Klasse: 11

Dauer: 2 Lektionen.

Der Zweck der Lektion:

• (für Lehrer) Bildung eines ganzheitlichen Verständnisses der Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen bei den Studierenden.
• (für Studierende) Entwicklung der Fähigkeit, mathematische Situationen zu beobachten, zu vergleichen, zu verallgemeinern und zu analysieren (Folie 2). Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen.

Erster Unterrichtsplan(Folie 3)

1. Wissen aktualisieren
2. Analyse der Theorie: Eine Gleichung gerade potenzieren
3. Workshop zum Lösen von Gleichungen

Zweiter Unterrichtsplan

1. Differenziertes selbstständiges Arbeiten in Gruppen „Irrationale Gleichungen im Einheitlichen Staatsexamen“
2. Zusammenfassung der Lektionen
3. Hausaufgaben

Fortschritt des Unterrichts

I. Wissen aktualisieren

Ziel: Wiederholen Sie die Konzepte, die für die erfolgreiche Bewältigung des Unterrichtsthemas erforderlich sind.

Frontalvermessung.

– Welche beiden Gleichungen heißen äquivalent?

– Welche Transformationen einer Gleichung heißen äquivalent?

– Ersetzen Sie diese Gleichung durch eine äquivalente mit einer Erläuterung der angewendeten Transformation: (Folie 4)

a) x+ 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; d) = -4.

– Welche Gleichung heißt die Folgegleichung der ursprünglichen Gleichung?

– Kann eine Folgegleichung eine Wurzel haben, die nicht die Wurzel der ursprünglichen Gleichung ist? Wie heißen diese Wurzeln?

– Welche Transformationen der Gleichung führen zu Folgegleichungen?

– Was nennt man eine arithmetische Quadratwurzel?

Heute werden wir uns ausführlicher mit der Transformation „Erhöhen einer Gleichung in eine gerade Potenz“ befassen.

II. Analyse der Theorie: Eine Gleichung gerade potenzieren

Erklärung des Lehrers unter aktiver Beteiligung der Schüler:

Lass 2m(mN) ist eine feste gerade natürliche Zahl. Dann die Konsequenz der GleichungF(x) =G(x) ist die Gleichung (F(x)) = (G(X)).

Sehr oft wird diese Aussage beim Lösen irrationaler Gleichungen verwendet.

Definition. Eine Gleichung, die eine Unbekannte unter dem Wurzelzeichen enthält, heißt irrational.

Bei der Lösung irrationaler Gleichungen werden folgende Methoden verwendet: (Folie 5)

Aufmerksamkeit! Methoden 2 und 3 erfordern obligatorisch Schecks.

ODZ hilft nicht immer, Fremdwurzeln zu beseitigen.

Abschluss: Bei der Lösung irrationaler Gleichungen ist es wichtig, drei Phasen zu durchlaufen: Technik, Lösungsanalyse, Verifizierung (Folie 6).

III. Workshop zum Lösen von Gleichungen

Löse die Gleichung:

Nachdem Sie besprochen haben, wie eine Gleichung durch Quadrieren gelöst werden kann, lösen Sie sie, indem Sie zu einem äquivalenten System gehen.

Abschluss: Die einfachsten Gleichungen mit ganzzahligen Wurzeln können mit jeder bekannten Methode gelöst werden.

b) = x – 2

Durch das Lösen beider Seiten der Gleichung mit der gleichen Potenz erhalten die Schüler Wurzeln x = 0, x = 3 -, x = 3 +, deren Überprüfung durch Substitution schwierig und zeitaufwändig ist. (Folie 7). Übergang zu einem gleichwertigen System

ermöglicht es Ihnen, fremde Wurzeln schnell loszuwerden. Die Bedingung x ≥ 2 wird nur von x erfüllt.

Antwort: 3 +

Abschluss: Es ist besser, irrationale Wurzeln zu überprüfen, indem man zu einem äquivalenten System übergeht.

c) = x – 3

Bei der Lösung dieser Gleichung erhalten wir zwei Wurzeln: 1 und 4. Beide Wurzeln erfüllen die linke Seite der Gleichung, aber wenn x = 1 ist, ist die Definition einer arithmetischen Quadratwurzel verletzt. Die ODZ-Gleichung hilft nicht, Fremdwurzeln zu eliminieren. Der Übergang zu einem äquivalenten System gibt die richtige Antwort.

