Riešenie problémov vo fyzike alebo mechanike pomocou diferenciálnych rovníc sa v súlade s tým, čo bolo povedané v odseku 1, rozdeľuje do nasledujúcich etáp:

a) zostavenie diferenciálnej rovnice;

b) riešenie tejto rovnice;

c) štúdium získaného riešenia.

1. Stanovte veličiny, ktoré sa menia v danom jave a identifikujte fyzikálne zákony, ktoré ich spájajú.

2. Vyberte nezávislú premennú a funkciu tejto premennej, ktorú chceme nájsť.

3. Na základe podmienok úlohy určte počiatočné alebo okrajové podmienky.

4. Vyjadrite všetky množstvá, ktoré sa vyskytujú v probléme

prostredníctvom nezávislej premennej, požadovanej funkcie a jej derivátov.

5. Na základe podmienok úlohy a fyzikálneho zákona, ktorému tento jav podlieha, vytvorte diferenciálnu rovnicu.

6. Nájdite všeobecné riešenie alebo všeobecný integrál diferenciálnej rovnice.

7. Pomocou počiatočných alebo okrajových podmienok nájdite konkrétne riešenie.

8. Preskúmajte výsledný roztok.

V mnohých prípadoch je zostavenie diferenciálnej rovnice prvého rádu založené na takzvanej „lineárnosti procesu v malom“, t. j. na diferencovateľnosti funkcií vyjadrujúcich závislosť veličín. Spravidla môžeme predpokladať, že všetky veličiny zahrnuté v konkrétnom procese sa menia konštantnou rýchlosťou počas krátkeho časového obdobia. To umožňuje aplikovať zákony známe z fyziky, ktoré opisujú rovnomerne sa vyskytujúce javy, na vytvorenie vzťahu medzi hodnotami, t. j. veličinami zahrnutými v procese, a ich prírastkami. Výsledná rovnosť je len približná, pretože veličiny sa menia aj v krátkom časovom období, všeobecne povedané, nerovnomerne. Ale ak obe strany výslednej rovnosti vydelíme a prejdeme na hranicu, kde má tendenciu k nule, dostaneme presnú rovnosť. Obsahuje čas t, fyzikálne veličiny a ich derivácie, ktoré sa v čase menia, teda ide o diferenciálnu rovnicu, ktorá tento jav popisuje. Rovnakú rovnicu v diferenciálnom tvare možno získať nahradením prírastku diferenciálom a prírastku funkcií zodpovedajúcimi diferenciálmi.

Pri zostavovaní diferenciálnej rovnice teda robíme akúsi „snímku“ procesu

v danom okamihu a pri riešení rovnice pomocou týchto okamžitých snímok obnovíme priebeh procesu. Základom riešenia fyzikálnych problémov pomocou diferenciálnych rovníc je teda všeobecná myšlienka linearizácie - nahradenie funkcií v malých intervaloch zmeny argumentu lineárnymi funkciami. A hoci existujú procesy (napríklad Brownov pohyb), pre ktoré je linearizácia nemožná, pretože v danom čase neexistuje rýchlosť zmeny určitých veličín, v drvivej väčšine prípadov metóda diferenciálnych rovníc funguje bezchybne.

Príklad 1. Na dne valcovej nádoby naplnenej vodou s výškou H a polomerom základne R je vytvorený malý otvor v oblasti 5 (obr. 2). Za aký čas vytečie všetka voda cez otvor, ak vytečie tretina vody?

Riešenie. Ak by prúdenie vody prebiehalo rovnomerne, riešenie problému by nepredstavovalo žiadne ťažkosti - všetka voda by vytiekla za 3 s. Pozorovania však ukazujú, že najprv voda rýchlo vyteká a keď hladina vody v nádobe klesá, rýchlosť jej prúdenia klesá. Preto je potrebné vziať do úvahy vzťah medzi rýchlosťou výtoku v a výškou h stĺpca kvapaliny nad otvorom. Pokusy talianskeho fyzika Torricelliho ukázali, že rýchlosť v je približne vyjadrená vzorcom, kde g je gravitačné zrýchlenie a k je „bezrozmerný“ koeficient v závislosti od viskozity kvapaliny a tvaru otvoru (napr. napríklad pre vodu v puzdre okrúhly otvor.

Urobme si „snímku“ procesu prúdenia v určitom časovom období Nech je na začiatku tohto intervalu výška kvapaliny nad otvorom rovná , a na jeho konci sa zmenšila a stala sa , kde je „. prírastok“ výšky (ktorá je samozrejme záporná). Potom sa objem kvapaliny vytekajúcej z nádoby rovná objemu valca s výškou a plochou základne, t.j.

Táto kvapalina sa vyliala vo forme valcového prúdu so základnou plochou S. Jej výška sa rovná dráhe, ktorú prejde kvapalina vytekajúca z nádoby za určitý čas. Na začiatku tohto časového obdobia sa rýchlosť odtoku rovnala Torricelliho zákonu a na konci sa rovnala .

Ak je veľmi malý, potom je tiež veľmi malý, a preto sú výsledné výrazy pre rýchlosť takmer rovnaké. Preto dráhu, ktorú kvapalina prejde za určitý čas, vyjadruje vzorec

Kde . To znamená, že objem kvapaliny rozliaty za určité obdobie sa vypočíta podľa vzorca

Získali sme dva výrazy pre objem kvapaliny vytečenej z nádoby za určité časové obdobie

Nevýhodou rovnice (1) je, že nepoznáme výraz pre a. Aby sme odstránili túto nevýhodu, vydelíme obe strany rovnice (1) a posunieme sa k limitu v bode Keďže dostaneme diferenciálnu rovnicu

Fyzici zvyčajne hovoria stručnejšie. Študujú proces počas „nekonečne malého časového obdobia a veria, že v priebehu času sa rýchlosť toku kvapaliny z nádoby nemení. Preto namiesto približnej rovnice (1) získajú presnú rovnicu

čo nie je nič iné ako diferenciálny tvar rovnice (2).

