संभाव्यता सिद्धांत पर स्कूलबॉय। गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में संभावना के सिद्धांत का अध्ययन करने के तरीके
(अनुभव से)
गणित शिक्षक
जिमनासियम №8 im.l.m. मारासिनोवा
Rybinsk, 2010
परिचय 3।
1. स्टोकास्टिक लाइन डिजाइन का कार्यक्रम-अर्थ उच्च विद्यालय 4
3. मीटिंग नोट्स: अनुभव 10 से
4. TheBreaty गिनती - संभाव्यता सिद्धांत के दृश्य उपकरण 13
5. मॉड्यूल "एंट्रॉपी और सूचना" - संभाव्यता की स्कूल पाठ्यक्रम मेटामेंटेबिलिटी सिद्धांत 1 9
6. संभाव्यता सिद्धांत के दौरान छात्रों की परियोजना और अनुसंधान गतिविधियों का संगठन 24
अनुलग्नक 1। विषयगत साइट "संभाव्यता सिद्धांत"। सार और मल्टीमीडिया भत्ता 27
परिशिष्ट 2. स्कूल शिक्षा 31 में एक स्टोकास्टिक लाइन की शुरूआत की प्रभावशीलता के लिए शैक्षिक और पद्धति संबंधी परिसरों का विश्लेषण
परिशिष्ट 3. नियंत्रण परीक्षण। इलेक्ट्रॉनिक नियंत्रण प्रणाली 33
परिशिष्ट 4। परीक्षा № 1 34
परिशिष्ट 5। मार्ग थीम्स "संभावना के सिद्धांत के तत्व" 36
परिशिष्ट 7. पाठ के लिए प्रस्तुति "संभाव्यता सिद्धांत का विषय। बुनियादी अवधारणाएं »53
परिशिष्ट 8. "सशर्त संभावना के सबक के डिजाइन का तकनीकी मानचित्र। पूर्ण संभावना »60
परिशिष्ट 9. तकनीकी कार्ड डिजाइनिंग सबक "यादृच्छिक घटनाओं और जुआ" 63
परिशिष्ट 10. विधि विज्ञान मैनुअल "एंट्रॉपी और सूचना। तार्किक कार्यों का समाधान। " 36 सी। 66।
परिशिष्ट 11. एंट्रॉपी और सूचना मल्टीमीडिया - कॉम्प्लेक्स। सीडी - डिस्क, टूलकिट। 12 सी। 67।
परिशिष्ट 12. पुस्तिका उन्हें मॉड्यूल "एंट्रॉपी और सूचना" 68
परिशिष्ट 13. तकनीकी कार्ड का निर्माण दावा "एंट्रॉपी की गिनती के साथ तर्क कार्यों का समाधान और सूचना की मात्रा" 69
परिशिष्ट 14. विषयगत सार "संभाव्यता के सिद्धांत के गठन का इतिहास" 73
परिशिष्ट 16. परियोजना "थ्योरीबिलिटी एंड लाइफ" 78 के लॉन्च का प्रस्तुति
परिशिष्ट 17. पुस्तिका "संभावना के सिद्धांत से - सिद्धांत के लिए जुआ"परियोजना के ढांचे में" संभावना और जीवन की सिद्धांत "80
परिशिष्ट 18. प्रस्तुति "वयस्क दोषों की दुनिया में बच्चों" परियोजना के भीतर "संभावना और जीवन की सिद्धांत" परियोजना 81
परिशिष्ट 19. ग्रेड 8 83 के छात्रों के सार अनुसंधान कार्य "संभाव्य खेल"
परिशिष्ट 20. प्रस्तुति के लिए अनुसंधान कार्य "संभाव्य खेल" 86
परिचय
आधुनिक समाज अपने सदस्यों को यादृच्छिक कारकों का विश्लेषण करने, संभावनाओं का मूल्यांकन करने, अवसरों को आगे बढ़ाने, स्थिति के विकास की भविष्यवाणी करने, अनिश्चितता की स्थितियों में, अनिश्चितता की स्थितियों में, स्थिति के विकास की भविष्यवाणी करने की क्षमता से संबंधित उच्च मांगों के साथ लगाता है। हमारी oversaturated जानकारी दुनिया में आवश्यक संयोजक सोच दिखाएं।।
सबसे प्रभावी ढंग से, ये कौशल और कौशल यह अध्ययन करने की आवश्यकता के बारे में, "संभाव्यता और गणितीय सांख्यिकी" सिद्धांत "को पाठ्यक्रम बनाने के लिए संभव बनाता है रूसी स्कूल विज्ञान के लोग पिछली शताब्दी में बहस करते हैं। बनने की अलग-अलग अवधि में रूसी शिक्षा स्टोकास्टिक लाइन के दृष्टिकोण हाई स्कूल में गणितीय शिक्षा से अपने पूर्ण बहिष्कार से मूल अवधारणाओं के आंशिक और पूर्ण अध्ययन में बदल गए। XXI शताब्दी की रूसी स्कूल गणितीय शिक्षा के आधुनिकीकरण के मुख्य पहलुओं में से एक सार्वभौमिक सीखने में सैद्धांतिक और संभाव्य ज्ञान को शामिल करना है। स्टोकास्टिक लाइन (संभावना और गणितीय आंकड़ों के सिद्धांत के तत्वों का कनेक्शन) निर्धारितीवाद और मौका की समझ बनाने के लिए डिज़ाइन किया गया है, यह समझने में मदद के लिए कि प्रकृति और समाज के कई कानूनों में संभाव्य प्रकृति, वास्तविक घटनाओं और प्रक्रियाओं का वर्णन किया गया है संभाव्य मॉडल।
एक छात्र यारोस्लाव राज्य होने के नाते शैक्षिक विश्वविद्यालय I.K.D. Ushinsky, प्रोफेसर वीवी के मार्गदर्शन में। Afanasyev, मैं सक्रिय रूप से इस पाठ्यक्रम में सक्रिय रूप से संलग्न था, समस्याओं को हल करने और सैद्धांतिक ज्ञान के अध्ययन के लिए पद्धति, लागू क्षमताओं की खोज। दूसरे पीढ़ी के मानकों में संभाव्यता सिद्धांत की शुरूआत ने ज्ञान की गठित मात्रा की प्रासंगिकता को मजबूत किया, किसी व्यक्ति की संभाव्य संस्कृति के महत्व की समझ, विधि विज्ञान और शैक्षिक "किशमिश" की खोज की आवश्यकता को मजबूत किया।
सबमिट किए गए कार्य अनुभव की व्यावहारिक महत्व और नवीनता में सूचना संस्कृति के गठन की पद्धतिपूर्ण और व्यावहारिक मेटापरेमिकिटी में समस्याओं को हल करने में ग्राफ के अपने बहिष्करण व्यवस्थित उपयोग में शामिल हैं। मानकों की कार्यक्रम आवश्यकताओं को शिक्षक और छात्रों की डिजाइन और अनुसंधान गतिविधियों में निरंतरता मिली है। अनुभव की खुलीपन कार्यशील विषयगत साइट 1 द्वारा पुष्टि की जाती है, यानी, कई प्रसारण और व्याख्या की संभावना है।
इस पत्र के पृष्ठ सामान्य रूप से स्टोकास्टिक गणित रेखा के सॉफ्टवेयर और अर्थ के अनुभव और विशेष रूप से संभावना के सिद्धांत को प्रस्तुत करते हैं, अभ्यास में सिद्धांत और अनुप्रयोग का अध्ययन करने के लिए पद्धति और व्यावहारिक तकनीकों के उपयोग पर पद्धतिगत सलाह प्रस्तावित की जाती है। संभाव्यता सिद्धांत के पाठ्यक्रम की सेवा करने के लेखक के अनुभव की एक विशेषता ग्राफ के व्यवस्थित उपयोग के साथ विषय की प्रस्तुति है, जो सामग्री को अधिक दृश्य और किफायती बनाता है। आधुनिक इंटरैक्टिव लर्निंग और नॉलेज कंट्रोल का उपयोग करके विकल्पों की पेशकश की जाती है: इंटरएक्टिव व्हाइटबोर्ड, इलेक्ट्रॉनिक ज्ञान नियंत्रण प्रणाली। अनुप्रयोगों ने विशिष्ट परिणाम प्रस्तुत किए सहयोग शिक्षकों और जिमनासियम संख्या 8 im.l.m के छात्र Maracian।
हाई स्कूल में एक स्टोकास्टिक लाइन का सॉफ्टवेयर और सूचनात्मक डिजाइन
