सीधे शब्दों में कहें तो ये एक खास रेसिपी के अनुसार पानी में पकाई गई सब्जियां हैं। मैं दो प्रारंभिक घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और तैयार परिणाम - बोर्स्ट पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयत के रूप में माना जा सकता है जिसमें एक पक्ष लेट्यूस का प्रतिनिधित्व करता है और दूसरा पक्ष पानी का प्रतिनिधित्व करता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्स्ट का प्रतिनिधित्व करेगा। इस तरह के "बोर्श" आयत का विकर्ण और क्षेत्र विशुद्ध रूप से गणितीय अवधारणा है और बोर्स्ट व्यंजनों में कभी भी उपयोग नहीं किया जाता है।

गणितीय दृष्टिकोण से लेट्यूस और पानी कैसे बोर्स्ट में बदल जाते हैं? दो रेखाखंडों का योग त्रिकोणमिति में कैसे बदल सकता है? इसे समझने के लिए, हमें रैखिक कोण फलन की आवश्यकता है।

आपको गणित की पाठ्यपुस्तकों में रैखिक कोण फलन के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना गणित नहीं हो सकता। गणित के नियम, प्रकृति के नियमों की तरह, काम करते हैं, भले ही हम उनके अस्तित्व के बारे में जानते हों या नहीं।

रैखिक कोण फलन योग के नियम हैं।देखें कि कैसे बीजगणित ज्यामिति में और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाती है।

क्या रैखिक कोण फलनों को समाप्त किया जा सकता है? आप कर सकते हैं, क्योंकि गणितज्ञ अभी भी उनके बिना करते हैं। गणितज्ञों की चाल यह है कि वे हमेशा हमें केवल उन्हीं समस्याओं के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं हल करना जानते हैं, और उन समस्याओं के बारे में कभी बात नहीं करते जिन्हें वे हल नहीं कर सकते। नज़र। यदि हम जोड़ और एक पद का परिणाम जानते हैं, तो हम दूसरे पद को खोजने के लिए घटाव का उपयोग करते हैं। हर चीज़। हम अन्य कार्यों को नहीं जानते हैं और उन्हें हल करने में सक्षम नहीं हैं। यदि हम केवल जोड़ का परिणाम जानते हैं और दोनों पदों को नहीं जानते हैं तो क्या करें? इस मामले में, जोड़ के परिणाम को रैखिक कोण कार्यों का उपयोग करके दो शब्दों में विघटित किया जाना चाहिए। फिर हम खुद चुनते हैं कि एक शब्द क्या हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्य दिखाते हैं कि दूसरा शब्द क्या होना चाहिए ताकि जोड़ का परिणाम ठीक वही हो जो हमें चाहिए। ऐसे युग्मों की अनंत संख्या हो सकती है। रोजमर्रा की जिंदगी में हम योग के बिना पूरी तरह से प्रबंधन करते हैं, घटाव हमारे लिए पर्याप्त है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अनुसंधान में योग का शब्दों में अपघटन बहुत उपयोगी हो सकता है।

जोड़ का एक और नियम, जिसके बारे में गणितज्ञ बात करना पसंद नहीं करते (उनकी एक और चाल), यह आवश्यक है कि शर्तों में माप की समान इकाइयाँ हों। सलाद, पानी और बोर्स्ट के लिए, ये वजन, आयतन, मान या माप की इकाइयाँ हो सकते हैं।

यह आंकड़ा गणित के लिए दो स्तरों के अंतर को दर्शाता है। पहला स्तर संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है, जो इंगित किया गया है ए, बी, सी... गणितज्ञ यही करते हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग कोष्ठक में दिखाया गया है और पत्र द्वारा इंगित किया गया है यू... भौतिक विज्ञानी यही करते हैं। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के क्षेत्र में अंतर। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की संख्या समान हो सकती है। यह कितना महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्ट त्रिकोणमिति के उदाहरण पर देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न वस्तुओं की माप की इकाइयों के समान पदनाम में सबस्क्रिप्ट जोड़ते हैं, तो हम कह सकते हैं कि कौन सा गणितीय मूल्य किसी विशेष वस्तु का वर्णन करता है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलता है। पत्र के द्वारा वूमैं पत्र के साथ पानी को नामित करूंगा एसमैं सलाद और पत्र को नामित करूंगा बी- बोर्श। बोर्श के लिए रैखिक कोणीय कार्य इस तरह दिखेगा।