Na vyriešenie výslednej rovnice oddelíme premenné a pre stručnosť označíme zlomok A. Integráciou oboch strán výslednej rovnice dostaneme odpoveď v tvare

Získali sme vzťah medzi t a , ktorý zahŕňa dve konštanty A a C. Konštanta A závisí od veľkosti a tvaru otvoru, viskozity kvapaliny a iných

fyzikálnych parametrov, a konštanta C vznikla pri riešení úlohy. Ich hodnoty sú nám neznáme, ale možno ich nájsť s prihliadnutím na podmienky problému, ktoré ešte neboli použité.

Najprv nájdime hodnotu C. Na to použijeme počiatočné podmienky. Podľa podmienok problému bola na začiatku odtoku nádoba naplnená, t.j. výška stĺpca kvapaliny bola rovná . Inými slovami, keď máme: . Dosadením hodnôt do vzorca (3) dostaneme: a preto rovnosť (3) môžeme prepísať do tvaru

Ak chcete zistiť hodnotu A, nezabudnite, že v prvej minúte vytiekla tretina celkovej kvapaliny. To zodpovedá zníženiu hladiny kvapaliny o . Inými slovami, keď máme: . Odtiaľ to nájdeme

Teraz je ľahké nájsť čas na vyprázdnenie nádoby: musíme nájsť hodnotu t, pri ktorej:

Výsledná hodnota je krát väčšia ako hodnota získaná za predpokladu, že kvapalina vyteká rovnomerne.

Samozrejme, toto riešenie nie je bezchybne presné – zanedbali sme napríklad javy

vzlínavosť (a sú významné, ak je priemer otvoru malý), turbulencia kvapaliny, takzvaná hraničná vrstva (vrstva kvapaliny pri stenách otvoru, pri ktorej sa hodnoty rýchlosti pohybujú od nuly až u) a mnoho ďalších faktorov. Ale stále je presnejšie ako riešenie založené na predpoklade rovnomerného prúdenia tekutiny.

Nakoniec preskúmame výsledné riešenie. Aby sme to dosiahli, dosadíme hodnotu do rovnosti (4), nájdeme ju a získame

Je zrejmé, že čím väčšie sú hodnoty R a H (rozmery nádoby), tým dlhšie z nej bude vytekať kvapalina, ako vyplýva z prijatej odpovede. Ďalej, čím väčšie S, t.j. plocha otvoru, tým rýchlejšie bude kvapalina vytekať z nádoby. Zvýšenie zrýchlenia g, ako aj koeficientu k, pôsobí v rovnakom smere (čím viac k, tým viac väčšiu rýchlosť prietok kvapaliny podľa Bernoulliho vzorca).

Výsledný vzorec teda prešiel „testom zdravého rozumu“. Treba ešte otestovať veľkosť. Všimnite si, že v Bernoulliho vzorci je koeficient k bezrozmerný, a preto máme:

Vykonaná kontrola potvrdzuje, že problém bol vyriešený správne.

V mnohých prípadoch je zostavenie diferenciálnej rovnice podľa podmienok problému uľahčené skutočnosťou, že príslušný fyzikálny zákon spája hodnoty určitej veličiny a rýchlosť jej zmeny alebo spája hodnoty veličina, rýchlosť jej zmeny a vzájomného zrýchlenia.

Príklad 2. Parašutista padá pod vplyvom gravitácie. Nájdime zákon na zmenu výšky parašutistu nad zemským povrchom, ak odpor vzduchu je úmerný rýchlosti jeho pádu a na začiatku pádu bol vo výške H a bol v pokoji.

Riešenie. Podľa druhého Newtonovho zákona máme: . Ak zvolíte smer súradnicovej osi, ako je znázornené na obrázku 3, potom (sila gravitácie je nasmerovaná v zápornom smere a sila odporu vzduchu v smere opačnom k ​​rýchlosti pádu). Rovnosť má preto tvar: Keďže zrýchlenie je deriváciou rýchlosti, dostaneme diferenciálnu rovnicu, t.j.

Počiatočná podmienka má tvar: (počiatočná rýchlosť pádu je nula).

Oddelením premenných v rovnici (5) a integráciou dostaneme:

Odkedy máme: , potom a preto

Odtiaľto nájdeme:

Získali sme zákon zmeny rýchlosti v čase. Nájdime teraz zákon zmeny výšky A parašutistu. Aby sme to dosiahli, všimneme si, že , a preto získame diferenciálnu rovnicu

Z toho vyplýva, že

Podľa podmienok máme: . Nahradením týchto hodnôt do (8) dostaneme to a preto

Pre malé hodnoty t máme:

Ponechaním iba prvých dvoch členov dostaneme zo vzorca (7), že To ukazuje, že na začiatku pádu sa výsadkár pohybuje takmer rovnomerne zrýchleným tempom. V budúcnosti sa však vplyv odporu vzduchu prejaví a máme: preto má tendenciu . Inými slovami, pohyb sa stáva takmer rovnomerným s rýchlosťou smerujúcou nadol. Táto rýchlosť je úmerná sile gravitácie pôsobiacej na parašutistu a nepriamo úmerná

koeficient k, ukazujúci silu odporu vzduchu.

Zo vzorca (9) sa dá približne zistiť čas, za ktorý parašutista spadne na zemský povrch. Aby sme to urobili, berieme do úvahy, že napíšeme približnú rovnosť pomocou vzorca (9) Z nej zistíme, že Všimnite si, že člen sa rovná času, ktorý by parašutistovi trval pád konštantnou rýchlosťou, a sčítaniu. došlo, pretože spočiatku bol pád pomalší.

Metodika zostavovania a riešenia aplikovaných úloh teórie obyčajných diferenciálnych rovníc

Zostavenie diferenciálnej rovnice podľa podmienok problému (mechanických, fyzikálnych, chemických alebo technických) spočíva v určení matematického vzťahu medzi premennými veličinami a ich prírastkami.

V mnohých prípadoch sa diferenciálna rovnica získa bez zohľadnenia prírastkov - kvôli ich predbežnému zváženiu. Napríklad pri vyjadrení rýchlosti výrazom nezahŕňame prírastky ∆s a ∆t, hoci sa v skutočnosti berú do úvahy, pretože

.

Zrýchlenie v určitom okamihu t vyjadrené závislosťou:

.