उपयुक्त शैक्षिक और पद्धतिपूर्ण परिसर को चुनने की समस्या सबसे पूरी तरह से साथ हो जाती है शैक्षिक प्रक्रिया, और उन शैक्षिक तकनीकों का चयन जो स्टोकास्टिक शिक्षा के आवश्यक कार्यों को अनुकूलित करेगा। 2007 के समय यूएमसी ऑपरेटिंग का एक विस्तृत सार्थक विश्लेषण लेखक की विषयगत साइट 2 (परिशिष्ट 2) के पृष्ठों पर दर्शाया गया है।
अनुमोदित शैक्षिक और पद्धति संबंधी परिसरों का विश्लेषण दिखाता है कि मुख्य विद्यालय में और 3 वें ग्रेड में स्टोकास्टिक गणित रेखा का अनिवार्य विकास, केवल पाठ्यपुस्तक जी.वी. डोरोफेवा और आई.एफ. Sharygin निम्नलिखित संस्करण में सुझाव देता है:
ग्रेड 5 - विषय में " पूर्णांकों" - "डेटा विश्लेषण"
6 कक्षा - संयोजक (6 घंटे) और यादृच्छिक घटनाओं की संभावना (9 घंटे)
ग्रेड 7 - आवृत्ति और संभावना (6 घंटे);
ग्रेड 8 - संभाव्यता और सांख्यिकी (5 घंटे)
ग्रेड 9 - सांख्यिकीय अध्ययन (9 घंटे)
8-9 कक्षा: समूह और संयोजक के तत्व।
10-11 कक्षा - संयोजक और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व। संभाव्यता सिद्धांत और गणितीय आंकड़ों के तत्व।
ट्यूटोरियल की सार्थक कमी की भरपाई करने के लिए, उनमें से कुछ के लेखकों ने 7-9 वर्ग के बीजगणित, पेशकश और परिप्रेक्ष्य योजना के पाठ्यक्रम में अतिरिक्त अनुच्छेद विकसित किए हैं: एजी। मॉर्डकोविच और पीवी सेमेनोव; एम.वी. Tkacheva और N.E. Fedorova "आंकड़ों और संभाव्यता के तत्व"
ऐसे लाभों के अन्य शैक्षिक और पद्धतिपरक परिसरों को अभी तक विकसित नहीं किया गया है। शिक्षक के लिए बाहर निकलें - वर्तमान स्थिति से अभ्यास लेखक के कामकाजी कार्यक्रम का विकास, वैकल्पिक पाठ्यक्रम, माध्यमिक विद्यालय पाठ्यक्रम और उनकी अनुमति के प्रस्तावित पथों की शुरूआत से उत्पन्न होने वाले सभी विरोधाभासों को ध्यान में रखते हुए।
यह मानते हुए कि छात्रों द्वारा किसी भी विज्ञान को अलग नहीं किया जाना चाहिए, एक दूसरे से अलगाव में, मुझे ज्यामिति, बीजगणित, अंकगणित, कंप्यूटर विज्ञान और स्टोकास्टिक का सार्थक इंटरपेनेट्रेशन खोजने का प्रयास किया गया था।
मास्टर स्कूल के गणित का मूल
"तर्क, संयोजक, सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत के तत्व" (45 घंटे)
5
अंकगणित:
प्राकृतिक संख्याओं के साथ कार्रवाई
सेट और कॉम्बिनेट्रिक्स
कक्षा
6
यादृच्छिक घटनाओं की संभावना
अंकगणित:
अंशों के साथ कार्रवाई;
औसत
कक्षा
सांख्यिकीय डेटा, यादृच्छिक चर
कंप्यूटर विज्ञान:
चार्ट के साथ काम करना (EXSEL)
7 वीं कक्षा
सबूत
ज्यामिति: सबूत प्रमेय
8
ज्यामितीय संभावना
ज्यामिति:
आंकड़ों का वर्ग;
कक्षा
हाई स्कूल गणित फंडिंग
"संयोजक, सांख्यिकी, संभाव्यता सिद्धांत के तत्व"
20 घंटे - आधार, 25 घंटे - प्रोफ। मानवीय,
सूत्र संयोजक
संयोजक कार्यों का समाधान
तालिका और डेटा का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व
अपूर्ण घटनाक्रम
उनकी संभावना
प्राथमिक और जटिल घटनाक्रम
संभाव्य तरीकों, ग्राफ के तरीकों के उपयोग के साथ व्यावहारिक समस्याओं को हल करना
20 घंटे - प्रोफेसर। गणितीय
ग्रेड 10
इस प्रकार, रचनात्मक रूप से निर्माण कार्य कार्यक्रमशिक्षक को अन्य वर्गों या विज्ञान के शैक्षिक आधार का उपयोग करने का अवसर है, जो प्रत्येक प्रश्न की मेटापरेबिलिटी के लिए शर्तों का निर्माण करता है। लेकिन शिक्षक की रचनात्मकता समाप्त नहीं होती है। लेखन के प्रकटीकरण के लिए बहुत अच्छे अवसर और तदनुसार, गणित शिक्षक की रचनात्मकता व्यावहारिक परिचय तकनीकों की पसंद के साथ प्रकट होती है और आगे आवेदन स्टोकास्टिक के पाठ्यक्रम की बुनियादी अवधारणाएं। रचनात्मक कॉपीराइट सर्पिल दृष्टि उच्च विद्यालय में उच्च विद्यालय में संभाव्यता सिद्धांत की अवधारणाओं को निधि देना अतिरिक्त शिक्षा निम्नलिखित नुसार
संभाव्यता सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएं
किसी भी सटीक विज्ञान अध्ययन प्रकृति में, समाज में, और उनके गणितीय मॉडल, यानी, उन पर सख्ती से परिभाषित वर्णों और संचालन के एक सेट का उपयोग करके घटनाओं का विवरण, घटनाओं का उपयोग नहीं करता है। साथ ही, कई मामलों में वास्तविक घटना के गणितीय मॉडल का निर्माण करने के लिए, केवल मुख्य कारक, पैटर्न जो आपको अपनी निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों पर अनुभव (अवलोकन, प्रयोग) के परिणाम की पूर्ति करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, कई कार्य हैं, जिन्हें ध्यान में रखना और यादृच्छिक कारकों को लेना है जो अनिश्चितता का एक तत्व बनाते हैं।
सिद्धांत संभावना - गणितीय विज्ञान जो द्रव्यमान यादृच्छिक घटनाओं में अंतर्निहित पैटर्न का अध्ययन करता है। इस मामले में, अध्ययन की घटनाओं को अमूर्त रूप में माना जाता है, भले ही उनकी विशेष प्रकृति के बावजूद। यही है, संभाव्यता सिद्धांत वास्तविक घटनाओं को वास्तविक नहीं मानता है, और उनकी सरलीकृत योजनाएं गणितीय मॉडल हैं। संभाव्यता सिद्धांत का विषय यादृच्छिक घटनाओं (घटनाओं) के गणितीय मॉडल है। उसी समय के तहत यादृच्छिक घटना इस घटना की भविष्यवाणी करने के लिए घटना को समझें, जो असंभव है (एक ही अनुभव के बार-बार प्रजनन के साथ, यह हर बार कुछ अलग हो जाता है)। यादृच्छिक घटनाओं के उदाहरण: सिक्का फेंकने पर सिक्का के उत्सर्जन, खरीदा लॉटरी टिकट जीतने, किसी भी मूल्य को मापने का नतीजा, टीवी की अवधि इत्यादि। संभाव्यता सिद्धांत का उद्देश्य पूर्वानुमान का कार्यान्वयन है यादृच्छिक घटना का क्षेत्र, इन घटनाओं के दौरान प्रभाव, उनके नियंत्रण, मौका के दायरे के प्रतिबंध। वर्तमान में विज्ञान का एक भी क्षेत्र नहीं है जिसमें संभाव्य तरीकों को एक डिग्री या किसी अन्य पर लागू नहीं किया गया है।
यादृच्छिक घटना (या बस: एक घटना) को उस अनुभव का कोई परिणाम कहा जाता है जो हो सकता है या नहीं होता है। घटनाओं को संकेत दिया जाता है, एक नियम के रूप में, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों के साथ: ए, बी, सी, ....