Abschluss:Gute Kenntnisse und Verständnis aller Bedingungen zur Bestimmung der arithmetischen Quadratwurzel helfen, weiterzumachenDurchführung äquivalenter Transformationen.

Indem wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir die Gleichung

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, indem wir das Radikal auf die rechte Seite setzen, erhalten wir

26 – x + x = 8. Die Anwendung weiterer Aktionen zur Quadrierung beider Seiten der Gleichung führt zu einer Gleichung 4. Grades. Der Übergang zur ODZ-Gleichung liefert ein gutes Ergebnis:

Finden wir die ODZ-Gleichung:

x = 3.

Überprüfen Sie: - 4 = , 0 = 0 richtig.

Abschluss:Manchmal ist eine Lösung mithilfe der Definition der ODZ-Gleichung möglich, aber überprüfen Sie es unbedingt.

Lösung: ODZ-Gleichung: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

Für x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Daher ist die linke Seite der Gleichung negativ und die rechte Seite nicht negativ; daher hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.

Antwort: keine Wurzeln.

Abschluss:Wenn Sie die Einschränkung in der Bedingung der Gleichung richtig begründet haben, können Sie die Wurzeln der Gleichung leicht finden oder feststellen, dass sie nicht existieren.

Zeigen Sie am Beispiel der Lösung dieser Gleichung die doppelte Quadratur der Gleichung, erläutern Sie die Bedeutung des Ausdrucks „Einsamkeit der Radikale“ und die Notwendigkeit, die gefundenen Wurzeln zu überprüfen.

H) + = 1.

Die Lösung dieser Gleichungen erfolgt mit der Variablenersetzungsmethode bis zur Rückkehr zur ursprünglichen Variablen. Bieten Sie die Lösung denjenigen an, die die Aufgaben der nächsten Stufe früher erledigen.

Kontrollfragen

• Wie löst man die einfachsten irrationalen Gleichungen?
• Was müssen Sie beachten, wenn Sie eine Gleichung gerade potenzieren? ( ausländische Wurzeln können auftauchen)
• Wie lassen sich irrationale Wurzeln am besten überprüfen? ( unter Verwendung von ODZ und Bedingungen für das Zusammentreffen der Vorzeichen beider Seiten der Gleichung)
• Warum ist es notwendig, bei der Lösung irrationaler Gleichungen mathematische Situationen analysieren zu können? ( Für die richtige und schnelle Wahl, wie die Gleichung gelöst werden soll.

IV. Differenziertes selbstständiges Arbeiten in Gruppen „Irrationale Gleichungen im Einheitlichen Staatsexamen“

Die Klasse wird je nach Ausbildungsstand in Gruppen (2-3 Personen) eingeteilt, jede Gruppe wählt eine Option mit einer Aufgabe, bespricht und löst die ausgewählten Aufgaben. Holen Sie bei Bedarf Rat bei der Lehrkraft ein. Nachdem alle Aufgaben in ihrer Version erledigt und die Antworten vom Lehrer überprüft wurden, lösen die Gruppenmitglieder einzeln die Gleichungen g) und h) der vorherigen Unterrichtsphase. Für die Optionen 4 und 5 werden (nach Prüfung der Antworten und Lösungen durch den Lehrer) zusätzliche Aufgaben an die Tafel geschrieben und einzeln bearbeitet.

Alle Einzellösungen werden am Ende des Unterrichts dem Lehrer zur Überprüfung vorgelegt.

Variante 1

Lösen Sie die Gleichungen:

a) = 6;
b) = 2;
c) = 2 – x;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Option 5

1. Lösen Sie die Gleichung:

a) = ;
B) = 3 – 2x;

2. Lösen Sie das Gleichungssystem:

Zusätzliche Aufgaben:

V. Zusammenfassung der Lektionen

Welche Schwierigkeiten hatten Sie bei der Erledigung von USE-Aufgaben? Was ist nötig, um diese Schwierigkeiten zu überwinden?

VI. Hausaufgaben

Wiederholen Sie die Theorie zur Lösung irrationaler Gleichungen, lesen Sie Abschnitt 8.2 im Lehrbuch (beachten Sie Beispiel 3).

Lösen Sie Nr. 8.8 (a, c), Nr. 8.9 (a, c), Nr. 8.10 (a).