Pri skladaní diferenciálnych rovníc sú prírastky okamžite nahradené príslušnými diferenciálmi. Štúdium akéhokoľvek procesu spočíva v:

1) určiť jeho jednotlivé momenty;

2) stanoviť všeobecný zákon o jeho pokroku.

Samostatný moment procesu (tzv. elementárny proces) vyjadruje rovnica spájajúca premenné veličiny procesu s ich diferenciálmi alebo deriváciami - diferenciálna rovnica; zákon všeobecného priebehu procesu vyjadruje rovnica spájajúca premenlivé veličiny procesu, avšak bez diferenciálov týchto veličín.

Neexistujú žiadne komplexné pravidlá na zostavovanie diferenciálnych rovníc. Vo väčšine prípadov sa technika riešenia technických problémov pomocou teórie obyčajných diferenciálnych rovníc znižuje takto:

1. Podrobná analýza podmienok problému a vypracovanie výkresu vysvetľujúceho jeho podstatu.

2. Zostavenie diferenciálnej rovnice pre uvažovaný proces.

3.Integrácia zostavenej diferenciálnej rovnice a určenie všeobecného riešenia tejto rovnice.

4. Určenie konkrétneho riešenia úlohy na základe daných počiatočných podmienok.

5. V prípade potreby stanovenie pomocnej pary
metrov (napríklad koeficient proporcionality atď.),
na tento účel použite dodatočné podmienky problému.

6. Odvodenie všeobecného zákona posudzovaného procesu a počtu
skvelá definícia hľadanej veľkosti.

7. Analýza odpovede a overenie východiskovej polohy problému.
Niektoré z týchto odporúčaní v závislosti od povahy
úlohy môžu chýbať.

Rovnako ako pri skladaní algebraických rovníc, riešenie aplikovaných problémov s diferenciálnymi rovnicami do značnej miery závisí od zručností získaných cvičením. To si však vyžaduje ešte väčšiu vynaliezavosť a hlboké pochopenie podstaty skúmaných procesov.

Pozrime sa na proces riešenia nasledujúcich problémov:

Úloha 3.1.

Teplota chleba vybratého z rúry na 20 minút. klesne zo 100 0 na 60 0 (obr. 3.1). Teplota vzduchu je 25 0. Ako dlho po začiatku chladenia klesne teplota chleba na 30 0?

Riešenie:

Podľa Newtonovho zákona je rýchlosť ochladzovania telesa úmerná rozdielu telesnej teploty a životné prostredie. Ide o nerovnomerný proces. Keď sa počas procesu mení teplotný rozdiel, mení sa aj rýchlosť ochladzovania tela. Diferenciálna rovnica pre chladenie chleba bude:

kde T je teplota chleba;

t – teplota okolitého vzduchu (v našom prípade 25 0);

k – koeficient proporcionality;

Rýchlosť chladenia chleba.

Nech je čas chladenia.

Potom oddelením premenných dostaneme:

alebo pre podmienky tohto problému:

Vidím to

integráciou dostaneme:

Zosilnenie oboch strán poslednej rovnosti, máme:

potom konečne

Určíme ľubovoľnú konštantu C na základe počiatočnej podmienky: pri min, T = 100 o.

alebo C=75.

Hodnota je určená na základe daného dodatočná podmienka: pri min, T = 60 o.

Dostaneme:

A .

Takže rovnica pre chladenie chleba v podmienkach nášho problému bude mať tvar:

. (2)

Z rovnice (2) jednoducho určíme potrebný čas pri teplote chleba T = 30 o:

Alebo.

Nakoniec nájdeme:

min.

Takže po 1 hodine 11 minútach. Chlieb sa ochladí na teplotu 30 o C.

Problém 3.2. Hlavné potrubie vykurovania (priemer 20 cm) je chránené izoláciou s hrúbkou 10 cm; súčiniteľ tepelnej vodivosti k=1,00017. Teplota potrubia 160o; teplota vonkajšieho krytu je 30° (obr. 8). Nájdite teplotné rozloženie vo vnútri izolácie, ako aj množstvo tepla, ktoré izoluje lineárny meter potrubia.

Riešenie. Ak je teleso v stacionárnom tepelnom stave a teplota T v každom bode je funkciou iba jednej súradnice x, potom podľa Fourierovho zákona tepelnej vodivosti je množstvo tepla emitovaného za sekundu.

Diferenciál nazývaná rovnica, ktorá súvisí s argumentom X, požadovaná funkcia pri a jeho deriváty pri’ ,y” , ...,y (n) rôznych objednávok. Vo všeobecnosti možno diferenciálnu rovnicu napísať:

F (x, y, y’ ,y” , ...,y (n) ) = 0 .

Poradie diferenciálnej rovnice je určené najvyšším rádom jej derivácie.

Príkladom diferenciálnej rovnice je druhý Newtonov zákon, ktorý určuje silu F ako produkt telesnej hmoty m na zrýchlenie získané pod vplyvom sily a: F = ma.

Vzhľadom na to, že zrýchlenie je prvou deriváciou rýchlosti v, Napíšme druhý Newtonov zákon vo forme diferenciálnej rovnice prvého rádu:

Alebo, keďže zrýchlenie je druhá derivácia cesty S tento zákon možno znázorniť ako diferenciálnu rovnicu druhého rádu:

Ak je známy špecifický charakter pôsobiacej sily, potom riešením rovnice (2) určíme typ pohybu, t.j. tento prípad cesta závisí od času: S = f(t).

Rozhodnutím diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá mení túto rovnicu na identitu.

Príklad. Vyriešte rovnicu: pri’ - x = 0(3)

Prepíšme pôvodnú rovnicu takto:

(4)

V rovnici (4) sa uskutočňuje separácia premenných spočívajúca v tom, že požadovaná funkcia a jej diferenciál sú umiestnené v jednej časti rovnice a argument a jej diferenciál sú umiestnené v druhej časti.

Na získanie riešenia je potrebné zbaviť sa diferenciálov v rovnici (4), preto integrujeme jej ľavú a pravú stranu:

(5)

Pri hľadaní neurčitých integrálov sa objavujú ľubovoľné konštanty S 1 A S 2 . Mali by sa spojiť do jednej konštanty S. Nakoniec:

Vzorec (6) je všeobecným riešením diferenciálnej rovnice (3), ktorý obsahuje toľko derivácií konštánt, ako je rád diferenciálnej rovnice.