यदि एकल परीक्षण में एक घटना की उपस्थिति दूसरे की उपस्थिति को समाप्त करती है, तो ऐसी घटनाओं को बुलाया जाता है नॉन-बेड। यदि घटनाओं के समूह पर विचार करते समय उनमें से केवल एक ही हो सकता है, तो इसे कहा जाता है केवल संभव है। गणितज्ञों का सबसे बड़ा ध्यान कई सदियों से आकर्षित होता है। समान घटनाएं (घन के किनारों में से एक का नुकसान)।
उदाहरण: ए) एक खेल की हड्डी फेंकते समय, प्राथमिक घटनाओं की जगह पी में छह अंक होते हैं: एन \u003d (1,2,3,4,5,6); बी) सिक्का को एक पंक्ति में दो बार फेंक दें, फिर एन \u003d (जीजी, जीआर, आरजी, पीपी), जहां एम - "कोट ऑफ आर्म्स", पी - "ग्रिल" और कुल संख्या (पीओ) | पी | \u003d 4; सी) सिक्का को "हथियारों के कोट" की पहली उपस्थिति में फेंक दें, फिर एन \u003d (आरजी, आरजी, आरआरजी, आरआरजी, ...)। इस मामले में, एन को प्राथमिक घटनाओं की अलग जगह कहा जाता है।
आमतौर पर रुचि नहीं है कि विशेष रूप से परीक्षण के परिणामस्वरूप परिणाम क्या होता है, और जिस तरह से इसका परिणाम सभी परिणामों के सबसेट से संबंधित होता है। उन सभी सबसेट ए, जिसके लिए प्रयोग की शर्तों के अनुसार, दो प्रकार की प्रतिक्रिया संभव है: "परिणाम एक" या "पलायन से संबंधित है", हम घटनाओं को बुलाएंगे। उदाहरण में, बी) सेट ए \u003d (जीजी, जीआर, आरजी) एक ऐसी घटना है जो कम से कम एक "हथियारों का कोट" गिरती है। घटना ए में अंतरिक्ष पी के तीन प्राथमिक परिणाम शामिल हैं, इसलिए | एक | \u003d 3।
दो घटनाओं का योग ए और बी ने एक ईवेंट सी \u003d ए + सी कहा, जिसमें एक ईवेंट ए या इवेंट वी के निष्पादन में शामिल है। घटनाओं का कार्य ए और इन घटना डी \u003d ए · बी को घटना के संयुक्त निष्पादन में और घटना के विपरीत वी। घटनाओं के रूप में बुलाया जाता है, लेकिन इसे एक घटना कहा जाता है जिसमें एक की असंतुलन शामिल है, इसका मतलब है कि यह इसे पी को पूरक करता है । यदि किसी ईवेंट ए की प्रत्येक उपस्थिति में एक उपस्थिति के साथ है, तो एक लिखें और कहें और आईएनटीईएस में या फिर से प्रवेश करता है।
ऐतिहासिक रूप से, संभावना की अवधारणा की पहली परिभाषा वह परिभाषा है जिसे वर्तमान में क्लासिक, या शास्त्रीय संभावना कहा जाता है: क्लासिक संभावना घटनाओं ए को अपूर्ण परिणामों की संख्या (आवश्यक रूप से होने वाली) की संख्या का अनुपात कहा जाता है ताकि अपूर्ण अन्य संभावित और संतुलन परिणामों की कुल संख्या: पी (ए) \u003d एम / एन, जहां एम घटनाओं के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या है; अधूरे अन्य संभावित और संतुलन परिणामों की कुल संख्या। यादृच्छिक के मूल्य के दृष्टिकोण से, सभी घटनाओं को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
कई घटनाओं को बुलाया जाता है संयुक्तयदि एक परीक्षण में उनमें से एक की उपस्थिति एक ही परीक्षण में अन्य घटनाओं को बाहर नहीं करती है। अन्यथा घटना कहा जाता है नॉन-बेड.
दो घटनाओं को बुलाया जाता है आश्रितयदि एक कार्यक्रम की संभावना दूसरे की उपस्थिति या गलती पर निर्भर करती है। दो घटनाओं को बुलाया जाता है स्वतंत्रयदि एक घटना की संभावना दूसरे की उपस्थिति या गलती पर निर्भर नहीं है। कई घटनाओं को कुल मिलाकर स्वतंत्र रूप से कहा जाता है, यदि उनमें से प्रत्येक और अन्य कार्यक्रमों का कोई भी संयोजन स्वतंत्र घटनाक्रम है। कई घटनाओं को बुलाया जाता है स्वतंत्र रूप से स्वतंत्रयदि इनमें से दो घटनाएं स्वतंत्र हैं।
युग्मित आजादी की आवश्यकताओं की तुलना में कुल मिलाकर स्वतंत्रता की आवश्यकता मजबूत है। इसका मतलब है कि कई घटनाएं जोड़े में स्वतंत्र हो सकती हैं, लेकिन साथ ही वे कुल में स्वतंत्र नहीं होंगे। यदि कई घटनाएं कुल में स्वतंत्र हैं, तो उनकी जोड़ी की स्वतंत्रता इस प्रकार होती है। इस तथ्य के कारण कि भविष्य में अक्सर दूसरों की उपस्थिति या गलती के आधार पर कुछ घटनाओं की संभावनाओं पर विचार करना आवश्यक होगा, यह एक और अवधारणा पेश करना आवश्यक है।
रा (बी) की सशर्त संभावना एक घटना की संभावना, गणना की गई, बशर्ते घटना पहले से ही हो चुकी है।
संभाव्यता सिद्धांत की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक (एक यादृच्छिक घटना और संभावना के साथ) अवधारणा है अनियमित चर.
यादृच्छिक चर के तहत, वे उस राशि को समझते हैं, जो अनुभव के परिणामस्वरूप, लेता है या दूसरा मूल्य होता है, और पहले से ही अज्ञात होता है। यादृच्छिक चर के उदाहरण सेवा कर सकते हैं: 1) एक्स - एक खेल की हड्डी फेंकने पर दिखाई देने वाले बिंदुओं की संख्या; 2) वाई - लक्ष्य में पहली हिट के लिए शॉट्स की संख्या; 3) जेड - डिवाइस के मुसीबत मुक्त संचालन का समय, आदि यादृच्छिक मूल्य मूल्यों का एक सीमित या गणनीय सेट लेना कहा जाता है अलग। यदि यादृच्छिक भिन्नता के कई संभावित मूल्य स्थायी हैं, तो इस मान को कहा जाता है निरंतर.
यही है, एक अलग यादृच्छिक मान एक दूसरे से अलग इन्सुलेट लेता है, और एक निरंतर यादृच्छिक मान किसी निश्चित अंतर से किसी भी मूल्य ले सकता है (उदाहरण के लिए, सेगमेंट पर मान, पूरी संख्यात्मक रेखा आदि)। यादृच्छिक चर x और y (उदाहरण 1) और 2)) अलग हैं। यादृच्छिक जेड (उदाहरण 3)) निरंतर है: इसके संभावित मूल्य अंतर से संबंधित हैं। उदाहरण। अनुभव में 2 बार सिक्के फेंकने में शामिल होते हैं। आप एक यादृच्छिक घटना पर विचार कर सकते हैं - बाहों के कोट की उपस्थिति और एक्स के यादृच्छिक मान हथियारों की उपस्थिति की संख्या है।
यादृच्छिक चर की मुख्य विशेषताएं स्थिति (गणितीय उम्मीद, फैशन, औसत) और फैलाव विशेषताओं (फैलाव, आरएम विचलन) की विशेषताएं हैं।
अपेक्षित मूल्य इसकी गणना फॉर्मूला एम [x] \u003d σxipi द्वारा की जाती है और एक यादृच्छिक चर के औसत मूल्य को दर्शाती है।
फैशन (एम। 0 ) - यह एक यादृच्छिक चर का मान है जिसके लिए संबंधित संभाव्यता मान अधिकतम है।
मेडियन असतत यादृच्छिक मान (i) को यादृच्छिक चर के कई संभावित मूल्यों में एक्सके का मूल्य कहा जाता है, जो कि संभावनाओं के कुछ मूल्यों के साथ होता है, कि एक्सके तक की प्रक्रिया लगभग समान रूप से समाप्त हो जाएगी यह।
फैलाव (स्कैटरिंग) असतत यादृच्छिक चर को गणितीय अपेक्षाओं से एक यादृच्छिक मूल्य के वर्ग विचलन के लिए गणितीय प्रतीक्षा कहा जाता है: डी [x] \u003d m (x - m [x] 2 \u003d m [x 2] -m 2 [x]।
प्रतिद्वंद्वी विचलन यादृच्छिक चर कहा जाता है सकारात्मक मूल्य वर्गमूल फैलाव से: σ [x] \u003d।
यादृच्छिक घटना की अवधारणाओं और यादृच्छिक चर की अवधारणाओं से जुड़ी चुनौतियां प्रभावी रूप से एक संभाव्य ग्राफ का उपयोग करके ग्राफिक चित्रण के माध्यम से प्रभावी रूप से देखी जाती हैं, जिनके उचित संभाव्यता मान लिखे गए हैं।
0.3 के बराबर पहले खिलाड़ी के लिए एक गेम जीतने की संभावना को छोड़ दें, और दूसरे खिलाड़ी के लिए जीतने की संभावना 0.7 से मेल खाती है। इस मामले में, बोली साझा करें?