Literatur:

1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse , Lehrbuch für die 11. Klasse allgemeinbildender Einrichtungen, M.: Prosveshchenie, 2009.
2. Mordkovich A.G. Zu einigen methodischen Fragen im Zusammenhang mit der Lösung von Gleichungen. Mathematik in der Schule. -2006. -Nr. 3.
3. M. Schabunin. Gleichungen. Vorlesungen für Gymnasiasten und Studienbewerber. Moskau, „Chistye Prudy“, 2005. (Bibliothek „Erster September“)
4. E.N. Balayan. Problemlösungsworkshop. Irrationale Gleichungen, Ungleichungen und Systeme. Rostow am Don, „Phoenix“, 2006.
5. Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2011. Herausgegeben von F.F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova Legion-M, Rostow am Don, 2010.

In der Präsentation werden wir weiterhin äquivalente Gleichungen und Theoreme betrachten und uns ausführlicher mit den Phasen der Lösung solcher Gleichungen befassen.

Erinnern wir uns zunächst an die Bedingung, unter der eine der Gleichungen eine Folge der anderen ist (Folie 1). Der Autor zitiert noch einmal einige Theoreme über äquivalente Gleichungen, die zuvor diskutiert wurden: über die Multiplikation von Teilen der Gleichung mit demselben Wert h (x); Teile einer Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhöhen; Erhalten einer äquivalenten Gleichung aus der Gleichung log a f(x) = log a g (x).

Auf der fünften Folie der Präsentation werden die wichtigsten Schritte hervorgehoben, mit denen sich äquivalente Gleichungen bequem lösen lassen:

Finden Sie Lösungen für die äquivalente Gleichung;

Lösungen analysieren;

Überprüfen.

Betrachten wir Beispiel 1. Es ist notwendig, eine Konsequenz der Gleichung x - 3 = 2 zu finden. Finden wir die Wurzel der Gleichung x = 5. Schreiben wir die äquivalente Gleichung (x - 3)(x - 6) = 2( x - 6) unter Verwendung der Methode der Multiplikation von Teilen der Gleichung mit (x - 6). Wenn wir den Ausdruck auf die Form x 2 - 11x +30 = 0 vereinfachen, finden wir die Wurzeln x 1 = 5, x 2 = 6. Weil Jede Wurzel der Gleichung x - 3 = 2 ist auch eine Lösung der Gleichung x 2 - 11x +30 = 0, dann ist x 2 - 11x +30 = 0 eine Folgegleichung.

Beispiel 2. Finden Sie eine weitere Konsequenz der Gleichung x - 3 = 2. Um eine äquivalente Gleichung zu erhalten, verwenden wir die Methode der Potenzierung auf eine gerade Potenz. Wir vereinfachen den resultierenden Ausdruck und schreiben x 2 - 6x +5 = 0. Finden Sie die Wurzeln der Gleichung x 1 = 5, x 2 = 1. Weil x = 5 (die Wurzel der Gleichung x - 3 = 2) ist auch eine Lösung der Gleichung x 2 - 6x +5 = 0, dann ist die Gleichung x 2 - 6x +5 = 0 auch eine Folgegleichung.

Beispiel 3. Es ist notwendig, eine Konsequenz der Gleichung log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 zu finden.

Ersetzen wir 1 = log 3 3 in der Gleichung. Dann schreiben wir unter Anwendung der Aussage aus Satz 6 die äquivalente Gleichung (x + 1)(x +3) = 3. Vereinfachen wir den Ausdruck, erhalten wir x 2 + 4x = 0, wobei die Wurzeln x 1 = 0, x 2 = - 4 sind. Die Gleichung x 2 + 4x = 0 ist also eine Konsequenz für die gegebene Gleichung log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .

Daraus können wir schließen: Wenn der Definitionsbereich einer Gleichung erweitert wird, erhält man eine Folgegleichung. Lassen Sie uns die Standardaktionen beim Finden einer Folgegleichung hervorheben:

Nenner entfernen, die eine Variable enthalten;

Teile einer Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhöhen;

Befreiung von logarithmischen Vorzeichen.

Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern: Wenn sich während der Lösung der Definitionsbereich der Gleichung erweitert, müssen alle gefundenen Wurzeln überprüft werden, ob sie in die ODZ fallen.

Beispiel 4. Lösen Sie die auf Folie 12 dargestellte Gleichung. Zunächst ermitteln wir die Wurzeln der äquivalenten Gleichung x 1 = 5, x 2 = - 2 (erste Stufe). Es ist unbedingt erforderlich, die Wurzeln zu überprüfen (zweiter Schritt). Überprüfung der Wurzeln (dritte Stufe): x 1 = 5 gehört nicht zum Bereich der zulässigen Werte der gegebenen Gleichung, daher hat die Gleichung nur eine Lösung x = - 2.