Je ľahké dokázať, že funkcia (6) je skutočne riešením rovnice (3), pretože jej substitúcia v rovnici (3) ju zmení na identitu.

Svojvoľná konštanta S možno určiť, ak sa spolu s pôvodnou diferenciálnou rovnicou uvedú aj nejaké ďalšie informácie – sú tzv počiatočné podmienky.

Napríklad: kedy x = 0y = 1. Táto počiatočná podmienka, keď ju dosadíme do všeobecného riešenia (6), nám umožňuje nájsť konštantu S:

1 = 0+ CC = 1.

Potom zo všeobecného riešenia (6) pre danú počiatočnú podmienku dostaneme konkrétne riešenie rovnice (3), ktoré neobsahuje ľubovoľnú konštantu:

2. Etapy riešenia úloh pri použití diferenciálnych rovníc

Diferenciálne rovnice- matematický aparát, ktorý umožňuje riešiť nielen čisto matematické alebo fyzikálne problémy, ale aj kvantitatívne opísať najrôznejšie procesy (medicínsko-biologické, ekonomické, sociálne atď.). Napriek rôznorodosti uvažovaných javov, použitie aparátu diferenciálnych rovníc na ich štúdium musí prebiehať v určitej všeobecnej logickej postupnosti.

2.1. Zostavenie diferenciálnej rovnice. Táto fáza je najťažšia a najzodpovednejšia. Tu je potrebné vziať do úvahy všetky faktory, ktoré ovplyvňujú priebeh skúmaného procesu, možno urobiť nejaké predpoklady a určiť počiatočné podmienky. V tomto prípade musí výskumník vychádzať z pevne stanovených experimentálnych faktov alebo logických predpokladov. Napríklad pri vytváraní matematických modelov srdca bude ich praktická užitočnosť (získanie nových informácií na zlepšenie diagnostiky srdcovo-cievnych ochorení a zvýšenie účinnosti ich liečby) určená úplnosťou a správnosťou matematického účtovania fyziologických údajov a klinických prax.

2.2. Riešenie rovnice. Túto fázu možno považovať za jednoduchšiu ako prvú, pretože zahŕňa vykonávanie čisto matematických operácií. Ak nie je možné získať riešenie diferenciálnej rovnice v analytickej forme, možno ju vyriešiť výpočtom pomocou modernej počítačovej techniky.

2.3. Vyhodnotenie a analýza výsledku. Po vyriešení diferenciálnej rovnice (alebo sústavy rovníc) je potrebné vyhodnotiť teoretickú a praktickú užitočnosť získaných výsledkov – či sa v priebehu napr. fyziologických procesov nevytvorili nové vzorce; Bol kvantifikovaný vplyv vybraných faktorov napríklad na stupeň rozvoja a povahu patológie atď.?

Okrem toho by sa získané výsledky mali porovnať s existujúcimi zistenými skutočnosťami. Ak z matematického popisu fyziologického procesu vyplýva neočakávaná a predtým neznáma informácia, môže to znamenať: 1) skutočne sa zistil nový jav, ktorý môže byť následne potvrdený experimentálnym výskumom; 2) získaný výsledok vznikol v dôsledku skutočnosti, že v štádiu zostavovania diferenciálnej rovnice neboli zohľadnené všetky potrebné faktory alebo boli urobené príliš hrubé predpoklady.

Mn.: 1973.- 560 s.

Učebnica pre matematické, chemické, biologické, geofyzikálne fakulty vysokých škôl a pedagogických ústavov. Táto príručka na prípravu obyčajných diferenciálnych rovníc, ako aj najjednoduchších rovníc je určená širokému okruhu ľudí, ktorí sa stretávajú s prípravou diferenciálnych rovníc v pedagogickej a priemyselnej práci a praxi. V aplikáciách matematiky v rôznych odvetviach vedy zaujímajú diferenciálne rovnice dôležité miesto. Používanie PC je najefektívnejším a najrozšírenejším prostriedkom na riešenie aplikovaných problémov v prírodných vedách a technike.