उत्तर: जीतने की संभावना के आनुपातिक।
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एच |
x1 |
एक्स 2 |
…… |
एक्सएन |
…. |
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आर |
पी 1 |
पी 2। |
…… |
पीएन। |
.. |
नियम (तालिका, फ़ंक्शन, ग्राफ़) का नियम, जो विशेष रूप से मनमानी घटनाओं की संभावनाओं को ढूंढना संभव बनाता है, विशेष रूप से, यादृच्छिक भिन्नता के व्यक्तिगत मूल्यों की संभावनाओं को इंगित करता है या इनमें से कई मानों को कहा जाता है यादृच्छिक चर के वितरण का कानून (या सिर्फ: वितरण)। यादृच्छिक राशि का कहना है कि "यह वितरण के इस कानून के अधीन है" - संबंध जो यादृच्छिक भिन्नता और संबंधित संभावनाओं के संभावित मूल्यों के बीच संबंध स्थापित करता है। असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून आमतौर पर एक तालिका के रूप में सेट होता है, जहां एक यादृच्छिक चर का मान शीर्ष रेखा में दर्ज किया जाता है, और नीचे - प्रत्येक xi के तहत - संबंधित संभावनाएं पी i वितरण कानून में वितरण ग्राफ के रूप में एक ज्यामितीय चित्रण हो सकता है।
संभाव्यता सिद्धांत एक गणितीय विज्ञान है जो यादृच्छिक घटनाओं के पैटर्न का अध्ययन करता है। पैटर्न का ज्ञान जो बड़े पैमाने पर यादृच्छिक घटनाओं के अधीन हैं, यह आपको यह करने की अनुमति देता है कि ये घटनाएं कैसे लीक होंगी। संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का व्यापक रूप से विज्ञान और प्रौद्योगिकी की विभिन्न शाखाओं में उपयोग किया जाता है: विश्वसनीयता के सिद्धांत, जनवरी सेवा, सैद्धांतिक भौतिकी, भूगर्भीय, खगोल विज्ञान, त्रुटि सिद्धांत, प्रबंधन सिद्धांत, संचार सिद्धांत और कई अन्य सैद्धांतिक और लागू विज्ञान में सिद्धांत। संभाव्यता सिद्धांत गणितीय आंकड़ों को औचित्य साबित करने के लिए कार्य करता है।
घटनाओं के उदाहरण लाउड्साइटलेस के योग्य हैं 1. सर्दियों के बाद वसंत होता है। 2. रात के बाद सुबह आती है। 3. पत्थर नीचे गिर जाता है। 4. गर्म होने पर पानी गर्म हो जाता है। 1. खजाना खोजें। 2. सैंडविच तेल के साथ गिरता है। 3. स्कूल रद्द कक्षाओं में। 4. कवि बाइक का उपयोग करता है। 5. बिल्ली घर में रहती है। 1. Z0 फरवरी जन्मदिन। 2. एक घन फेंकते समय 7 अंक गिरता है। 3. एक व्यक्ति पुराना पैदा होता है और हर दिन छोटा हो जाता है।
संभावना का प्रस्ताव। एक घटना की संभावना इस घटना के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या का अनुपात है जो अपूर्ण प्राथमिक परिणामों की कुल संख्या में है, जो एक पूर्ण समूह बनाती है: पी (ए) \u003d एम / एन, जहां एम प्राथमिक परिणामों की संख्या है ए फेवर्स ए; n सभी संभावित प्राथमिक परीक्षण परिणामों की संख्या।
नतीजतन, आप निम्नलिखित तीन गुण लिख सकते हैं। 1. एक विश्वसनीय घटना की संभावना एक के बराबर है। इसलिए, यदि घटना विश्वसनीय रूप से है, तो परीक्षण का प्रत्येक मौलिक परिणाम घटना का पक्ष लेता है, फिर एम \u003d एन, और पी (ए) \u003d एम / एन \u003d एन / एन \u003d असंभव घटना की संभावना शून्य है। इसलिए, यदि घटना असंभव है, तो कोई प्राथमिक परीक्षण परिणाम घटना का पक्ष लेता है, फिर एम \u003d 0, और पी (ए) \u003d एम / एन \u003d 0 / एन \u003d एक यादृच्छिक घटना की संभावना शून्य और के बीच एक सकारात्मक संख्या समाप्त होती है इकाई। नतीजतन, प्राथमिक परीक्षण परिणामों की कुल संख्या का केवल एक हिस्सा यादृच्छिक घटना के लिए अनुकूल है, फिर 0 
विचाराधीन घटना के संबंध में विपरीत घटना ए एक ऐसी घटना है जो तब नहीं होती है जब ऐसा होता है। और इसके विपरीत। उदाहरण के लिए, एक घटना ए - "अंकों की संख्या भी गिर गई" और बी - "एक अजीब संख्या में गिरावट" जब एक खेल घन फेंकते हैं - विपरीत। प्रमेय: विपरीत घटनाओं की संभावना का योग 1 है। आईई: या पी + क्यू \u003d 1। उदाहरण: संभावना है कि दिन बरसात पी \u003d 0.7 होगा। मौका पाएं कि दिन स्पष्ट हो जाएगा। समाधान: घटनाएं "दिन बरसात होगी" और "दिन स्पष्ट हो जाएगा"। इसलिए, वांछित संभावना: q \u003d 1-p \u003d 1-0.7 \u003d 0.3।
घटनाओं पर कार्रवाई 1. घटना सी को ए + बी का योग कहा जाता है यदि इसमें सभी प्राथमिक घटनाओं शामिल हैं जो दोनों में और बी में शामिल हैं, वेनिया आरेख पर, ए + बी की मात्रा को दर्शाया गया है: यदि घटनाएं ए और बी सहकारी हैं, फिर योग ए + बी का अर्थ है कि एक घटना उत्पन्न होती है, या एक घटना, या दोनों घटनाओं को एक साथ। यदि घटनाएं समझ में नहीं आती हैं, तो ईवेंट ए + बी यह है कि इसका उपयोग केवल ए या इन में किया जाना चाहिए, फिर + शब्द "या" द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। घटनाओं पर कार्रवाई 1. घटना सी को ए + बी का योग कहा जाता है यदि इसमें सभी प्राथमिक घटनाओं शामिल हैं जो दोनों में और बी में शामिल हैं, वेनिया आरेख पर, ए + बी की मात्रा को दर्शाया गया है: यदि घटनाएं ए और बी सहकारी हैं, फिर योग ए + बी का अर्थ है कि एक घटना उत्पन्न होती है, या एक घटना, या दोनों घटनाओं को एक साथ। यदि घटनाएं समझ में नहीं आती हैं, तो ईवेंट ए + बी यह है कि इसका उपयोग केवल ए या इन में किया जाना चाहिए, फिर + शब्द "या" द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।
संयुक्त घटनाओं की संभावनाओं को जोड़ने का प्रमेय। प्रमेय: कम से कम दो संयुक्त घटनाओं में से एक की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर है, उनकी संयुक्त उपस्थिति की संभावना के बिना: पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) - पी ( एबी) उदाहरण: लक्ष्य में प्रवेश करने की संभावनाएं जब पहले और दूसरे उपकरण की शूटिंग क्रमश: पी 1 \u003d 0.7 और पी 2 \u003d 0.8 के बराबर होती है। एक वॉली में कम से कम एक बंदूकें प्राप्त करने की संभावना का पता लगाएं। समाधान: लक्ष्य में प्रवेश करने की संभावना किसी भी बंदूकें किसी अन्य उपकरण से शूटिंग के परिणाम पर निर्भर नहीं होती है, इसलिए घटनाओं ए (पहली बंदूक हिट) और (दूसरा टूल हिट) स्वतंत्र है। एक घटना की संभावना * बी (दोनों बंदूकें एक हिट दी गई थी) पी (ए * सी) \u003d पी (ए) * पी (सी) \u003d 0.7 * 0.8 \u003d 0.56 वांछित संभावना पी (ए + सी) \u003d पी ( A) + p (c) -r (av) \u003d 0.7 + 0.8-0.56 \u003d 0.94
यह उदाहरण कम से कम एक घटना के संभाव्यता फॉर्मूला का उपयोग करके एक अलग तरीके से हल करना संभव होगा। मान लीजिए, परीक्षण के परिणामस्वरूप, 2 स्वतंत्र घटनाएं या उनमें से कुछ प्रकट हो सकते हैं। इस मामले में, इन घटनाओं में से प्रत्येक की उपस्थिति की संभावना दी जाती है। संभावना को खोजने के लिए कि इनमें से कम से कम एक घटनाओं में से एक आता है, हम निम्नलिखित प्रमेय का उपयोग करते हैं। प्रमेय। ए 1 और ए 2 की कम से कम एक घटना की उपस्थिति की संभावना, जो कुल से स्वतंत्र हैं, इकाई के बीच अंतर और विरोधी घटनाओं की संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होती है: पी (ए) \u003d 1 क्यू 1 * क्यू 2।