In Beispiel 5 ist die gefundene Wurzel der äquivalenten Gleichung nicht in der ODZ der gegebenen Gleichung enthalten. In Beispiel 6 ist der Wert einer der beiden gefundenen Wurzeln undefiniert, sodass diese Wurzel keine Lösung der ursprünglichen Gleichung darstellt.

Städtische Bildungseinrichtung

„Nowoukolowskaja-Sekundarschule“

Bezirk Krasnensky, Region Belgorod

Algebra-Unterricht in der 11. Klasse

„Anwendung mehrerer Transformationen, die zu einer Folgegleichung führen“

Vorbereitet und durchgeführt

Mathematiklehrer

Kharkovskaya Valentina Grigorievna

Algebra 11. Klasse

Thema: Anwendung mehrerer Transformationen, die zur Folgegleichung führen.

Ziel: Bedingungen für die Konsolidierung von Material zum Thema schaffen: „Anwendung mehrerer Transformationen, die zu einer Gleichungsfolge führen“; RUnabhängigkeit entwickeln, Sprachkompetenz verbessern; die Computerkenntnisse der Schüler zu entwickeln; Erledigung von Aufgaben, die dem Niveau der Einheitlichen Staatsprüfung entsprechen.

Ausrüstung: Lehrbuch, Computer, Karten

Unterrichtsart: Lektion zur komplexen Anwendung von ZUN

Während des Unterrichts

Organisatorischer Moment (Folie 1)

Guten nachmittag Leute! Schauen Sie sich diese Bilder an und wählen Sie aus, welches Ihnen am besten gefallen hat. Ich sehe, dass Sie, genau wie ich, gut gelaunt zum Unterricht gekommen sind, und ich denke, das wird auch bis zum Ende der Unterrichtsstunde so bleiben. Ich wünsche Ihnen eine fruchtbare Arbeit.

Leute, jeder von euch hat Bewertungsbögen auf seinem Schreibtisch, in denen er sich in jeder Phase des Unterrichts selbst bewertet.

Hausaufgaben überprüfen (Folie 2)

Markieren Sie die Lösungen auf der Folie und die Kinder geben sich selbst Noten

Selbstkontrollblatt. Keine Fehler – „5“, wenn 1 Fehler – „4“, 2

Fehler – „3“. Wenn Sie viele Kinder haben, die 2 haben

Fehler, dann löse diese Aufgabe an der Tafel.

Bekanntgabe des Unterrichtsthemas (Folie 3). Unterrichtsziele setzen

Das Thema unserer Lektion können Sie auf der Folie sehen. Was denkst du als

Werden wir heute im Unterricht mit Ihnen lernen?

Nun, Leute, erinnern wir uns an den Stoff, den wir behandelt haben. .

Beginnen wir mit der mündlichen Arbeit :

Mündliche Arbeit (Folie 4)

Welche Gleichungen werden Folgegleichungen genannt? (Wenn irgendeine Wurzel der ersten Gleichung eine Wurzel der zweiten ist, dann heißt die zweite Gleichung eine Folge der ersten);

Wie nennt man den Übergang zu einer Folgegleichung? (Ersetzen einer Gleichung durch eine andere Gleichung, was ihre Konsequenz ist);

Welche Transformationen führen zur Folgegleichung? Nenne Beispiele. (Eine Gleichung gerade potenzieren; eine logarithmische Gleichung potenzieren; die Gleichung vom Nenner befreien; ähnliche Terme der Gleichung bringen; Formeln anwenden).

Lösen Sie die Gleichungen (Folie 5)

(Gleichungen werden auf dem Bildschirm angezeigt):

1) = 6; (Antwort: 36)

2) = 3; (Antwort: 11)

3) = 4; (Antwort: 6)

4) = - 2; (Antwort: keine Lösungen, da die linke Seite der Gleichung nur nichtnegative Werte annimmt)

5) = 9; (Antwort: -9 und 9)

6) = -2; (Antwort: keine Lösungen, da die Summe von zwei

nichtnegative Zahlen können nicht negativ sein)

Leute, ich glaube, euch ist aufgefallen, dass wir bei Hausaufgaben und mündlichen Arbeiten auf Aufgaben gestoßen sind, die der Demoversion, der Spezifikation und dem Unified State Examination-Kodifizierer entsprachen.

