Katto 

Mitä yhtälöä kutsutaan seurausyhtälöksi. Vastaavat yhtälöt


Luokka: 11

Kesto: 2 oppituntia.

Oppitunnin tarkoitus:

  • (opettajalle) opiskelijoiden kokonaisvaltaisen ymmärryksen muodostuminen irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmistä.
  • (opiskelijoille) Havainnointi-, vertailu-, yleistys- ja matemaattisten tilanteiden analysointikyvyn kehittäminen (dia 2). Valmistautuminen Unified State -kokeeseen.

Ensimmäinen tuntisuunnitelma(dia 3)

  1. Tietojen päivittäminen
  2. Teorian analyysi: Yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin
  3. Työpaja yhtälöiden ratkaisemisesta

Toinen oppituntisuunnitelma

  1. Eriytetty itsenäinen työ ryhmissä “Irrrationaaliset yhtälöt yhtenäisessä valtionkokeessa”
  2. Oppituntien yhteenveto
  3. Kotitehtävät

Oppituntien edistyminen

I. Tietojen päivittäminen

Kohde: toista tarvittavat käsitteet oppitunnin aiheen menestyksekkääseen hallitsemiseen.

Frontaalinen kysely.

– Mitä kahta yhtälöä kutsutaan ekvivalenteiksi?

– Mitä yhtälön muunnoksia kutsutaan ekvivalenteiksi?

– Korvaa tämä yhtälö vastaavalla, jossa on selitys käytetystä muunnoksesta: (dia 4)

a) x+ 2x +1; b) 5 = 5; c) 12x = -3; d) x = 32; d) = -4.

– Mitä yhtälöä kutsutaan alkuperäisen yhtälön seurausyhtälöksi?

– Voiko seurausyhtälöllä olla juuri, joka ei ole alkuperäisen yhtälön juuri? Millä nimellä näitä juuria kutsutaan?

– Mitkä yhtälön muunnokset johtavat seurausyhtälöihin?

– Mitä kutsutaan aritmeettiseksi neliöjuureksi?

Tänään keskustelemme yksityiskohtaisemmin muunnoksesta "Yhtälön nostaminen tasaiseen potenssiin".

II. Teorian analyysi: Yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin

Opettajan selitys opiskelijoiden aktiivisella osallistumisella:

Anna 2m(mN) on kiinteä parillinen luonnollinen luku. Sitten yhtälön seurausf(x) =g(x) on yhtälö (f(x)) = (g(x)).

Hyvin usein tätä lausetta käytetään irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa.

Määritelmä. Yhtälöä, joka sisältää tuntemattoman juurimerkin alla, kutsutaan irrationaaliseksi.

Irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa käytetään seuraavia menetelmiä: (dia 5)

Huomio! Menetelmät 2 ja 3 vaativat pakollinen tarkastukset.

ODZ ei aina auta poistamaan vieraita juuria.

Johtopäätös: Irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa on tärkeää käydä läpi kolme vaihetta: tekninen, ratkaisuanalyysi, todentaminen (dia 6).

III. Työpaja yhtälöiden ratkaisemisesta

Ratkaise yhtälö:

Kun olet keskustellut yhtälön ratkaisemisesta neliöimällä, ratkaise se siirtymällä vastaavaan järjestelmään.

Johtopäätös: Yksinkertaisimmat yhtälöt kokonaislukujuurilla voidaan ratkaista millä tahansa tutulla menetelmällä.

b) = x – 2

Ratkaisemalla nostamalla yhtälön molemmat puolet samaan potenssiin opiskelijat saavat juuret x = 0, x = 3 -, x = 3 +, joiden tarkistaminen korvaamalla on vaikeaa ja aikaa vievää. (Dia 7). Siirtyminen vastaavaan järjestelmään

avulla voit nopeasti päästä eroon vieraista juurista. Ehto x ≥ 2 täyttyy vain x:llä.

Vastaus: 3+

Johtopäätös: Irrationaaliset juuret on parempi tarkistaa siirtymällä vastaavaan järjestelmään.

c) = x – 3

Tämän yhtälön ratkaisuprosessissa saamme kaksi juuria: 1 ja 4. Molemmat juuret täyttävät yhtälön vasemman puolen, mutta kun x = 1, aritmeettisen neliöjuuren määritelmä rikotaan. ODZ-yhtälö ei auta poistamaan vieraita juuria. Siirtyminen vastaavaan järjestelmään antaa oikean vastauksen.