अपूर्ण घटनाओं की संभावनाओं के अलावा जब घटनाएं ए और बी असंगत हैं, तो घटना ए + बी यह है कि यह एक या अंदर आना चाहिए, फिर + को "या" शब्द द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। प्रमेय: दो असंगत घटनाओं में से एक की उपस्थिति की संभावना इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर क्या है: पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी)।
उदाहरण: 30 गेंदों के उर में: 10 लाल, 5 नीला और 15 सफेद। एक रंग की गेंद की संभावना का पता लगाएं। समाधान: एक रंगीन गेंद की उपस्थिति का अर्थ है लाल या नीली गेंद। सोब। ए - लाल कटोरे की उपस्थिति। सोब की उपस्थिति की संभावना। ए: पी (ए) \u003d 10/30 \u003d 1/3। सोब। बी - एक नीली गेंद की उपस्थिति। सोब की उपस्थिति की संभावना। प्रश्न: पी (बी) \u003d 5/30 \u003d 1/6। घटनाक्रम ए और बी असंगत हैं (एक रंग की एक गेंद की उपस्थिति दूसरे रंग की एक गेंद की उपस्थिति को समाप्त करती है), इसलिए अतिरिक्त प्रमेय लागू है। वांछित संभावना: पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (सी) \u003d 1/3 + 1/6 \u003d 1/2।
उदाहरण। चलो निम्नलिखित घटनाएं हों: ए - "कार्ड के डेक से लेडी द्वारा हटा दिया जाता है" - "कार्ड के डेक से पीक मस्त कार्ड हटा दिया जाता है। तो, ए * बी का अर्थ है "चोटी की महिला को रीसेट करें"। उदाहरण। एक खेल घन भाग जाता है। निम्नलिखित घटनाओं पर विचार करें: ए - "अंक की संख्या जो 2" गिर गई ", सी -" अंक की संख्या जो गिर गई है। " फिर एक * बी * सी - "4 अंक गिर गए।"
यदि एक यादृच्छिक घटना को एक घटना के रूप में दर्शाया जाता है, जब, शर्तों का एक सेट लेते समय, हो सकता है या नहीं होता है, और यदि, किसी घटना की संभावना की गणना करते समय, शर्तों को छोड़कर, कोई अन्य प्रतिबंध नहीं है, फिर इस तरह की संभावना को बिना शर्त कहा जाता है। यदि अन्य अतिरिक्त शर्तें भी लगाई जाती हैं, तो इस मामले में किसी कार्यक्रम की संभावना सशर्त होगी। उदाहरण के लिए, अक्सर एक घटना की एक घटना की संभावना की गणना करते हैं जो एक घटना ए। यदि एक यादृच्छिक घटना को एक घटना के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जब शर्तों का एक सेट पूरा किया जाता है, तो हो सकता है या नहीं, और यदि गणना की जाती है एक घटना की संभावना, शर्तों को छोड़कर, कोई अन्य प्रतिबंध नहीं है, यह संभावना को बिना शर्त कहा जाता है। यदि अन्य अतिरिक्त शर्तें भी लगाई जाती हैं, तो इस मामले में किसी कार्यक्रम की संभावना सशर्त होगी। उदाहरण के लिए, अक्सर एक घटना की संभावना की गणना की एक अतिरिक्त स्थिति में एक घटना ए।
एक घटना की संभावना, इस धारणा के तहत गणना की गई है कि घटना जो पहले से ही आ गई है, को एक सशर्त संभावना कहा जाता है और घटना के अनुसार किसी घटना की सशर्त संभावना से दर्शाया जाता है, और घटना की गणना पहले ही गणना की जा चुकी है: \u003d पी (ए * सी) / पी (ए), यदि पी (ए))\u003e 0। 0. "\u003e 0।"\u003e 0. "शीर्षक \u003d" (! लैंग: एक घटना की संभावना, इस धारणा के तहत गणना की गई धारणा के तहत गणना की गई है कि घटना को एक सशर्त संभावना कहा जाता है और एक घटना की सशर्त संभावना को दर्शाता है बशर्ते कि घटना की गणना की जा चुकी है: \u003d पी (ए * सी) / पी (ए), यदि पी (ए)\u003e 0।"> title="एक घटना की संभावना, इस धारणा के तहत गणना की गई है कि घटना जो पहले से ही आ गई है, को एक सशर्त संभावना कहा जाता है और घटना के अनुसार किसी घटना की सशर्त संभावना से दर्शाया जाता है, और घटना की गणना पहले ही गणना की जा चुकी है: \u003d पी (ए * सी) / पी (ए), यदि पी (ए))\u003e 0।"> !}
2. संभाव्यता गुणात्मक प्रमेय। मान लीजिए संभावना पी (ए) और दो घटनाएं ए और बी को यह संभावना है कि घटना ए दिखाई देने वाली संभावना को खोजने के लिए जानी जाती है, और घटना में गुणा प्रमेय द्वारा उपयोग की जा सकती है। प्रमेय। दो घटनाओं की संयुक्त उपस्थिति की संभावना अन्य की सशर्त संभावना पर उनमें से एक की संभावना के बराबर है, अनुमान में गणना की गई है कि पहली घटना पहले ही पहुंच चुकी है: पी (ए * सी) \u003d पी (ए) *
स्वतंत्र घटनाक्रम। स्वतंत्र घटनाओं के लिए गुणात्मक प्रमेय। हम मानते हैं कि एक घटना की संभावना एक घटना ए की घटना पर निर्भर नहीं है। घटना को घटना से स्वतंत्र कहा जाता है, लेकिन यदि किसी घटना की उपस्थिति और दूसरे शब्दों में किसी घटना की संभावना को नहीं बदलता है, तो यदि बिना शर्त संभावना में एक घटना की सशर्त संभावना: \u003d पी (इन)। गुणा प्रमेय पी (ए * सी) \u003d पी (ए) * स्वतंत्र घटनाओं के लिए निम्नानुसार है: पी (ए * सी) \u003d पी (ए) * पी (बी)।
यदि किसी घटना की संभावना के अलावा कई परीक्षण किए जाते हैं, और प्रत्येक परीक्षण में अन्य परीक्षणों के परिणामों पर निर्भर नहीं होता है, तो इस तरह के परीक्षणों को ईवेंट ए के बारे में स्वतंत्र कहा जाता है। विभिन्न स्वतंत्र परीक्षणों में अलग-अलग संभावनाएं हो सकती हैं, या एक ही संभावना।
मान लीजिए एन स्वतंत्र परीक्षण किए जाते हैं। उनमें से प्रत्येक में, एक घटना प्रकट हो सकती है या प्रकट नहीं हो सकती है। हम सोचेंगे कि प्रत्येक परीक्षण में, एक घटना की संभावना समान है, पी के बराबर। इसका मतलब है कि संभावना यह है कि घटना वह घटना है और प्रत्येक परीक्षण में नहीं आएगी, और यह क्यू \u003d 1 पी के बराबर है। ऐसा होने की संभावना की गणना करने के लिए आवश्यक होने दें कि एन परीक्षण के साथ एक घटना के साथ और वास्तव में के समय होगा, और (एन के) समय नहीं होगा।
पूर्ण संभावना का सूत्र एक घटना ए की संभावना है, जो केवल तभी हो सकता है जब एक पूर्ण समूह बनाने वाली अपूर्ण घटनाओं में से एक घटना ए की उचित सशर्त संभावना के लिए प्रत्येक घटनाओं के संभाव्यता उत्पादों की मात्रा के बराबर है।
इसके अलावा: ए) यदि एनपी-क्यू की संख्या आंशिक है, तो एक-एक हाथ की संख्या है; बी) यदि एनपी-क्यू की संख्या एक पूर्णांक है, तो दो सबसे अधिक सेवा की गई संख्याएं हैं, अर्थात्; सी) यदि एनपी संख्या एक पूर्णांक है, तो सबसे उपयुक्त संख्या \u003d एनपी, और: ए) यदि संख्या एनपी-क्यू आंशिक है, तो एक-एक हाथ की संख्या है; बी) यदि एनपी-क्यू की संख्या एक पूर्णांक है, तो दो सबसे अधिक सेवा की गई संख्याएं हैं, अर्थात्; सी) यदि एनपी संख्या एक पूर्णांक है, तो पहला एक \u003d एनपी