4. Aufgaben erledigen

Leute, lasst uns in unseren Notizbüchern arbeiten:

№8.26 (a) – an der Tafel

№8.14 (c) – an der Tafel

Übung für die Augen (Musik)

№8.8 (c)-an der Tafel

№8.9-(e)-an der Tafel

5.Selbstständiges Arbeiten (Folie 6)

Lösung für selbstständiges Arbeiten (Folie 7)

6. Hausaufgaben: Vervollständigen Sie Nr. 8.14 (d), Einheitliche Staatsprüfung B5-Aufgabe in den Optionen 21,23,25 (Folie 8)

7. Zusammenfassung der Lektion (Folie 9)

8.Reflexion (Folie 10)

Fragebogen.

1. Ich habe während des Unterrichts gearbeitet

2. Durch meine Arbeit in Klasse I

3. Die Lektion schien mir

4. Für die Lektion I

5. Meine Stimmung

6. Ich hatte das Unterrichtsmaterial

7. Glauben Sie, dass Sie solche Aufgaben in der Prüfung bewältigen können?

8. Hausaufgaben scheinen mir

aktiv passiv

zufrieden/unzufrieden

kurz lang

nicht müde / müde

es wurde besser/es wurde schlimmer

klar / nicht klar

nützlich nutzlos

interessant langweilig

ja/nein/weiß nicht

einfach schwierig

interessant / uninteressant

Verwendete Ressourcen:

Nikolsky S. M., Potapov K. M., . Algebra und die Anfänge der mathematischen Analysis, Klasse 11 M.: Prosveshcheniye, 2010

Aufgabensammlung zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik

Kann zum Auftreten sogenannter Fremdwurzeln führen. In diesem Artikel analysieren wir zunächst im Detail, was es ist fremde Wurzeln. Lassen Sie uns zweitens über die Gründe für ihr Auftreten sprechen. Und drittens betrachten wir anhand von Beispielen die wichtigsten Methoden zum Herausfiltern von Fremdwurzeln, also die Überprüfung der Wurzeln auf das Vorhandensein von Fremdwurzeln unter ihnen, um sie aus der Antwort auszuschließen.

Fremdwurzeln der Gleichung, Definition, Beispiele

Schulalgebra-Lehrbücher enthalten keine Definition einer Fremdwurzel. Dort wird die Idee einer Fremdwurzel gebildet, indem die folgende Situation beschrieben wird: Mit Hilfe einiger Transformationen der Gleichung wird von der ursprünglichen Gleichung zur Folgegleichung übergegangen, die Wurzeln der resultierenden Folgegleichung werden gefunden , und die gefundenen Wurzeln werden durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft, was zeigt, dass einige der gefundenen Wurzeln keine Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind; diese Wurzeln werden als Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung bezeichnet.

Ausgehend von dieser Basis können Sie die folgende Definition einer Fremdwurzel für sich übernehmen:

Definition

Fremdwurzeln- Dies sind die Wurzeln der durch Transformationen erhaltenen Folgegleichung, die nicht die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind.

Geben wir ein Beispiel. Betrachten wir die Gleichung und die Konsequenz dieser Gleichung x·(x−1)=0, die wir erhalten, indem wir den Ausdruck durch den identisch gleichen Ausdruck x·(x−1) ersetzen. Die ursprüngliche Gleichung hat eine einzige Wurzel 1. Die als Ergebnis der Transformation erhaltene Gleichung hat zwei Wurzeln 0 und 1. Das bedeutet, dass 0 eine fremde Wurzel für die ursprüngliche Gleichung ist.

Gründe für das mögliche Auftreten ausländischer Wurzeln

Wenn Sie zum Erhalten der Folgegleichung keine „exotischen“ Transformationen verwenden, sondern nur grundlegende Gleichungstransformationen, können Fremdwurzeln nur aus zwei Gründen entstehen:

• aufgrund der Erweiterung von ODZ und
• aufgrund der Erhöhung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz.

An dieser Stelle sei daran erinnert, dass die Erweiterung der ODZ hauptsächlich durch die Transformation der Gleichung erfolgt

• Beim Reduzieren von Brüchen;
• Beim Ersetzen eines Produkts mit einem oder mehreren Nullfaktoren durch Null;
• Beim Ersetzen eines Bruchs durch einen Nullzähler durch Null;
• Bei Verwendung einiger Eigenschaften von Potenzen, Wurzeln, Logarithmen;
• Bei der Verwendung einiger trigonometrischer Formeln;
• Wenn beide Seiten einer Gleichung mit demselben Ausdruck multipliziert werden, verschwindet er um die ODZ für diese Gleichung;
• Bei der Befreiung von Logarithmuszeichen im Lösungsprozess.