Johtopäätös:Hyvä tuntemus ja ymmärrys kaikista aritmeettisen neliöjuuren määrittämisen edellytyksistä auttaa siirtymään eteenpäinsuorittaa vastaavia muunnoksia.

Neliöimällä yhtälön molemmat puolet, saamme yhtälön

x + 13 - 8 + 16 = 3 + 2x - x, asettamalla radikaali oikealle puolelle, saamme

26 – x + x = 8. Lisätoimintojen soveltaminen yhtälön molempien puolten neliöimiseksi johtaa 4. asteen yhtälöön. Siirtyminen ODZ-yhtälöön antaa hyvän tuloksen:

Etsitään ODZ-yhtälö:

x = 3.

Tarkista: - 4 = , 0 = 0 oikein.

Johtopäätös:Joskus on mahdollista ratkaista käyttämällä ODZ-yhtälön määritelmää, mutta muista tarkistaa.

Ratkaisu: ODZ-yhtälö: -2 – x ≥ 0 x ≤ -2.

Jos x ≤ -2,< 0, а ≥ 0.

Siksi yhtälön vasen puoli on negatiivinen ja oikea puoli ei-negatiivinen; siksi alkuperäisellä yhtälöllä ei ole juuria.

Vastaus: ei juuria.

Johtopäätös:Kun olet tehnyt oikean päättelyn yhtälön ehdon rajoituksesta, voit helposti löytää yhtälön juuret tai todeta, että niitä ei ole olemassa.

Käytä esimerkkiä tämän yhtälön ratkaisusta, näytä yhtälön kaksoisneliö, selitä lauseen "radikaalien yksinäisyys" merkitys ja tarve tarkistaa löydetyt juuret.

h) + = 1.

Näiden yhtälöiden ratkaisu suoritetaan muuttujan korvausmenetelmällä, kunnes palautetaan alkuperäiseen muuttujaan. Tarjoa ratkaisu niille, jotka suorittavat seuraavan vaiheen tehtävät aikaisemmin.

Kontrollikysymykset

  • Kuinka ratkaista yksinkertaisimmat irrationaaliset yhtälöt?
  • Mitä sinun tulee muistaa nostaessasi yhtälön parilliseen potenssiin? ( vieraita juuria saattaa esiintyä)
  • Mikä on paras tapa tarkistaa irrationaaliset juuret? ( käyttämällä ODZ:tä ja ehtoja yhtälön molempien puolien etumerkkien yhteensattumiselle)
  • Miksi irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa on osattava analysoida matemaattisia tilanteita? ( Oikean ja nopean yhtälön ratkaisutavan valintaan).

IV. Eriytetty itsenäinen työ ryhmissä “Irrrationaaliset yhtälöt yhtenäisessä valtionkokeessa”

Tunti on jaettu ryhmiin (2-3 henkilöä) koulutustasojen mukaan, jokainen ryhmä valitsee vaihtoehdon tehtävän kanssa, keskustelee ja ratkaisee valitut tehtävät. Tarvittaessa kysy neuvoa opettajalta. Suoritettuaan kaikki tehtävät omassa versiossaan ja tarkastettuaan vastaukset opettajalta, ryhmän jäsenet viimeistelevät yksittäin oppitunnin edellisen vaiheen yhtälöiden g) ja h) ratkaisun. Vaihtoehdoissa 4 ja 5 (opettajan tarkastettua vastaukset ja ratkaisut) lisätehtävät kirjoitetaan taululle ja ne suoritetaan erikseen.

Kaikki yksittäiset ratkaisut toimitetaan opettajalle tarkistettavaksi oppituntien lopussa.

Vaihtoehto 1

Ratkaise yhtälöt:

a) = 6;
b) = 2;
c) = 2 – x;
d) (x + 1) (5 – x) (+ 2 = 4.

Vaihtoehto 5

1. Ratkaise yhtälö:

a) = ;
b) = 3 – 2x;

2. Ratkaise yhtälöjärjestelmä:

Lisätehtävät:

V. Oppituntien yhteenveto

Mitä vaikeuksia koit suorittaessasi USE-tehtäviä? Mitä tarvitaan näiden vaikeuksien voittamiseksi?

VI. Kotitehtävät

Toista irrationaalisten yhtälöiden ratkaisuteoria, lue oppikirjan kohta 8.2 (huomio esimerkki 3).

Ratkaisu nro 8.8 (a, c), nro 8.9 (a, c), nro 8.10 (a).