एन तत्वों के क्रमशः ऐसे यौगिकों को बुलाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक में सभी एन तत्व होते हैं और जो कि के तत्वों के अनुसार एन तत्वों से उनके स्थान के एक दूसरे से भिन्न होते हैं, उन्हें डेटा एन तत्वों से एक निश्चित क्रम में किए गए के तत्वों से युक्त यौगिक कहा जाता है। (आदेश महत्वपूर्ण है) एन तत्वों से जोड़ता है k के अनुसार एन तत्वों के डेटा से चयनित के तत्वों से बना यौगिक कहा जाता है। (प्रक्रिया महत्वपूर्ण नहीं है)।
पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तनों को पहले प्रकार के तत्व, दूसरा प्रकार, ..., के-वें प्रकार, कुल एन तत्वों के तत्व दिए जाएंगे। उन्हें विभिन्न स्थानों पर रखने के तरीके पुनरावृत्ति के साथ पुनर्व्यरण कहा जाता है। उनकी संख्या पुनरावृत्ति के साथ क्रमपरिवर्तन की संख्या से संकेतित है
काम का नियम उन्हें एक और के कार्यों के बाद एक लेने देता है। साथ ही, पहली कार्रवाई विधियों में एन 1, दूसरी एन 2 विधियों और के वें कार्रवाई से पहले की जा सकती है। फिर संयोजक के नियमों के अनुसार, सभी के कार्यों को पूरा करने के तरीकों की संख्या पूरी की जा सकती है
Tarasevich Alyona Konstantinovna, स्मोलेंस्क स्टेट यूनिवर्सिटी, सिटी स्मोलेंस्क के छात्र [ईमेल संरक्षित];
मोरोज़ोवा एलेना वैलेंटाइनोवना, शैक्षिक विज्ञान के अकादमिक डिग्री उम्मीदवार, सूचना विभाग के स्थिति सहयोगी प्रोफेसर और शैक्षिक प्रौद्योगिकियांस्मोलेंस्क स्टेट यूनिवर्सिटी, सिटी स्मोलेंस्क [ईमेल संरक्षित]
गणित के स्कूल वर्ष में संभाव्यता सिद्धांत की नींव सीखने की विशेषताएं
एनोटेशन। लेख गणित के स्कूल पाठ्यक्रम में संभाव्यता सिद्धांत की नींव का अध्ययन करने की विशिष्टताओं के लिए समर्पित है। विशेष रूप से बनाए गए कार्यक्रमों की सहायता से शिक्षण, सुविधाओं और अवधि के उद्देश्यों के साथ-साथ इस अनुशासन का अध्ययन करने के उदाहरणों के लिए विशेष ध्यान दिया जाता है।
कीवर्ड: स्कूल में संभाव्यता के सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए पद्धति, बुनियादी अवधारणाओं का अध्ययन करने के तरीके, गणित सीखने के तरीके।
स्कूल कोर्स गणित में संभाव्यता सिद्धांत की नींव का अध्ययन कुछ विशेषताएं हैं। एक तरफ, यह एक काफी शक्तिशाली और गंभीर प्रक्रिया है, जो कम से कम एक और जागरूक उम्र में मुश्किल है, स्कूल का उल्लेख नहीं करना, हालांकि, किसी को भी पूर्व-चालन पाठ्यक्रम में इस denadiscipline के आवश्यक अपनाने को संदेह नहीं है, जैसा कि यह एक बच्चे में कई कौशल विकसित करने में मदद करता है जो न केवल आगे के प्रशिक्षण में, बल्कि सामान्य रूप से जीवन में भी उपयोगी होगा। स्कूली बच्चों को सोचने के लिए सिखाना आवश्यक है, सभी प्रकार की संभावना को देखते हुए। यही है, आपको उन्हें सूचनाओं को प्राप्त करने, विश्लेषण करने और संभालने के लिए सिखाया जाना चाहिए, जानबूझकर बर्फ-आधारित परिणामों के साथ विभिन्न स्थितियों को जानबूझकर खरीदा है। अपने जीवन के स्कूली बच्चों को हर दिन स्वाद का सामना करना पड़ता है। खेल और साहस जिम के एक निश्चित, सार्थक जगह पर कब्जा करते हैं। ये सभी प्रश्न "संभाव्यता" और "विश्वसनीयता" की अवधारणाओं की तुलना से जुड़े हुए हैं, कठिनाई कार्रवाई के लिए कई विकल्पों में से सबसे अच्छी है, सफलता और फियास्को की संभावना, खेल में अच्छे और बुरे का विचार और में वर्तमान परिस्थितियों, यह सब, निश्चित रूप से, एक किशोरी के सच और आवश्यक शौक में है। स्कूली बच्चों की गणितीय गतिविधि को समाप्त संभाव्य मॉडल से परे जाना चाहिए। स्कूली बच्चों का प्रदर्शन कार्य करता है, जो वास्तविक जीवन स्थितियों में निर्णय लेने में मदद करता है, एक बड़ी भूमिका निभाता है और पैसे से सामग्री के सही और अनुभवी शिक्षण की आवश्यकता होती है। Stochastics का ज्ञान गणित शिक्षक के लिए संभावनाओं के सबसे महत्वपूर्ण कारकों में से एक है। हमें अपने रिश्ते के प्रासंगिक और सांख्यिकीय निष्कर्ष सहित विशेष पद्धति पर स्टोकास्टिक पर एक बहुपक्षीय रूप की आवश्यकता है। पर्यवेक्षक को इस मामले में होने वाले मामलों का विश्लेषण करने के दौरान गलत निर्णयों के जोखिम के आगमन को अच्छी तरह से जानना और महसूस करना चाहिए मामला। एक भ्रामक समझ, उदाहरण के लिए, छोटी सांख्यिकीय जानकारी के कारण उत्पन्न हो सकती है। शिक्षक असामान्य दृष्टिकोण प्रशिक्षण दिखाई देते हैं। व्याख्याता, किसी भी रोडास्किक कौशल के स्कूली बच्चों द्वारा ज्ञान के स्तर को निर्धारित करने के लिए, कुछ कठिनाइयों का सामना करना पड़ सकता है, उदाहरण के लिए, कार्यों को हल करते समय, स्कूली बच्चों को अक्सर जरूरी होता है, इसलिए चलो कहते हैं, स्वस्थ सोच, और एल्गोरिदम, नियमों के अनुसार सख्ती से कार्य नहीं करते हैं। उनके एक ही प्रश्न के उनके उत्तर अलग हैं। इस मामले में, शिक्षक का कार्य छात्र की गलती के अधिकार का आकलन होगा, क्योंकि यह संभव है। यह ध्यान में रखना चाहिए कि सबसे विकसित बच्चे तेजी से प्रयोगों और हमारे लिए ब्याज के शोध से संबंधित चीजों को बनाने के लिए शुरू होते हैं और अपने साथियों की देखभाल करने का ख्याल रखते हैं।
इसलिए, यह व्यक्तिगत रूप से कौशल और कौशल के स्तर के बीच अंतर करने के लिए पर्याप्त नहीं है और आउटपुट बनाने के लिए अजनबियों की मदद के बिना। शेयरों के शिक्षण छात्रों को शुरू करना, शिक्षक को यह समझना चाहिए कि अध्ययन के पाठ्यक्रम में एक नया कार्यक्रम पेश करना क्यों आवश्यक था। स्टोकास्टिक प्रशिक्षण के लक्ष्यों के स्कूल में शिक्षक की सही समझ, गणित और कई अन्य विषयों में स्टोकास्टिक्स के अपने रिश्ते का स्पष्ट प्रतिनिधित्व, छात्रों की इस तैयारी के लिए अंतिम आवश्यकताओं का ज्ञान मुख्य आधार है नई लाइन को लागू करने के लिए गणित शिक्षक का। ध्यान न दें, किसी भी धारावाहिक को सीखना किशोरावस्था के मानसिक विकास पर सकारात्मक है, क्योंकि यह उनके कौशल देता है तर्कसम्मत सोचपूरी तरह से वफादार और आवश्यक अवधारणाओं पर आधारित है। उत्तेजना में उपरोक्त सभी संभाव्यता सिद्धांत के प्रशिक्षण को संदर्भित करते हैं, लेकिन सामान्य के क्षेत्र से परे, लार्मित के शिक्षण में बहुत अधिक मूल्य है। संभावना के सिद्धांत का अध्ययन करने के बाद, छात्र को यह समझना शुरू होता है कि जब आप अनिश्चितता में आते हैं तो तार्किक सोच की तकनीकों को कैसे लागू किया जाए (और ऐसे प्रथाओं का एक बड़ा अभ्यास)।
उपर्युक्त सभी को इस अनुशासन के अध्ययन के उद्देश्यों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और स्कूल वर्ष में यह वास्तव में क्या प्रस्तुत करता है, छात्रों का अध्ययन क्या कर रहे हैं कि वहां बुनियादी अवधारणाएं क्या पाई जाती हैं?