Das Beispiel aus dem vorherigen Absatz des Artikels veranschaulicht das Auftreten einer Fremdwurzel aufgrund der Erweiterung der ODZ, die beim Übergang von der Gleichung zur Folgegleichung x·(x−1)=0 auftritt. Die ODZ für die ursprüngliche Gleichung ist die Menge aller reellen Zahlen mit Ausnahme von Null, die ODZ für die resultierende Gleichung ist die Menge R, d. h. die ODZ wird um die Zahl Null erweitert. Letztendlich stellt sich heraus, dass diese Zahl eine fremde Wurzel ist.

Wir geben auch ein Beispiel für das Auftreten einer Fremdwurzel, die dadurch entsteht, dass beide Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz gesteigert werden. Die irrationale Gleichung hat eine einzige Wurzel 4 und die Konsequenz dieser Gleichung, die man daraus durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung erhält, also die Gleichung , hat zwei Wurzeln 1 und 4. Daraus geht hervor, dass die Quadrierung beider Seiten der Gleichung zur Entstehung einer fremden Wurzel für die ursprüngliche Gleichung führte.

Beachten Sie, dass die Erweiterung der ODZ und die Erhöhung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz nicht immer zum Auftreten von Fremdwurzeln führt. Wenn man beispielsweise von der Gleichung zur Folgegleichung x=2 übergeht, erweitert sich die ODZ von der Menge aller nichtnegativen Zahlen auf die Menge aller reellen Zahlen, es treten jedoch keine fremden Wurzeln auf. 2 ist die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung. Außerdem treten beim Übergang von einer Gleichung zu einer Folgegleichung keine überflüssigen Wurzeln auf. Die einzige Wurzel sowohl der ersten als auch der zweiten Gleichung ist x=16. Deshalb sprechen wir nicht über die Gründe für das Auftreten von Fremdwurzeln, sondern über die Gründe für das mögliche Auftreten von Fremdwurzeln.

Was ist das Aussieben von Fremdwurzeln?

Der Begriff „Fremdwurzeln aussieben“ kann nur bedingt als etabliert bezeichnet werden; er kommt nicht in allen Algebra-Lehrbüchern vor, ist aber intuitiv, weshalb er üblicherweise verwendet wird. Was mit dem Heraussieben von Fremdwurzeln gemeint ist, wird aus dem folgenden Satz deutlich: „... die Überprüfung ist ein obligatorischer Schritt bei der Lösung einer Gleichung, der dabei hilft, etwaige Fremdwurzeln zu erkennen und zu verwerfen (normalerweise sagt man „aussortieren“) „)“.

Auf diese Weise,

Definition

Fremdwurzeln aussortieren- Dies ist das Erkennen und Verwerfen von Fremdwurzeln.

Jetzt können Sie mit Methoden zum Aussortieren von Fremdwurzeln fortfahren.

Methoden zum Aussortieren von Fremdwurzeln

Vertretungsprüfung

Die wichtigste Möglichkeit, Fremdwurzeln herauszufiltern, ist ein Substitutionstest. Es ermöglicht Ihnen, Fremdwurzeln auszusortieren, die sowohl durch die Erweiterung der ODZ als auch durch die Erhöhung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz entstehen könnten.

Der Substitutionstest läuft wie folgt ab: Die gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden der Reihe nach in die Originalgleichung oder in eine beliebige dazu äquivalente Gleichung eingesetzt, diejenigen, die die korrekte numerische Gleichheit ergeben, sind die Wurzeln der Originalgleichung, und diejenigen, die die richtige numerische Gleichheit ergeben Falsche numerische Gleichheit oder Ausdruck sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung bedeutungslos, sind fremde Wurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns anhand eines Beispiels zeigen, wie man überflüssige Wurzeln durch Substitution in die ursprüngliche Gleichung herausfiltert.