Formát: pdf

Veľkosť: 5 MB

Sledujte, sťahujte:yandex.disk

OBSAH
Predslov ". I 3
KAPITOLA I. ZÁKLADNÉ POJMY TEÓRIE DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC 5
§ 1. Diferenciálne rovnice 5
§ 2. Klasifikácia diferenciálnych rovníc. 5
§ 3. Všeobecná skupina riešení, partikulárne a špeciálne riešenia 6
§ 4. Elementárne diferenciálne rovnice 7.
§ 5. Výber individuálne riešenia 8
§ 6. Konštrukcia riešenia vo forme mocninný rad 10
§ 7. Metóda postupných aproximácií A
§ 8. Pokračovanie riešení 12
KAPITOLA II. ZOSTAVENIE DIFERENČNÝCH ROVNIC PODĽA PODMIENOK APLIKOVANÝCH PROBLÉMOV
§ 1. Všeobecné zásady.. tz
§ 2. Metodika zostavovania diferenciálnych rovníc 13
§ 3. Schéma na zostavenie diferenciálnej rovnice 15
KAPITOLA III. PROBLÉMY VEDÚCE K PRVÝM OBJEDNÁVKAM RIEŠENÉ DIFERENCIÁLNE ROVNICE S OHĽADOM NA DERIVÁT
§ 1. Príťažlivosť medzi tyčou a hmotným bodom.......^B"
§ 2. Pohyb telies s konštantnou hmotnosťou 18
§ 3. Pohyb telies s premenlivou hmotnosťou (bez zohľadnenia vonkajších síl) ..... 26
§ 4. Napnutie elastickej nite.. 30
§ 5. Práca pri vyprázdňovaní nádob 34
§ 6. Zmena jasu svetla v sklenenej doske....... 35
§ 7. Vyhrievanie tela 37
§ 8. Zmeny skupenstva plynov v nádobách 40
KAPITOLA IV. PROBLÉMY VEDÚCE K DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM S ODDELENÝMI PREMENNÝMI
§ 1. Chladenie telies, 43
§ 2. Vyhrievanie telies. 46
§ 3. Rozloženie teploty vo vnútri karosérií, 48
§ 4. Nosník s rovnakým napätím 51
§ 5. Tlak obilia na steny skladu. 53
§ 6. Barometrický vzorec a hlboký tlak. 55
§ 7. Priamočiary horizontálny pohyb.....“? 58
§ 8. Vertikálny pohyb tel 65
§ 9. Pád telies s premenlivou hmotnosťou. . ,SI
§ 10. Krivočiary pohyb (prenasledovacia krivka) 83
§ 11. Rotácia telies v kvapaline. 86
§ 12. Zákon univerzálna gravitácia 88
§ 13. Rádioaktívny rozpad., 94
§ 14. Elektrické náboje 95
§ 15. Povrch frézy,.. 99
§ 16. Trenie remeňového pohonu,.., 101
§ 17. Prúdenie kvapaliny z nádob 103
§ 18. Plnenie nádob... 108
§ 19. Stanovenie hladiny v spojovacích nádobách.. 108
§ 20. Krivka depresie “,.,.. ON
§ 21. Vyčerpanie roztoku...... s .. 112
§ 22. Rozpúšťanie pevných látok z
§ 23. Vetranie výrobné priestory. . . , . , . 119
§ 24. Zmesi plynov. . 120
§ 25. Ionizácia plynov. 121
§ 26. Chemické reakcie 122
§ 27. Populačný rast 133
§ 28 Rastové procesy v prírode a produkcia 142
§ 29. Ekológia populácií 150
§ 30. Hustota mravcov mimo mraveniska. . . . * , . . 157
§ 31. Nárast peňažných vkladov 161
KAPITOLA V. PROBLÉMY VEDÚCE K HOMOGÉNNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM PRVÉHO RÁDU,
§ 1. Izogonálne trajektórie. TBZ
§ 2. Geometrické aplikácie. 165
§ 3. Zrkadlo zaostrujúce paralelné lúče. 170
§ 4. Dráhy letu lietadiel 171
KAPITOLA VI. PROBLÉMY VEDÚCE K DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM V ÚPLNÝCH DIFERENCIÁCH
§ 1. Parabolické zrkadlo 180
§ 2. Koncentrácia látky v kvapaline 182
KAPITOLA VII. PROBLÉMY VEDÚCE K LINEÁRNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM PRVÉHO RADU
§ 1. Geometrické aplikácie
§ 2. Návrh vecného bodu 188
§ 3. Teplota chladiaceho telesa
§ 4. Ohrev telesa pri stacionárnom toku tepla
§ 5. Elektrické obvody
§ 6. Racionalizačné návrhy
§ 7. Práca srdca
§ 8. Problém cigariet.
KAPITOLA VIII. PROBLÉMY VEDÚCE K ŠPECIÁLNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM PRVÉHO RADU (ROVNICE BERNOULLIHO, RICCATIHO, LAGRANGEA A CLERAUA)
§ 1. Bernoulliho rovnica
§ 2. Riccatiho rovnica
| 3. Lagrangeova rovnica
§ 4. Clairautova rovnica
KAPITOLA IX. PROBLÉMY VEDÚCE K DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM DRUHÉHO RADU RIEŠENÉ S OHĽADOM NA DRUHÝ DERIVÁT (y"=c)
§ I. Kĺzanie telesa pod uhlom!
§ 2. Pohyb vo vodorovnej rovine s odporom úmerným gravitácii 220
§ 3. Vyhadzovanie nahor (bez zohľadnenia trenia) 231
§ 4. Rozloženie tepla v tyči 231
§ 5. Vzdialenosť medzi nosníkmi železničných mostov. . . ... 233
KAPITOLA X. PROBLÉMY VEDÚCE K NEÚPLNEJ DIFERENCIÁLNEJ ROVNICI DRUHÉHO RADU C 236^
I. Rovnice ako y"=f(x)
§ 1. Prechodový oblúk železničnej trate 237
§ 2. Priamočiary pohyb hmotného bodu vo vodorovnej rovine 230
§ 3. Pružná línia trámov 242
II. Rovnice ako „/“=/((“/)
§“ 4. Geometrické aplikácie 255
§ 5. Pohyb hmotného bodu vplyvom gravitácie. 256
III. Rovnice ako y"=f(y")
§ 6. Určenie oblúka polomerom zakrivenia 257
§ 7 Horizontálny pohyb telesa za prítomnosti trenia 259
§ 8. Pohyb vo vertikálnej rovine 274
§ 9. Rovnováha ťažkej nite 280
§ 10. Pružná sila rovnakého odporu 283
IV. Rovnice ako y"=f(x,y")
§ II. Krivka a polomer zakrivenia 285
V. Rovnice typu y"-f(y, y")
§ 12. Nájdenie rovnice krivky pomocou normály a polomeru krivosti. . . 286
KAPITOLA XI. PROBLÉMY VEDÚCE K LINEÁRNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM DRUHÉHO RADU S KONŠTANTNÝMI KOEFICIENTMI 288\
I. Neúplné lineárne diferenciálne rovnice
§ I. Harmonické vibrácie 296
§ 2. Pohyb tela bez trenia 307
§ 3. Diferenčný tlakomer 312
§ 4. Rozloženie tepla v tyčiach 313
§ 5. Pozdĺžne ohýbanie rovnej tyče 320
§ 6. Pohyb gule v trubici (Ampérov problém) 328
II. Lineárne diferenciálne rovnice
§ 7. Tlmené kmity 330
§ 8. Tlmené kmity v elektrickom obvode 335
§ 9. Kmity magnetickej strelky bez a s tlmičom 3
§ 10. Nútené kmity mechanické systémy 350
KAPITOLA XII. PROBLÉMY VEDÚCE K DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM DRUHÉHO RADU S RACIONÁLNYMI KOEFICIENTMI 363
I. Eulerova rovnica ^*-^
§ 1. Rozloženie teplôt v pozdĺžnom okraji parabolického úseku 303
II. Lineárna homogénna rovnica s racionálnymi koeficientmi
§ 2. Hrubostenný valcový plášť pod tlakom (Lamého problém). . 366
III. Lineárna nehomogénna rovnica s pomerom a koeficientmi
§ 3. Prietok kvapaliny v potrubí Ya74
§ 4. Ohýbanie okrúhleho taniera, 970
KAPITOLA XIII. ÚLOHY. VEDÚCE K ŠPECIÁLNYM LINEÁRNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM DRUHÉHO RADU S VARIABILNÝMI KOEFICIENTMI (BESSELOVY, LEGENDRE A MATHIEU ROVNICE) Г 385 ^
I. Besselova rovnica
§ 1. Stabilita tyče v tvare zrezaného kužeľa stlačená pozdĺžnou silou 390
§ 2. Stabilita valcovej tyče pod vlastnou hmotnosťou 392
§ 3. Stabilita otáčania pružného závitu 395
§ 4. Rozloženie teploty v prstencovom rebre pravouhlého profilu 398
P. Zovšeobecnená Besselova rovnica
§ 5. Kyvadlo premenlivej dĺžky 400
§ 6. Stabilita tyče premenlivého prierezu pri pôsobení premenlivého rozloženého zaťaženia 402
III. Parciálne diferenciálne rovnice
§ 7. Vibrácie okrúhlej blany 405
IV. Legendreho rovnica
§ 8. Elektrický potenciál dva ekvivalentné poplatky 413
§ 9. Parciálna diferenciálna rovnica potenciálu. . . 415
§ 10 Potenciál prilákania más 417
rovnica V. Mathieua
§ jedenásty. Dynamická stabilita tyč pod pôsobením variabilnej_nepretržitej sily 424
KAPITOLA XIV. PROBLÉMY VEDÚCE K SYSTÉMOM LINEÁRNYCH DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC PRVÉHO RADU (436
§ 1. Rozklad hmoty
§ 2. Relatívna krivka prenasledovania (442
§ 3. Tlak v sústave dvoch spojených fliaš s plynom 445
§ 4. Napätý stav disku pri pôsobení odstredivých síl. . . 447
§ 5. Premena jednej látky na druhú 453
KAPITOLA XV. PROBLÉMY VEDÚCE K NEKOMPLETNÝM DIFERENCIÁLNYM ROVNICÁM VYŠŠIEHO PORIADKU
§ 1. Priehybová čiara spojitého nosníka od rozloženého zaťaženia. . . TZv
KAPITOLA XVI. ÚLOHY. VEDÚCE K LINEÁRNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM TRETIEHO RADU S KONŠTANTNÝMI KOEFICIENTMI (463)
§ 1. Parný motor s regulátorom ^4W
KAPITOLA XVII. PROBLÉMY VEDÚCE K LINEÁRNYM HOMOGÉNNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM VYŠŠIEHO PORIADKU S KONŠTANTNÝMI KOEFICIENTMI
§ 1. Vibrácie hriadeľa pôsobením odstredivých síl, ^~?72
§ 2. Nosník (železničná koľajnica) na elastickom základe 477
§ 3. Vibrácie homogénneho lúča (redukcia parciálnej diferenciálnej rovnice na obyčajnú). . . 482
KAPITOLA XVIII. PROBLÉMY VEDÚCE K LINEÁRNYM NEHOMOGÉNNYM DIFERENCIÁLNYM ROVNICIAM ŠTVRTÉHO RADU S KONŠTANTNÝMI KOEFICIENTMI 485
§ I. Deformácia steny valcová nádrž 487
§ 2. Železničný podval 490
KAPITOLA XIX. ÚLOHY. VEDÚCE K SYSTÉMOM DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC DRUHÉHO RADU 495
§ 1. Pohyb hmotného bodu vplyvom odpudivej sily úmerný vzdialenosti * 497
§ 2. Vymrštenie telesa pod uhlom 500
§ 3. Vypustenie nákladu z lietadla do daného bodu 503
§ 4. Pohyb planét 504
§ 5. Sústava dvoch spojených elektrické obvody 509
§ 6. Zmena potenciálu elektrického vedenia v čase (privedenie sústavy parciálnych diferenciálnych rovníc do sústavy obyčajných rovníc) 513
§ 7. Stacionárne lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi v teórii systémov modernej techniky a prírodných vied. . 519
PROBLÉMY PRE NEZÁVISLÉ RIEŠENIE 529
I. Diferenciálne rovnice prvého rádu.... 529
II. Diferenciálne rovnice druhého rádu... 545
III. Sústavy diferenciálnych rovníc prvého rádu. . . . 555
IV. Systémy diferenciálnych rovníc druhého rádu. 557