Kirjallisuus:

  1. Nikolsky S.M., Potapov M.K., N.N. Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra ja matemaattisen analyysin alku , oppikirja yleisten oppilaitosten 11. luokalle, M.: Prosveshchenie, 2009.
  2. Mordkovich A.G. Joistakin yhtälöiden ratkaisemiseen liittyvistä metodologisista kysymyksistä. Matematiikka koulussa. -2006. -Nro 3.
  3. M. Shabunin. Yhtälöt. Luentoja lukiolaisille ja hakijoille. Moskova, "Chistye Prudy", 2005. (kirjasto "Syyskuun ensimmäinen")
  4. E.N. Balayan. Ongelmanratkaisutyöpaja. Irrationaaliset yhtälöt, epäyhtälöt ja järjestelmät. Rostov-on-Don, "Phoenix", 2006.
  5. Matematiikka. Valmistautuminen yhtenäiseen valtionkokeeseen 2011. Toimittaja F.F. Lysenko, S.Yu. Kulabukhova Legion-M, Rostov-on-Don, 2010.

Esityksessä jatketaan vastaavien yhtälöiden, lauseiden tarkastelua ja tarkastellaan tarkemmin tällaisten yhtälöiden ratkaisemisen vaiheita.

Aluksi muistetaan ehto, jossa yksi yhtälöistä on seuraus toisesta (dia 1). Kirjoittaja lainaa jälleen kerran joitain lauseita vastaavista yhtälöistä, joista keskusteltiin aiemmin: yhtälön osien kertomisesta samalla arvolla h (x); yhtälön osien nostaminen samaan parilliseen potenssiin; saadaan ekvivalentti yhtälö yhtälöstä log a f(x) = log a g (x).

Esityksen 5. dia korostaa tärkeimmät vaiheet, joilla on kätevää ratkaista vastaavia yhtälöitä:

Etsi ratkaisuja ekvivalenttiseen yhtälöön;

Analysoi ratkaisuja;

Tarkistaa.


Tarkastellaan esimerkkiä 1. On löydettävä yhtälön x - 3 = 2 seuraus. Etsitään yhtälön x = 5 juuri. Kirjoitamme ekvivalenttiyhtälön (x - 3)(x - 6) = 2( x - 6), käyttämällä menetelmää, jossa yhtälön osat kerrotaan (x - 6). Yksinkertaistamalla lauseke muotoon x 2 - 11x +30 = 0, saamme juuret x 1 = 5, x 2 = 6. Koska Jokainen yhtälön x - 3 = 2 juuri on myös yhtälön x 2 - 11x +30 = 0 ratkaisu, jolloin x 2 - 11x +30 = 0 on seurausyhtälö.


Esimerkki 2. Etsi toinen yhtälön x - 3 = 2 seuraus. Ekvivalentin yhtälön saamiseksi käytämme menetelmää nostaa parilliseen potenssiin. Yksinkertaistamalla tuloksena olevaa lauseketta kirjoitetaan x 2 - 6x +5 = 0. Etsi yhtälön x 1 = 5, x 2 = 1 juuret. Koska x = 5 (yhtälön x - 3 = 2 juuri) on myös yhtälön x 2 - 6x +5 = 0 ratkaisu, jolloin yhtälö x 2 - 6x +5 = 0 on myös seurausyhtälö.


Esimerkki 3. On tarpeen löytää yhtälön log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 seuraus.

Korvataan yhtälössä 1 = log 3 3. Sitten Lauseen 6 lausetta soveltaen kirjoitetaan vastaava yhtälö (x + 1)(x +3) = 3. Lauseketta yksinkertaistamalla saadaan x 2 + 4x = 0, jossa juuret ovat x 1 = 0, x 2 = - 4. Yhtälö x 2 + 4x = 0 on siis seuraus annetulle yhtälölle log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) = 1 .


Joten voimme päätellä: jos yhtälön määritelmäaluetta laajennetaan, saadaan seurausyhtälö. Korostetaan tavallisia toimia, kun löydetään seurausyhtälö:

Päästä eroon nimittäjistä, jotka sisältävät muuttujan;

Yhtälön osien nostaminen samaan parilliseen potenssiin;

Vapautuminen logaritmisista merkeistä.

Mutta on tärkeää muistaa: kun ratkaisun aikana yhtälön määritelmäalue laajenee, on tarpeen tarkistaa kaikki löydetyt juuret - kuuluvatko ne ODZ:hen.


Esimerkki 4. Ratkaise dialla 12 esitetty yhtälö. Etsitään ensin vastaavan yhtälön x 1 = 5, x 2 = - 2 juuret (ensimmäinen vaihe). On välttämätöntä tarkistaa juuret (toinen vaihe). Juurien tarkistus (kolmas vaihe): x 1 = 5 ei kuulu annetun yhtälön sallittujen arvojen alueelle, joten yhtälössä on vain yksi ratkaisu x = - 2.


Esimerkissä 5 vastaavan yhtälön löydettyä juuria ei sisällytetä annetun yhtälön ODZ:hen. Esimerkissä 6 toisen löydetyn juuren arvo on määrittelemätön, joten tämä juuri ei ole ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön.

Kunnallinen oppilaitos

"Novoukolovskajan lukio"

Krasnenskyn alue, Belgorodin alue

Algebratunti 11. luokalla

"Useiden muunnosten soveltaminen, jotka johtavat seurausyhtälöön"

Valmisteltu ja toteutettu

Matematiikan opettaja

Kharkovskaya Valentina Grigorievna

Algebra 11 luokka

Aihe: Useiden muunnosten soveltaminen, jotka johtavat seurausyhtälöön.

Kohde: luoda olosuhteet materiaalin konsolidoinnille aiheesta: "Useiden muunnosten soveltaminen, jotka johtavat yhtälö-seuraamukseen"; Rkehittää itsenäisyyttä, parantaa puhelukutaitoa; kehittää opiskelijoiden tietojenkäsittelytaitoja; suorittaa Unified State Examination tasoa vastaavat tehtävät.

Laitteet: oppikirja, tietokone, kortit

Oppitunnin tyyppi: oppitunti ZUN:n monimutkaisesta soveltamisesta

Tuntien aikana

    Organisatorinen hetki (dia 1)

Hyvää iltapäivää kaverit! Katso nämä kuvat ja valitse niistä, joista pidit eniten. Näen, että sinä, kuten minä, tulit tunnille hyvällä tuulella, ja uskon, että se pysyy samana oppitunnin loppuun asti. Haluan toivottaa sinulle hedelmällistä työtä.

Kaverit, jokaisella teistä on pöydällänne arviointiarkkeja, joissa arvioitte itseänne oppitunnin jokaisessa vaiheessa.

    Tarkistetaan läksyjä. (Dia 2)

Korosta ratkaisuja dialla ja lapset antavat itselleen arvosanoja

itsehallintalevy. Ei virheitä – “5”, jos 1 virhe – “4”, 2

virheet - "3". Jos saat paljon lapsia, joilla on 2

virheitä, ratkaise sitten tämä tehtävä laudalla.

Oppitunnin aiheen julkistaminen (dia 3). oppitunnin tavoitteiden asettaminen

Näet oppituntimme aiheen diasta. Mitä mieltä olet kuin

Opiskellaanko kanssasi luokassa tänään?

No, kaverit, muistetaan se materiaali, jota käsittelimme. .

Aloitetaan suullisesta työstä :

    Suullinen työ (dia 4)

    Mitä yhtälöitä kutsutaan seurausyhtälöiksi? (jos mikä tahansa ensimmäisen yhtälön juuri on toisen juuri, niin toista yhtälöä kutsutaan ensimmäisen seurauksena);

    Mitä kutsutaan siirtymäksi seurausyhtälöön? (yhtälön korvaaminen toisella yhtälöllä, mikä on sen seuraus);

    Mitkä muunnokset johtavat seurausyhtälöön? Antaa esimerkkejä. (yhtälön nostaminen parilliseen potenssiin; logaritmisen yhtälön vahvistaminen; yhtälön vapauttaminen nimittäjästä; yhtälön samankaltaisten ehtojen tuominen; kaavojen soveltaminen).

Ratkaise yhtälöt (Dia 5)

(yhtälöt näkyvät näytöllä):

1) = 6; (vastaus: 36)

2) = 3; (vastaus: 11)

3) = 4; (vastaus: 6)

4) = -2; (vastaus: ei ratkaisuja, koska yhtälön vasen puoli ottaa vain ei-negatiiviset arvot)

5) = 9; (vastaus: -9 ja 9)

6) = -2; (vastaus: ei ratkaisuja, koska kahden summa

ei-negatiiviset luvut eivät voi olla negatiivisia)

Kaverit, luulen, että huomasitte, että kotitehtäviä ja suullisia töitä tehdessämme törmäsimme tehtäviin, jotka vastasivat demoversiota, spesifikaatiota ja Unified State Examination -kooderia.