In manchen Fällen ist es sinnvoller, Fremdwurzeln mit anderen Methoden herauszufiltern. Dies gilt vor allem für die Fälle, in denen die Prüfung durch Substitution mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden ist oder wenn die Standardmethode zur Lösung von Gleichungen eines bestimmten Typs eine weitere Prüfung erfordert (z. B. erfolgt das Aussortieren von Fremdwurzeln bei der Lösung gebrochener rationaler Gleichungen nach dem Bedingung, dass der Nenner des Bruchs ungleich Null ist). Schauen wir uns alternative Möglichkeiten an, um Fremdwurzeln auszusortieren.

Laut DL

Im Gegensatz zum Testen durch Substitution ist das Herausfiltern fremder Wurzeln mithilfe von ODZ nicht immer angemessen. Tatsache ist, dass Sie mit dieser Methode nur Fremdwurzeln herausfiltern können, die durch die Erweiterung des ODZ entstehen, und nicht das Aussieben von Fremdwurzeln garantiert, die aus anderen Gründen, beispielsweise durch beidseitiges Anheben, entstehen könnten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz. Darüber hinaus ist es nicht immer einfach, den OD für die zu lösende Gleichung zu finden. Nichtsdestotrotz lohnt es sich, die Methode zur Aussiebung von Fremdwurzeln mittels ODZ im Einsatz zu halten, da ihre Verwendung häufig weniger Rechenaufwand erfordert als die Verwendung anderer Methoden.

Das Aussondern von Fremdwurzeln gemäß ODZ erfolgt wie folgt: Alle gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden daraufhin überprüft, ob sie zum Bereich zulässiger Werte der Variablen für die Originalgleichung oder eine dazu äquivalente Gleichung gehören. diejenigen, die zur ODZ gehören, sind Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die zur ODZ gehören, sind Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die nicht zur ODZ gehören, sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Die Analyse der bereitgestellten Informationen führt zu dem Schluss, dass es ratsam ist, Fremdwurzeln mit ODZ auszusieben, wenn gleichzeitig:

• es ist einfach, die ODZ für die ursprüngliche Gleichung zu finden,
• Fremdwurzeln konnten nur durch den Ausbau der ODZ entstehen,
• Substitutionstests sind mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden.

Wir zeigen, wie das Aussortieren von Fremdwurzeln in der Praxis durchgeführt wird.

Gemäß den Bestimmungen des DL

Wie wir im vorherigen Absatz gesagt haben, können Fremdwurzeln, wenn sie nur durch die Erweiterung der ODZ entstehen könnten, mithilfe der ODZ für die ursprüngliche Gleichung eliminiert werden. Es ist jedoch nicht immer einfach, ODZ in Form eines numerischen Satzes zu finden. In solchen Fällen ist es möglich, Fremdwurzeln nicht nach der ODZ, sondern nach den die ODZ bestimmenden Bedingungen auszusortieren. Lassen Sie uns erklären, wie das Aussortieren von Fremdwurzeln unter den Bedingungen von ODZ erfolgt.

Die gefundenen Wurzeln werden wiederum in die Bedingungen eingesetzt, die die ODZ für die ursprüngliche Gleichung oder eine dazu äquivalente Gleichung bestimmen. Diejenigen, die alle Bedingungen erfüllen, sind die Wurzeln der Gleichung. Und diejenigen von ihnen, die mindestens eine Bedingung nicht erfüllen oder einen Ausdruck ergeben, der keinen Sinn ergibt, sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns ein Beispiel für das Aussortieren von Fremdwurzeln gemäß den ODZ-Bedingungen geben.

Eliminieren Sie überflüssige Wurzeln, die sich aus der Potenz beider Seiten der Gleichung ergeben

Es ist klar, dass das Aussortieren fremder Wurzeln, die sich aus der Potenzierung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz ergeben, durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung oder in eine dazu äquivalente Gleichung erfolgen kann. Eine solche Prüfung kann jedoch mit erheblichen Rechenschwierigkeiten verbunden sein. In diesem Fall lohnt es sich, eine alternative Methode zum Heraussieben von Fremdwurzeln zu kennen, über die wir jetzt sprechen werden.

Herausfiltern von Fremdwurzeln, die auftreten können, wenn beide Seiten irrationaler Gleichungen der Form auf die gleiche gerade Potenz gesteigert werden , wobei n eine gerade Zahl ist, kann gemäß der Bedingung g(x)≥0 durchgeführt werden. Dies folgt aus der Definition einer Wurzel geraden Grades: Eine Wurzel geraden Grades n ist eine nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich der Wurzelzahl ist, daher . Der geäußerte Ansatz ist also eine Art Symbiose aus der Methode, beide Seiten der Gleichung gleich zu potenzieren, und der Methode, irrationale Gleichungen durch Wurzelbestimmung zu lösen. Das heißt, die Gleichung , wobei n eine gerade Zahl ist, wird gelöst, indem beide Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhöht werden, und die Eliminierung von Fremdwurzeln erfolgt gemäß der Bedingung g(x)≥0, die der Methode zur Lösung irrationaler Gleichungen von entnommen ist Bestimmung der Wurzel.