यदि विस्तार और चरणों में पहुंचना आवश्यक है, तो संभावना के सिद्धांत का स्कूल पाठ्यक्रम 5 वीं कक्षा में शुरू करने के लिए बेहतर है, जहां विशिष्टता सिद्धांत की मुख्य परिभाषा विशिष्ट, "लाइव", समझने योग्य उदाहरण पेश किए जाएंगे। संभावनाओं के सिद्धांत की शुरुआत घटक है जहां कार्यों को बुझाने की विधि से हल किया जाएगा, यानी, छात्र संभावित विकल्प समाधान। बेशक, संभावित विकल्पों के पेड़ का उपयोग करके संयोजक कार्यों के समाधान पर विचार करना आवश्यक है।
घटनाओं की घटना से सीखा अगला चरण: यादृच्छिक, विश्वसनीय, असंभव, संतुलन, संतुलन, जो रोजमर्रा के उदाहरणों पर सचित्र है। गुणा नियम पर विचार करना भी संभव है, जो संयोजक कार्यों को हल करने का एक नया माध्यम है, जो लगता है जैसे लगता है यह: "यदि कुछ जोड़ी का पहला तत्व एम विधियों को चुना जा सकता है और इन विधियों में से प्रत्येक के लिए, दूसरे तत्व को एन तरीकों से चुना जा सकता है, तो इस जोड़ी को एम * एन विधियों का चयन किया जा सकता है।" विशिष्ट उदाहरणों पर इस नियम की क्षमताओं को चित्रित करना आवश्यक है।
एक अलग अध्याय को मुख्य अंकगणित विशेषताओं पर विचार किया जाना चाहिए: औसत अंकगणितीय (संख्याओं की औसत अंकगणितीय श्रृंखला को इन संख्याओं की राशि को उनकी संख्या पर विभाजित करने से निजी कहा जाता है), फैशन (फैशन को पंक्तियों की संख्या कहा जाता है, जो इस में पाया जाता है पंक्ति सबसे अधिक बार), कई डेटा के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों के बीच अंतर), औसत (मध्ययुगीन एक संख्या है जो सदस्यों की संख्या के संदर्भ में कई डेटा साझा करती है) , जिसमें जीवन से उदाहरणों की बहुलता होगी। सबसे महत्वपूर्ण प्रशिक्षण उन उदाहरणों पर विचार करना है जो अभ्यास करने के लिए बाध्य हैं, विभिन्न जीवन उदाहरणों का वर्णन किया गया है, जो बच्चों के लिए उपयोगी और दिलचस्प होंगे।
पूर्वगामी का विश्लेषण करने के बाद, हम संभावना के लक्षणात्मक डिटेक्टरों को तैयार कर सकते हैं, जिसे पहली बार लैपलेस के फ्रांसीसी गणित के कार्यों में दिया गया था, और संयोजक के तत्वों पर भी विचार किया गया था: आवास और संयोजन। आप एक तालिका का उपयोग करके एक क्लासिक परिभाषा को चित्रित कर सकते हैं: शास्त्रीय परिभाषा का उपयोग करके तालिका 1 कार्य
पहले से ही उच्च विद्यालयों में, सांख्यिकीय अध्ययन का अध्ययन किया जाता है, आंकड़ों की परिभाषा (विज्ञान सीखना जो जीवन में बड़े पैमाने पर घटनाओं की एक विस्तृत विविधता पर मात्रात्मक डेटा का निर्माण और विश्लेषण करता है, सैंपलिंग, प्रतिनिधि, सामान्य संयोजन, रैंकिंग, नमूनाकरण की नई अवधारणाएं माने जाते हैं। शुरू की नया रास्ता बहुभुज के परिणामों का ग्राफिक प्रतिनिधित्व। नए-नमूना फैलाव और द्वितीयक वर्गबद्ध विचलन का अध्ययन किया जा रहा है।
उत्तरार्द्ध के अध्ययन में न केवल नींव, डेटा पहले, बल्कि एक अधिक विस्तृत और चौकस रिश्ते की आवश्यकता होती है, गणित में, जीवन में, फिर, अधिक कठिन।
बेशक, सभी विषयों और स्कूल के पाठ्यक्रम में, संभाव्यता सिद्धांत के अध्ययन में प्रमेय का अध्ययन करने की अपनी विशेष विधि रही है, जिनमें से मुख्य संभावनाओं के अतिरिक्त और इन और संभाव्यता गुणात्मक प्रमेय के प्रभाव के प्रमेय हैं । प्रमेय अध्ययन उनके आवेदन को चित्रित करने वाले विशिष्ट उदाहरणों पर प्रदर्शित किया जाना चाहिए, लेकिन हम स्कूल के शिक्षकों को प्रदान करेंगे, और सिम सिम बस इन प्रमोही की सामग्री की घोषणा करेंगे, और इसलिए, संभाव्यता जोड़ प्रमेय इस तरह लगता है: "दो असंगतता के योग की संभावना घटनाएं इन घटनाओं की संभावनाओं के बराबर होती हैं ", और, क्रमशः, इस प्रमेय पी (ए + सी) \u003d पी (ए) + पी (बी) के लिए सूत्र। संभावना गुणा प्रमेय "दो घटनाओं के काम की संभावना दूसरे की सशर्त संभावना पर एक घटना की संभावना के उत्पाद के बराबर है, बशर्ते कि पहली घटना हुई," सूत्र इतना पी (एवी) \u003d पी दिखता है (A) * p (v / a)। इन प्रमेय के साथ, गणित के सिद्धांत का अध्ययन गणित के सिद्धांत के साथ भी किया जाता है, जिसमें मनमानी प्रकृति के तत्वों के सेट के सामान्य गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिनकी कुल संपत्ति होती है। यदि छात्रों को सिद्धांत का ज्ञान होगा सेट के सेट, वे सेट पर सेट की घटनाओं पर अंतःक्रियाओं के साथ संवाद करने में सक्षम होंगे। इसके लिए धन्यवाद, छात्र यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम होंगे कि संभावनाओं के सिद्धांत में वस्तुओं और रिश्ते सेट के सिद्धांत में वस्तुओं और संबंधों के समान हैं। विवरण उपयोग की जाने वाली शर्तों के नाम हैं। पहले छिद्रों में, इसे संकलित करना आवश्यक है एक समेकित तालिका, जो मूलभूत जानकारी को दर्शाती है। इस घटना के लिए प्रयोगात्मकता घटना-अनुकूल घटनाओं के निपायने के परिणामों की प्रयोगात्मकता ए: पी (ए) \u003d एम / एम / ब्लॉसिंग सिक्का 2 एनईएल 11/2 साक्ष्य कोवेट बीड 211 एक्स्ट्रासीस्टोन क्यूब 11/24 पीने क्यूब 6 एनए क्यूब खरीद पॉइंट पॉइंट्स 33/6 \u003d 1/2 डब्ल्यू पर्क्यूशन लॉटरी 250 सतर्कता के लिए, एक टिकट 1010/250 \u003d 1/25 खरीदना
जितना संभव हो सके उपयोग करने के लिए घटनाओं की गतिविधियों का अध्ययन करने की प्रक्रिया में, जो न केवल संचालन के सार को दर्शाता है, बल्कि उनमें अंतर भी दर्शाता है। राशि की आसानी के साथ विद्यार्थियों, और परिभाषा का उपयोग कर घटनाओं का काम। कठिनाई छात्रों को घटनाओं पर संचालन के सार के बारे में समझने और जागरूक बनाने के लिए है। ऐसा करने के लिए, आप घटनाओं पर संचालन के साथ काम करने के लिए विभिन्न कार्यों का उपयोग कर सकते हैं। जिसके करीब आप इस विषय की व्याख्या का सामना कर सकते हैं, सरल घटनाओं को आवंटित करने की जटिलता है। निर्णय स्पष्ट है, अनुभव में पूरी बात, अधिक कार्यों का निर्णय लिया जाता है, अधिक समझ और न्यूनतम निर्णय। इस तरह की घटनाएं "प्राथमिक", "अधूरी घटनाओं" के रूप में ऐसी अवधारणाओं की एक विस्तृत समझ और समझ में छात्र को मोड़ों की घटनाएं "," विश्वसनीय घटनाएं "," असंभव घटनाएं "," विपरीत घटनाएं ", क्योंकि इन सभी अवधारणाओं को घटनाओं