PREDSLOV
V aplikáciách matematiky na rôznych priemyselných odvetví vo vede zaujímajú diferenciálne rovnice dôležité miesto. Využitie IR je najefektívnejším a najrozšírenejším prostriedkom riešenia aplikovaných problémov v prírodných vedách a technike. Mnoho reálnych procesov je popísaných jednoducho a úplne pomocou diferenciálnych rovníc. Pozornosť, ktorú SI venuje problematike zostavovania diferenciálnych rovníc, je preto celkom pochopiteľná.
Početné a rôznorodé aplikácie teórie obyčajných diferenciálnych rovníc si však vyžadujú predovšetkým znalosť príslušných teoretických ustanovení a zákonov prírodných vied, techniky a iných odvetví, ktoré sa zvyčajne študujú po diferenciálnych rovniciach. Z tohto dôvodu sa v priebehu diferenciálnych rovníc stále nevenuje dostatočná pozornosť riešeniu praktických úloh o zložení. Tí, ktorí tento kurz absolvovali, nemajú dostatočné zručnosti v riešení problémov, ktoré prináša život a výroba. Okrem toho sa v učebniciach a učebných pomôckach otázky o zostavovaní diferenciálnych rovníc zvyčajne obmedzujú na elementárne úlohy geometrického alebo kinematického typu. Preto je vhodné vrátiť sa k zostavovaniu diferenciálnych rovníc pri prezentácii špeciálnych disciplín, ako aj v procese praktickej či výskumnej práce.
Cieľom autora je tvoriť učebná pomôcka, ktorý by široko pokrýval rôzne problémy prírodných vied a techniky a prispel k zvládnutiu moderných metód zostavovania diferenciálnych rovníc pre aplikované problémy vznikajúce v procese výroby alebo vedeckej činnosti.
Charakteristickým znakom zvládnutia zručností skladania diferenciálnych rovníc je štúdium početných príkladov. V tomto ohľade je tu podstatná úplnosť prezentácie.
Kniha obsahuje 325 úloh na zostavovanie diferenciálnych rovníc, z ktorých 194 úloh je podrobne rozobratých.
Uvažované problémy sú klasifikované podľa ich matematickej povahy: opísané obyčajnými diferenciálnymi rovnicami prvého, druhého, tretieho a štvrtého rádu, sústavami týchto rovníc prvého a druhého rádu, ako aj parciálnymi diferenciálnymi rovnicami, ktoré je možné redukovať na obyčajné diferenciálne rovnice. .
Na samostatné riešenie bolo vybraných 131 problémov, z ktorých väčšina je podobná diskutovaným a sú opatrené odpoveďami a tie zložitejšie so stručným vysvetlením riešenia.
Učebnica je určená pre študentov všetkých odborov matematických, fyzikálnych, mechanických, chemických, biologických, geofyzikálnych, ekonomických fakúlt vysokých škôl. pedagogické ústavy, ako aj vysoké školy technického vzdelávania.
Kniha je určená širokému okruhu čitateľov, ktorí sa s diferenciálnymi rovnicami stretávajú vo vzdelávacej, metodickej, priemyselnej a výskumnej praxi.