Gegeben seien zwei Gleichungen

Wenn jede Wurzel von Gleichung (2.1) auch eine Wurzel von Gleichung (2.2) ist, dann heißt Gleichung (2.2). eine Folge der Gleichung(2.1). Beachten Sie, dass die Äquivalenz von Gleichungen bedeutet, dass jede der Gleichungen eine Folge der anderen ist.

Beim Lösen einer Gleichung ist es oft notwendig, Transformationen anzuwenden, die zu einer Gleichung führen, die eine Folge der ursprünglichen Gleichung ist. Die Folgegleichung wird durch alle Wurzeln der Originalgleichung erfüllt, aber zusätzlich zu diesen kann die Folgegleichung auch Lösungen haben, die keine Wurzeln der Originalgleichung sind, das sind die sogenannten Außenseiter Wurzeln. Um fremde Wurzeln zu identifizieren und auszusortieren, gehen sie normalerweise so vor: Alle gefundenen Wurzeln der Folgegleichung werden durch Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung überprüft.

Wenn wir beim Lösen einer Gleichung diese durch eine Folgegleichung ersetzen, ist die obige Prüfung ein wesentlicher Bestandteil der Lösung der Gleichung. Daher ist es wichtig zu wissen, bei welchen Transformationen diese Gleichung zur Konsequenz wird.

Betrachten Sie die Gleichung

und multiplizieren Sie beide Teile mit demselben Ausdruck, was für alle Werte sinnvoll ist. Wir bekommen die Gleichung

deren Wurzeln sowohl die Wurzeln der Gleichung (2.3) als auch die Wurzeln der Gleichung sind. Dies bedeutet, dass Gleichung (2.4) eine Folge von Gleichung (2.3) ist. Es ist klar, dass die Gleichungen (2.3) und (2.4) äquivalent sind, wenn die „fremde“ Gleichung keine Wurzeln hat.

Wenn also beide Seiten der Gleichung mit dem Ausdruck multipliziert werden, der für alle Werte von sinnvoll ist, erhalten wir eine Gleichung, die eine Folge der ursprünglichen Gleichung ist. Die resultierende Gleichung entspricht der ursprünglichen Gleichung, wenn die Gleichung keine Wurzeln hat. Beachten Sie, dass die Rücktransformation, d. h. Der Übergang von Gleichung (2.4) zu Gleichung (2.3) durch Division beider Seiten von Gleichung (2.4) durch den Ausdruck ist in der Regel inakzeptabel, da er zum Verlust von Lösungen (in diesem Fall der Wurzeln der Gleichung) führen kann kann „verloren gehen“). Beispielsweise hat eine Gleichung zwei Wurzeln: 3 und 4. Die Division beider Seiten der Gleichung durch führt zu einer Gleichung, die nur eine Wurzel 4 hat, d. h. Es ist ein Wurzelverlust aufgetreten.

Nehmen wir noch einmal Gleichung (2.3) und quadrieren beide Seiten. Wir erhalten die Gleichung

deren Wurzeln sowohl die Wurzeln der Gleichung (2.3) als auch die Wurzeln der „fremden“ Gleichung sind, d.h. Gleichung (2.5) ist eine Folge von Gleichung (2.3).

Beispielsweise hat eine Gleichung eine Wurzel von 4. Wenn beide Seiten dieser Gleichung quadriert werden, erhalten Sie eine Gleichung mit zwei Wurzeln: 4 und -2. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Konsequenz der Gleichung ist. Beim Übergang von Gleichung zu Gleichung erschien eine fremde Wurzel -2.

Wenn also beide Seiten der Gleichung quadriert werden (und im Allgemeinen mit jeder geraden Potenz), erhalten wir eine Gleichung, die eine Folge der ursprünglichen Gleichung ist. Dies bedeutet, dass bei dieser Transformation das Auftreten von Fremdwurzeln möglich ist. Beachten Sie, dass das Erhöhen beider Seiten der Gleichung auf die gleiche ungerade Potenz zu einer Gleichung führt, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist.