण

कोणअंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच हम डेटा के समानांतर एक मनमाने बिंदु के माध्यम से खींची गई दो सीधी रेखाओं द्वारा बनाए गए किसी भी आसन्न कोण को कहेंगे।

मान लीजिए कि अंतरिक्ष में दो पंक्तियाँ दी गई हैं:

जाहिर है, सीधी रेखाओं के बीच के कोण को उनके दिशा सदिशों और के बीच के कोण के रूप में लिया जा सकता है। चूँकि, सदिशों के बीच के कोण की कोज्या के सूत्र का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है