पर संचालन के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है। ऐसा लगता है कि किसी भी प्रणाली में इसकी कमी और टिप्पणियां हैं। आम तौर पर स्वीकृत संभाव्यता परिभाषा में से एक इसका सीमित उपयोग है, क्योंकि यह केवल शास्त्रीय प्रयोगों के लिए उपयुक्त है, जो अक्सर आधुनिक प्रिंटिंग के लिए नहीं होते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात यह आश्वस्त होगी कि छात्रों ने सीखा है कि संभावना का परिचय बहुत ही निर्दिष्ट है इसके उपयोग में, यही कारण है कि संभावना की अवधारणा की व्याख्या के दृष्टिकोण की संख्या का अध्ययन करने की आवश्यकता है। व्यावहारिक दृष्टिकोण से सबसे महत्वपूर्ण दृष्टिकोणों में से एक "संभावना" की अवधारणा की परिभाषा के लिए एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण है। इसके कार्यान्वयन को छात्रों के बीच सैद्धांतिक-संवेदनशील विचारों के गठन के अगले चरण के रूप में माना जाता है। मूल्यांकन के लिए गणितीय सांख्यिकी के वर्गों के बाद के आवेदन के लिए "संभाव्यता" की अवधारणा की सांख्यिकीय परिभाषा को महारत हासिल करना महत्वपूर्ण है सांख्यिकीय लक्षण विभिन्न चरित्र की घटनाओं का एक विस्तृत वर्ग। अभ्यास से पता चला है कि संभाव्यता सिद्धांत स्कूल में छात्रों के लिए एक बहुत ही समय लेने वाली और भारी प्रक्रिया है, और छात्रों के लिए उनके हस्तांतरण के दृष्टिकोण से, शिक्षकों के लिए उतना कठिन है। इसलिए, यह किसी भी त्रुटि और कमियों को सरल नहीं बनाता है, जो मानते हैं, मानते हैं, सबक और संगीत से अनुमति दी जा सकती है, सबसे पहले क्योंकि यह सुसंगत, संरचनात्मक है, और इसकी संरचना के प्रत्येक कण एक दूसरे को पूरा करता है।
स्रोतों के संदर्भ 1. morozova e.v. स्कूल शिक्षा के आधुनिकीकरण के संदर्भ में छात्रों के तार्किक सोच और तार्किक प्रतिबिंब विकसित करने के तरीके // आधुनिक समस्याएं विज्ञान और शिक्षा। -2014। -5; यूआरएल: http://www.scienceeducation.ru/ru/article/view?id\u003d14962 (हैंडलिंग की तिथि: 02/10/2016) .2.g। Dorofeev, i.f. शरागिन, एस बी Savorova। ट्यूटोरियल: बीजगणित। ग्रेड 7: अध्ययन। सामान्य गठन के लिए। शिक्षा / -एम।: शिक्षा 2014. -288 पी .3.जी. वी। डोरोफेव, एस बी सुवोरोव, ई। ए बेनोविच और अन्य बीजगणित। ग्रेड 8: सामान्य गठन के लिए अध्ययन। संस्थान / ए 45; ईडी। जी वी। डोरोफेवा; रोस। अकाद। विज्ञान, बढ़ गया। अकाद। शिक्षा, edudva "ज्ञान"। - 5 वीं एड। -म। : ज्ञान, 2010.-288 सी .4.SM: G.V. Dorofeev, i.f. शरागिन, एस बी Savorova। ट्यूटोरियल: बीजगणित। ग्रेड 7: अध्ययन। हम सामान्य गठन हैं। मेट्रीज / -एम।: शिक्षा 2014. -288 पृष्ठ।
एन एल। स्टीफानोव, एन एस दृष्टिकोण। पद्धति और प्रौद्योगिकी सीखने की तकनीक। व्याख्यान का कोर्स: विश्वविद्यालयों के लिए लाभ। -म। : ड्रॉप, 2005. -416 पी 6।
देखें: एन एल। स्टीफानोव, एन एस दृष्टिकोण। पद्धति और प्रौद्योगिकी सीखने की तकनीक। व्याख्यान का कोर्स: विश्वविद्यालयों के लिए लाभ। -म। : ड्रॉप, 2005. -416 पी।
संभाव्यता सिद्धांत पर स्कूलबॉय। Lyticas v.s.
ट्यूटोरियल 8-10 कक्षाओं के छात्रों के लिए वैकल्पिक पाठ्यक्रम द्वारा।
2 एड।, जोड़ें। -म।; शिक्षा, 1 9 83.-127 पी।
उद्देश्य यह मैनुअल- संभावनाओं के सिद्धांत से सबसे प्राथमिक जानकारी बोलें, व्यावहारिक समस्याओं को हल करते समय युवा पाठकों को उन्हें लागू करने के लिए सिखाएं।
प्रारूप: डीजेवीयू / ज़िप।
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विषयसूची
पाठक को शब्द .......................
I. पिछले संभावना सिद्धांत से कुछ ............. 4
द्वितीय। उन पर यादृच्छिक घटनाएं और संचालन ............. 10
1. यादृच्छिक घटना .................... -
2. कई प्राथमिक घटनाएं ............ 12
3. घटनाओं के बीच संबंध ............... -
4. घटनाओं पर संचालन ................. 14
5. घटनाओं का पूरा समूह .................. 21
तृतीय। संयोजन की संख्या गिनने का विज्ञान - संयोजक ... 22
1. सामान्य नियम संयोजक .............. 23।
2. तत्व नमूने ................... 24
3. पुनरावृत्ति के साथ नमूने ................. 28
4. संयोजक ................. 32
Iv। एक घटना की संभावना ..................... 35
वी। संभावनाओं पर संचालन .................. 42
1. असंगत घटनाओं की संभावना ......... -
2. संगत घटनाओं की मात्रा की संभावना .......... 44
3. सशर्त संभावनाएं .................. 46
4. स्वतंत्र घटनाओं के काम की संभावना ....... 48
5. फॉर्मूला पूर्ण संभावना ............... 50
Vi। स्वतंत्र बार-बार परीक्षण .......... 55
1. फॉर्मूला हां। बर्नौली .................. -
2. moavorlowory लैपलेस फॉर्मूला ............... 60
3. फॉर्मूला पोइसन .................... 62
4. लैपलेस फॉर्मूला .................... 65
VII। असतत यादृच्छिक चर और उनकी विशेषताओं .. 68
1. गणितीय उम्मीद ................ 70
2. फैलाव ....................... 76
3. Chebyshev असमानता और बड़ी संख्या के कानून ....... 80
4. Poisson का वितरण ................. 84
आठवीं। निरंतर यादृच्छिक चर और उनकी विशेषताओं। 88।
1. वितरण घनत्व ................ 90
2. गणितीय उम्मीद ................ 93
3. फैलाव ....................... 95
4. सामान्य वितरण ................ -
5. Lyapunov प्रमेय की अवधारणा ............... 98
6. संकेत वितरण .............. 102
Ix। थोड़ा अजीब, लेकिन दिलचस्प .......... 104
1. स्मार्ट सुई (बफन का कार्य) ............... -
2. Chevalle Dever का कार्य ................. 106
3. मेरी टोपी दे दो ................... 108
4. मौसम संबंधी विरोधाभास 110
5. ताकि खरीदार संतुष्ट हों ............. -
6. बेरान का विरोधाभास ................... 111
7. दुर्घटना या प्रणाली? ................. 11
8. अपराध का खुलासा किया गया है ................. 114
9. "लड़ाई" ....................... 115
10. दादा की यात्रा पर .................... 116
संदर्भ ........................ 118
परिशिष्ट ........................... 119।
जवाब ........................... 125