4. Tehtävien suorittaminen

Kaverit, työskennelkäämme muistikirjoissamme:

№8.26 (a) - taululla

№8.14 (c) – taululla

Harjoituksia silmille (musiikki)

№8.8 (c)-laudalla

№8.9-(e)-hallituksessa

5. Itsenäinen työskentely (Dia 6)

Ratkaisu itsenäiseen työskentelyyn (Dia 7)

6. Kotitehtävä: suorita nro 8.14 (d), Unified State Examination B5 -tehtävä vaihtoehdoissa 21,23,25 (Dia 8)

7. Oppitunnin yhteenveto (dia 9)

8. Heijastus (dia 10)

Kyselylomake.

1. Työskentelin oppitunnin aikana

2. Työni kautta luokassa I

3. Oppitunti näytti minusta

4. Oppitunnille I

5. Mielialani

6. Minulla oli oppitunnin materiaali

7. Luuletko selviäväsi tällaisista tehtävistä kokeessa?

8. Minusta kotitehtävät

aktiivi passiivi

tyytyväinen/tyytymätön

lyhyt pitkä

ei väsynyt / väsynyt

se parani/se paheni

selkeä / epäselvä

hyödyllinen/hyödytön

mielenkiintoinen / tylsä

kyllä/ei/en tiedä

helppo vaikea

mielenkiintoinen/epämiellyttävä

Käytetyt resurssit:

    Nikolsky S.M., Potapov K.M., . Algebra ja matemaattisen analyysin alku, luokka 11 M.: Prosveshcheniye, 2010

    Kokoelma tehtäviä valmistautua matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen

Saattaa johtaa niin kutsuttujen vieraiden juurien ilmaantumiseen. Tässä artikkelissa analysoimme ensin yksityiskohtaisesti, mikä on vieraita juuria. Toiseksi, puhutaan syistä niiden esiintymiseen. Ja kolmanneksi, esimerkkien avulla tarkastelemme tärkeimpiä menetelmiä vieraiden juurien suodattamiseksi, toisin sanoen tarkistamalla juuret vieraiden juurten joukossa, jotta ne suljetaan pois vastauksesta.

Yhtälön ulkopuoliset juuret, määritelmä, esimerkit

Koulun algebran oppikirjat eivät anna määritelmää ulkopuoliselle juurelle. Siellä idea ulkoisesta juuresta muodostetaan kuvaamalla seuraavaa tilannetta: joidenkin yhtälön muunnosten avulla siirrytään alkuperäisestä yhtälöstä seurausyhtälöön, löydetään tuloksena olevan seurausyhtälön juuret. , ja löydetyt juuret tarkistetaan korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön, mikä osoittaa, että osa löydetyistä juurista ei ole alkuperäisen yhtälön juuria, näitä juuria kutsutaan alkuperäisen yhtälön ulkopuolisiksi juuriksi.

Tästä perustasta alkaen voit hyväksyä itsellesi seuraavan vieraan juuren määritelmän:

Määritelmä

Vieraat juuret- nämä ovat muunnosten tuloksena saadun seurausyhtälön juuret, jotka eivät ole alkuperäisen yhtälön juuria.

Otetaan esimerkki. Tarkastellaan yhtälöä ja tämän yhtälön x·(x−1)=0 seurausta, joka saadaan korvaamalla lauseke identtisellä yhtälöllä x·(x−1) . Alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri 1. Muunnoksen tuloksena saadulla yhtälöllä on kaksi juuria 0 ja 1. Tämä tarkoittaa, että 0 on alkuperäisen yhtälön ulkopuolinen juuri.

Syitä vieraiden juurien mahdolliseen esiintymiseen

Jos et käytä seurausyhtälön saamiseksi mitään "eksoottisia" muunnoksia, vaan käytät vain yhtälöiden perusmuunnoksia, niin vieraita juuria voi syntyä vain kahdesta syystä:

  • johtuen ODZ:n laajenemisesta ja
  • johtuen yhtälön molempien puolten nostamisesta samaan parilliseen potenssiin.

Tässä on syytä muistaa, että ODZ:n laajeneminen yhtälön muuntamisen seurauksena tapahtuu pääasiassa

  • Kun vähennetään fraktioita;
  • Kun tuote korvataan yhdellä tai useammalla nollakertoimella nollalla;
  • Kun murto-osa korvataan nollaosoittimella nollalla;
  • Kun käytetään joitain potenssien, juurien, logaritmien ominaisuuksia;
  • Käytettäessä joitain trigonometrisiä kaavoja;
  • Kun yhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla lausekkeella, se katoaa kyseisen yhtälön ODZ:n mukaan;
  • Vapautuessaan logaritmimerkeistä ratkaisuprosessissa.

Artikkelin edellisen kappaleen esimerkki havainnollistaa ODZ:n laajenemisesta johtuvan ulkopuolisen juuren ilmaantumista, joka tapahtuu siirryttäessä yhtälöstä seurausyhtälöön x·(x−1)=0. Alkuperäisen yhtälön ODZ on kaikkien reaalilukujen joukko, lukuun ottamatta nollaa, tuloksena olevan yhtälön ODZ on joukko R, eli ODZ on laajennettu luvulla nolla. Tämä numero lopulta osoittautuu vieraaksi juureksi.

Annamme myös esimerkin ulkopuolisen juuren esiintymisestä, koska yhtälön molemmat puolet nostetaan samaan parilliseen potenssiin. Irrationaalisella yhtälöllä on yksi juuri 4, ja tämän yhtälön seuraus, joka saadaan siitä neliöimällä yhtälön molemmat puolet, eli yhtälö , on kaksi juuria 1 ja 4. Tästä on selvää, että yhtälön molempien puolten neliöinti johti alkuperäisen yhtälön ulkopuolisen juuren ilmestymiseen.

Huomaa, että ODZ:n laajentaminen ja yhtälön molempien puolten nostaminen samaan tasatehoon ei aina johda vieraiden juurien ilmaantumiseen. Esimerkiksi siirryttäessä yhtälöstä seurausyhtälöön x=2, ODZ laajenee kaikkien ei-negatiivisten lukujen joukosta kaikkien reaalilukujen joukkoon, mutta ylimääräisiä juuria ei esiinny. 2 on sekä ensimmäisen että toisen yhtälön ainoa juuri. Myöskään vieraita juuria ei esiinny siirryttäessä yhtälöstä seurausyhtälöön. Sekä ensimmäisen että toisen yhtälön ainoa juuri on x=16. Siksi emme puhu vieraiden juurien esiintymisen syistä, vaan syistä vieraiden juurien mahdolliseen esiintymiseen.

Mitä on vieraiden juurien seulominen?

Termiä "vieraiden juurien seulominen" voidaan kutsua vakiintuneeksi, sitä ei löydy kaikista algebraoppikirjoista, mutta se on intuitiivinen, minkä vuoksi sitä yleensä käytetään. Mitä tarkoitetaan vieraiden juurien seulomisella, käy selväksi seuraavasta lauseesta: "... todentaminen on pakollinen vaihe yhtälön ratkaisemisessa, joka auttaa havaitsemaan mahdolliset vieraat juuret ja hylkäämään ne (yleensä sanotaan "karkota pois" ”)."

Täten,

Määritelmä

Vieraiden juurien seulominen- tämä on vieraiden juurien havaitseminen ja hävittäminen.

Nyt voit siirtyä menetelmiin, joilla seulotaan vieraita juuria.

Menetelmät vieraiden juurien seulomiseen

Vaihtotarkastus

Pääasiallinen tapa suodattaa vieraat juuret pois on korvaustesti. Sen avulla voit kitkeä pois vieraat juuret, jotka voivat syntyä sekä ODZ:n laajenemisesta että yhtälön molempien puolten nostamisesta samaan tasatehoon.

Korvauskoe on seuraava: seurausyhtälön löydetyt juuret substituoidaan vuorotellen alkuperäiseen yhtälöön tai mihin tahansa sitä vastaavaan yhtälöön, oikean numeerisen yhtälön antavat alkuperäisen yhtälön juuret ja ne, jotka antavat virheellinen numeerinen yhtälö tai lauseke ovat alkuperäisen yhtälön juuret merkityksettömiä, ovat alkuperäisen yhtälön vieraita juuria.

Näytämme esimerkillä, kuinka vieraat juuret suodatetaan pois korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön.

Joissakin tapauksissa on tarkoituksenmukaisempaa suodattaa vieraat juuret muilla menetelmillä. Tämä koskee pääasiassa niitä tapauksia, joissa korvaustarkistukseen liittyy merkittäviä laskennallisia vaikeuksia tai kun tietyn tyyppisten yhtälöiden standardiratkaisu vaatii toisen tarkistuksen (esimerkiksi vieraiden juurien seulominen murto-rationaaliyhtälöiden ratkaisemisen yhteydessä suoritetaan ehto, että murtoluvun nimittäjä ei ole nolla ). Katsotaanpa vaihtoehtoisia tapoja kitkeä vieraat juuret.

DL:n mukaan

Toisin kuin korvaustestaus, vieraiden juurien suodattaminen ODZ:n avulla ei ole aina tarkoituksenmukaista. Tosiasia on, että tällä menetelmällä voit suodattaa pois vain vieraat juuret, jotka syntyvät ODZ: n laajenemisen vuoksi, eikä se takaa vieraiden juurien seulomista, jotka voivat syntyä muista syistä, esimerkiksi molempien puolten nostamisesta. yhtälöstä samaan parilliseen potenssiin . Lisäksi ratkaistavan yhtälön OD:n löytäminen ei ole aina helppoa. Menetelmä vieraiden juurien seulomiseksi ODZ:n avulla kannattaa kuitenkin säilyttää, koska sen käyttö vaatii usein vähemmän laskentatyötä kuin muiden menetelmien käyttö.

Vieraiden juurien karsiminen ODZ:n mukaan suoritetaan seuraavasti: kaikki löydetyt seurausyhtälön juuret tarkistetaan sen varmistamiseksi, kuuluvatko ne alkuperäisen yhtälön muuttujan sallittujen arvojen alueelle tai johonkin sitä vastaavaan yhtälöön, ne, jotka kuuluvat ODZ:hen, ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja ne, jotka kuuluvat ODZ:hen, ovat alkuperäisen yhtälön juuria, ja ne, jotka eivät kuulu ODZ:hen, ovat alkuperäisen yhtälön ulkoisia juuria.

Annettujen tietojen analysointi johtaa siihen johtopäätökseen, että on suositeltavaa seuloa vieraat juuret ODZ:n avulla, jos samanaikaisesti:

  • alkuperäisen yhtälön ODZ on helppo löytää,
  • vieraat juuret saattoivat syntyä vain ODZ:n laajentumisen vuoksi,
  • Korvaustestaukseen liittyy merkittäviä laskennallisia vaikeuksia.

Näytämme kuinka vieraiden juurien kitkeminen tapahtuu käytännössä.

DL:n ehtojen mukaan

Kuten edellisessä kappaleessa totesimme, jos vieraita juuria voi syntyä vain ODZ:n laajenemisen vuoksi, ne voidaan poistaa käyttämällä ODZ:tä alkuperäisessä yhtälössä. Mutta ei ole aina helppoa löytää ODZ: tä numeerisen joukon muodossa. Tällaisissa tapauksissa on mahdollista seuloa vieraat juuret ei ODZ:n mukaan, vaan ODZ:n määrittävien ehtojen mukaisesti. Selitämme, kuinka vieraiden juurien kitkeminen tapahtuu ODZ-olosuhteissa.

Löydetyt juuret vuorostaan ​​korvataan ehdoilla, jotka määrittävät alkuperäisen yhtälön tai minkä tahansa sitä vastaavan yhtälön ODZ:n. Ne, jotka täyttävät kaikki ehdot, ovat yhtälön juuret. Ja ne, jotka eivät täytä vähintään yhtä ehtoa tai anna lauseketta, jossa ei ole järkeä, ovat alkuperäisen yhtälön vieraita juuria.

Otetaan esimerkki vieraiden juurien seulomisesta ODZ:n ehtojen mukaisesti.

Karsitaan pois vieraita juuria, jotka syntyvät yhtälön molempien puolten nostamisesta tasaiseksi

On selvää, että yhtälön molempien puolten nostamisesta samaan parilliseen potenssiin syntyvien vieraiden juurien karsiminen pois voidaan tehdä korvaamalla se alkuperäiseen yhtälöön tai mihin tahansa sitä vastaavaan yhtälöön. Mutta tällainen tarkistus voi sisältää merkittäviä laskennallisia vaikeuksia. Tässä tapauksessa on syytä tietää vaihtoehtoinen menetelmä vieraiden juurien seulomiseksi, josta puhumme nyt.

Seulotaan pois vieraita juuria, joita voi syntyä nostettaessa muodon irrationaalisia yhtälöitä samaan parilliseen potenssiin , jossa n on jokin parillinen luku, voidaan suorittaa ehdon g(x)≥0 mukaisesti. Tämä seuraa parillisen asteen juuren määritelmästä: parillisen asteen juuri n on ei-negatiivinen luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin radikaaliluku, josta . Siten esitetty lähestymistapa on eräänlainen symbioosi menetelmästä nostaa yhtälön molemmat puolet samaan potenssiin ja menetelmästä ratkaista irrationaalisia yhtälöitä määrittämällä juuri. Eli yhtälö , jossa n on parillinen luku, ratkaistaan ​​nostamalla yhtälön molemmat puolet samaan parilliseen potenssiin ja vieraiden juurien eliminointi suoritetaan ehdon g(x)≥0 mukaisesti, joka on otettu irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmästä juuren määrittäminen.

Olkoon kaksi yhtälöä

Jos jokainen yhtälön (2.1) juuri on myös yhtälön (2.2) juuri, yhtälöä (2.2) kutsutaan yhtälön seuraus(2.1). Huomaa, että yhtälöiden vastaavuus tarkoittaa, että kukin yhtälöistä on seurausta toisesta.

Yhtälön ratkaisuprosessissa on usein tarpeen soveltaa muunnoksia, jotka johtavat yhtälöön, joka on seuraus alkuperäisestä yhtälöstä. Seurausyhtälön tyydyttävät kaikki alkuperäisen yhtälön juuret, mutta niiden lisäksi seurausyhtälössä voi olla myös ratkaisuja, jotka eivät ole alkuperäisen yhtälön juuria, nämä ovat ns. ulkopuolisia juuret. Vieraiden juurien tunnistamiseksi ja karsimiseksi he tekevät yleensä näin: kaikki seurausyhtälön löydetyt juuret tarkistetaan korvaamalla alkuperäiseen yhtälöön.

Jos korvasimme yhtälön ratkaisemisen yhteydessä seurausyhtälön, niin yllä oleva tarkistus on olennainen osa yhtälön ratkaisemista. Siksi on tärkeää tietää, minkä muunnosten seurauksena yhtälöstä tulee seuraus.

Harkitse yhtälöä

ja kerro sen molemmat osat samalla lausekkeella, mikä on järkevää kaikille arvoille. Saamme yhtälön

jonka juuret ovat sekä yhtälön (2.3) juuret että yhtälön juuret . Tämä tarkoittaa, että yhtälö (2.4) on yhtälön (2.3) seuraus. On selvää, että yhtälöt (2.3) ja (2.4) ovat ekvivalentteja, jos "ulkopuolisella" yhtälöllä ei ole juuria.

Joten, jos yhtälön molemmat puolet kerrotaan lausekkeella, jolla on järkeä mille tahansa arvolle, niin saadaan yhtälö, joka on seuraus alkuperäisestä. Tuloksena oleva yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöä, jos yhtälöllä ei ole juuria. Huomaa, että käänteinen muunnos, ts. siirtymistä yhtälöstä (2.4) yhtälöön (2.3) jakamalla yhtälön (2.4) molemmat puolet lausekkeella ei yleensä voida hyväksyä, koska se voi johtaa ratkaisujen (tässä tapauksessa yhtälön juurten) menettämiseen. voi olla "kadonnut"). Esimerkiksi yhtälöllä on kaksi juuria: 3 ja 4. Yhtälön molempien puolten jakaminen johtaa yhtälöön, jolla on vain yksi juuri 4, ts. juurien menetys on tapahtunut.

Otetaan jälleen yhtälö (2.3) ja neliötetään molemmat puolet. Saamme yhtälön

jonka juuret ovat sekä yhtälön (2.3) juuret että "vieraan" yhtälön juuret, ts. yhtälö (2.5) on yhtälön (2.3) seuraus.

Esimerkiksi yhtälön juuri on 4. Jos tämän yhtälön molemmat puolet on neliöity, saat yhtälön, jolla on kaksi juuria: 4 ja -2. Tämä tarkoittaa, että yhtälö on yhtälön seuraus. Siirtyessään yhtälöstä yhtälöön ilmestyi ulkopuolinen juuri -2.

Joten kun yhtälön molemmat puolet on neliöity (ja yleensä mihin tahansa parilliseen potenssiin), saadaan yhtälö, joka on seuraus alkuperäisestä. Tämä tarkoittaa, että tällä muutoksella vieraiden juurien esiintyminen on mahdollista. Huomaa, että yhtälön molempien puolten nostaminen samaan parittomaan potenssiin johtaa yhtälöön, joka vastaa annettua yhtälöä.