Oddeliteľné rovnice

Pojem diferenciálnej rovnice

Rovnica obsahujúca nezávislú premennú x, požadovanú funkciu y=f (x), ako aj jej derivácie y", y" atď. obyčajný diferenciál rovnica. Všeobecná forma Diferenciálnej rovnice:

F (x, y, y", y"",..., y (n)) = 0,(29)

Poradie diferenciálnej rovnice sa nazýva poradie najvyššej derivácie zahrnuté v tejto rovnici.

Napríklad, y"+xy-5=0- rovnica prvého poriadku, y""+6y"+x=0– rovnica druhého rádu.

Všeobecný tvar rovnice prvého poriadku:

F(x, y, y") = 0 , (30)

Všeobecné riešenie diferenciálna rovnica je funkcia, ktorá spĺňa dve podmienky: po prvé, táto funkcia musí spĺňať danú diferenciálnu rovnicu, t.j. keď sa dosadí do rovnice, musí ju zmeniť na identitu; po druhé, množstvo ľubovoľné konštanty v tejto funkcii sa musí rovnať v poriadku tejto rovnice.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice n- objednávka má tvar:

y = f (x, C1, C2, ...., Cn), (31)

a všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice prvého poriadku

y = f (x, C), (32)

Zo všeobecného riešenia výpočtom integračných konštánt na základe daných dodatočných podmienok sa dá zistiť súkromné ​​riešenia tejto rovnice.

Diferenciálne rovnice opisujú rôzne procesy vo fyzike, chémii, biológii, farmácii.

Z rovníc prvého rádu zvážte rovnice s oddeliteľné premenné.

Oddeliteľná rovnica vyzerá ako y"= (x,y), a jeho pravá časť môže byť reprezentovaný ako súčin dvoch jednotlivé funkcie: . Potom

Transformujme túto rovnicu vydelením premenných vpravo a vľavo:

Všeobecný pohľad na separovanú premennú rovnicu

f (y)dy= (x)dx.

Rovnica sa rieši priamou integráciou: zľava cez premennú pri a vpravo premennou X S:

alebo F (y) = Ф (х) + С.

Vyriešením tejto rovnice zistíme:

Algoritmus na riešenie diferenciálnej rovnice so separovateľnými premennými je teda nasledujúci:

a) ak rovnica obsahuje deriváciu, reprezentujte ju v tvare ;

b) transformovať rovnicu, preniesť všetky jej členy obsahujúce pri , V ľavá strana obsahujúce X- doprava;

c) integrovať cez všeobecné pravidláľavá strana argumentu pri a správne - argumentom X s pridaním integračnej konštanty S.

d) vyriešením výslednej rovnice nájdite požadovanú funkciu.

Príklad 16. Nájdite všeobecné riešenie rovnice y" = 2xy a konkrétne riešenie zodpovedajúce stavu

y=2 pri x=0, (33)

Riešenie. Predstavme si derivát y" vo forme pomeru diferenciálov:

Rozdeľme premenné:

Integrujme výslednú rovnicu:

ln y = x + C.

Keďže rovnica zahŕňa lny, potom je vhodnejšie vyjadriť konštantu vo forme logaritmu:

lny=x + lnC

lny- lnС=x

ln =x

Posilnením tejto rovnosti dostaneme:

Preto a pre všeobecné riešenie máme

y = Ce, (34)

Aby sme našli konkrétne riešenie, dosadíme počiatočnú podmienku (33) do (34):

Tie. С=2 a požadované konkrétne riešenie bude mať formu

Problém rýchlosti rozmnožovania baktérií.Rýchlosť rozmnožovania baktérií je úmerná ich počtu. Pôvodne tam bolo 100 baktérií, do troch hodín sa ich počet zdvojnásobil. Nájdite závislosť počtu baktérií od času.

Riešenie. Nech N je počet baktérií v čase t. Potom podľa stavu

Kde k- koeficient proporcionality. Rovnica (36) je separovateľná rovnica a jej riešenie má tvar:

Z počiatočného stavu je známe, že . teda

Z dodatočnej podmienky. Potom

Pre požadovanú funkciu teda dostaneme:

Problémom je zvýšenie množstva enzýmu.V kultúre pivovarských kvasníc je rýchlosť rastu aktívneho enzýmu úmerná jeho počiatočnému množstvu x. Počiatočné množstvo enzýmu sa zdvojnásobilo za hodinu. Nájdite závislosť x(t).

Riešenie. Podľa podmienok úlohy má diferenciálna rovnica procesu tvar

Kde k– koeficient proporcionality. Všeobecné riešenie rovnice (39) (rovnica s oddeliteľnými premennými) má tvar:

Neustále S z počiatočnej podmienky zistíme:

Je tiež známe, že. Prostriedky

Takže konečne máme

3. Účel aktivít žiakov v triede:

Študent musí vedieť:

1. Definície derivácie a diferenciálu funkcie.

2. Fyzikálny a geometrický význam derivácie.

3. Tabuľka derivácií základných elementárnych funkcií.

4. Pravidlá diferenciácie.

5. Analytický a geometrický význam diferenciálu.

6. Pojmy neurčitého a určitého integrálu.

7. Tabuľka základných integrálov.

8. Základné vlastnosti neurčitých a určitých integrálov.

9. Základné metódy integrácie.

10. Definícia obyčajnej diferenciálnej rovnice.

11. Pojem všeobecných a partikulárnych riešení diferenciálnej rovnice.

12. Definícia diferenciálnej rovnice so separovateľnými premennými a algoritmus na jej riešenie.

Študent musí byť schopný:

1.Vypočítajte derivácie a diferenciály funkcií.

2.Použite diferenciál funkcie v približných výpočtoch.

3.Vypočítajte neurčité a určité integrály pomocou rôznych metód.

4. Vypočítajte priemerné hodnoty funkcií, plochy plochých postáv, prácu premenlivej sily.

5. Nájdite riešenia diferenciálnych rovníc so separovateľnými premennými.

Teoretická časť:

1. Problémy vedúce k pojmu derivačná funkcia.

2. Geometrický a fyzikálny význam derivácie.

3. Derivácia komplexnej funkcie.

4.Diferenciálna funkcia. Geometrické a analytické významy diferenciálu.

5.Využitie diferenciálnej funkcie v približných výpočtoch.

6. Primitívna derivácia funkcie. Neurčitý integrál. Základné vlastnosti neurčitého integrálu.

7.Základné metódy integrácie.

8. Problémy vedúce k pojmu určitého integrálu.

9. Newtonov-Leibnizov vzorec. Základné vlastnosti určitého integrálu.

10. Aplikácie určitého integrálu: výpočet plôch rovinných útvarov, výpočet priemerných hodnôt funkcií, výpočet práce premennej sily.

11. Diferenciálne rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými.

Praktická časť:

1. Nájdite derivácie a diferenciály funkcií:

2)y=; 5) y=arccosx;

3) y=e 3x+1; 6) y=;

2. Vyriešte problém:

Určte zrýchlenie bodu v uvedených časoch, ak je rýchlosť bodu pohybujúceho sa priamočiaro daná rovnicami:

a) V = t2 + 2 t, t = 3 s; b) V = 4 sin , t = .

3. Vypočítajte prírastok funkcie zodpovedajúci zmene argumentu z x 1 na x 2 :

1) y = 2 x 3 - 4 x; x 1 = 1; x2 = 1,02;

2) y = 3 x 2 - 2 x; x 1 = 2; x 2 = 2,001;

4.Nájdite integrály pomocou metódy expanzie:

2) ; 4) ;

5. Nájdite integrály pomocou metódy zmeny premennej:

6. Nájdite integrály pomocou metódy integrácie po častiach:

7. Vypočítajte určité integrály pomocou metódy zmeny premennej:

8. Vypočítajte určité integrály pomocou metódy integrácie po častiach:

9. Vypočítajte plochy útvarov ohraničené priamkami:

1) y=x 2 A y = x 3.

2) a y=x.

10. Nájdite priemerné hodnoty funkcií:

1) y=cosx na segmente.

2) na segmente .

11. Vypočítajte prácu vykonanú premennou silou:

1) pri premiestňovaní hmotného bodu pozdĺž osi x z polohy s úsečkou do polohy s úsečkou

3) vzhľadom na to, že: ;

4) vzhľadom na to, že: .

5.Zoznam otázok na kontrolu počiatočnej úrovne vedomostí:

1. Definujte deriváciu funkcie.

2. Formulujte základné pravidlá diferenciácie.

3. Napíšte vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.

4.Aký fyzikálny a geometrický význam má derivácia funkcie?

5. Čo sa nazýva diferenciál funkcie?

6. Aký je geometrický význam diferenciálu funkcie?

7.Uveďte definíciu primitívnej funkcie.

8.Uveďte základné vlastnosti neurčitého integrálu.

9.Napíšte vzorec pre integráciu po častiach.

10.Uveďte geometrickú interpretáciu určitého integrálu.

11. Napíšte Newtonov-Leibnizov vzorec

12.Uveďte definíciu obyčajnej diferenciálnej rovnice.

13.Aký je rozdiel medzi partikulárnym a všeobecným riešením diferenciálnej rovnice?

6. Zoznam otázok na kontrolu konečnej úrovne vedomostí:

1. Aký je fyzikálny význam derivátu druhého rádu?

2. Aký je analytický význam diferenciálu?

3. Ako sa diferenciál používa na výpočet chýb?

4.Aké dva hlavné problémy spojené s fyzikálnou a geometrickou interpretáciou derivácie sa riešia pomocou integrácie?

5. Ako skontrolovať správnosť nájdenia neurčitého integrálu?

6. Je možné skontrolovať výsledok výpočtu určitého integrálu deriváciou?

7.Čo je základom použitia určitého integrálu na výpočet plôch rovinných útvarov?

9.Uveďte postupnosť riešenia diferenciálnej rovnice prvého rádu so separovateľnými premennými.

7. Chronocard školenia:

1. Organizovanie času- 5 minút.

2. Rozbor témy – 30 min.

3. Riešenie príkladov a úloh - 60 min.

4. Kontrola aktuálnych vedomostí -35 min.

5. Zhrnutie hodiny – 5 min.

8. Zoznam náučnej literatúry na lekciu:

1. Morozov Yu.V. Základy vyššia matematika a štatistiky. M., “Medicína”, 2004, §§ 2.1-2.7, 2.10-2.16, 5.1-5.4, 6.1-6.7, 7.1, 7.2.

2. Pavlushkov I.V. a iné Základy vyššej matematiky a matematickej štatistiky. M., "GEOTAR-Media", 2006, §§ 2.1, 2.2, 4.1, 4.2, 5.1-5.6, 6.1-6.3.