अगर हम थोड़ा पानी और कुछ सलाद लें, तो वे एक साथ बोर्स्ट के एक हिस्से में बदल जाएंगे। यहाँ मेरा सुझाव है कि आप बोर्स्ट से एक ब्रेक लें और अपने दूर के बचपन को याद करें। याद रखें कि कैसे हमें खरगोशों और बत्तखों को एक साथ रखना सिखाया गया था? यह पता लगाना आवश्यक था कि कितने जानवर होंगे। फिर हमें क्या करना सिखाया गया? हमें इकाइयों को संख्याओं से अलग करना और संख्याओं को जोड़ना सिखाया गया। हाँ, किसी भी संख्या को किसी अन्य संख्या में जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के आत्मकेंद्रित के लिए एक सीधा रास्ता है - हम यह कर रहे हैं यह स्पष्ट नहीं है कि यह स्पष्ट नहीं है कि क्यों, और हम बहुत खराब तरीके से समझते हैं कि यह वास्तविकता से कैसे संबंधित है, अंतर के तीन स्तरों के कारण, गणित केवल एक ही संचालित होता है . एक मापन इकाई से दूसरी मापन इकाई में स्विच करना सीखना अधिक सही होगा।

और बन्नी, और बत्तख, और जानवरों को टुकड़ों में गिना जा सकता है। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक सामान्य इकाई हमें उन्हें एक साथ जोड़ने की अनुमति देती है। यह समस्या का बचकाना संस्करण है। आइए वयस्कों के लिए इसी तरह की समस्या पर एक नज़र डालें। यदि आप बन्नी और पैसा जोड़ते हैं तो क्या होता है? यहां दो संभावित समाधान हैं।

पहला विकल्प... हम खरगोशों का बाजार मूल्य निर्धारित करते हैं और इसे उपलब्ध राशि में जोड़ते हैं। हमें अपने धन का कुल मूल्य मौद्रिक दृष्टि से मिला।

दूसरा विकल्प... आप हमारे पास जितने बैंक नोट हैं, उनमें खरगोशों की संख्या जोड़ सकते हैं। हमें चल संपत्ति की संख्या टुकड़ों में मिलेगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, जोड़ का एक ही नियम आपको अलग-अलग परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे बोर्स्ट पर। अब हम देख सकते हैं कि रेखीय कोण फलन के कोण के विभिन्न मानों के लिए क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है, लेकिन पानी नहीं है। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह बिल्कुल भी नहीं है कि शून्य बोर्स्ट शून्य पानी के बराबर है। शून्य बोर्स्ट शून्य सलाद (समकोण) पर हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय प्रमाण है। शून्य जोड़े जाने पर संख्या नहीं बदलता है। इसका कारण यह है कि यदि केवल एक पद हो और दूसरा पद लुप्त हो तो योग स्वयं असंभव है। आप इसे अपनी इच्छानुसार जोड़ सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय कार्यों का आविष्कार स्वयं गणितज्ञों ने किया था, इसलिए गणितज्ञों द्वारा आविष्कार किए गए अपने तर्क और मूर्खतापूर्ण रटना परिभाषाओं को त्यागें: "शून्य से विभाजन असंभव है", "शून्य से गुणा कोई भी संख्या बराबर होती है" शून्य", "नॉक-आउट बिंदु शून्य के लिए" और अन्य प्रलाप। एक बार यह याद रखना पर्याप्त है कि शून्य एक संख्या नहीं है, और आपके पास कभी भी यह सवाल नहीं होगा कि शून्य एक प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आमतौर पर कोई अर्थ खो देता है: हम उस संख्या पर कैसे विचार कर सकते हैं जो एक संख्या नहीं है। यह पूछने जैसा है कि अदृश्य रंग किस रंग का होना चाहिए। किसी संख्या में शून्य जोड़ना पेंट के साथ पेंटिंग करने जैसा है जो मौजूद नहीं है। हमने सूखे ब्रश से लहराया और सभी से कहा कि "हमने पेंट किया है"। लेकिन मैं थोड़ा पीछे हटता हूं।

कोण शून्य से बड़ा है, लेकिन पैंतालीस डिग्री से कम है। हमारे पास सलाद बहुत है, लेकिन पर्याप्त पानी नहीं है। नतीजतन, हमें एक मोटा बोर्स्ट मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास बराबर मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोर्स्ट है (मुझे रसोइयों को माफ कर दो, यह सिर्फ गणित है)।

कोण पैंतालीस डिग्री से बड़ा है, लेकिन नब्बे डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सारा पानी और थोड़ा सलाद है। आपको लिक्विड बोर्स्ट मिलेगा।

समकोण। हमारे पास पानी है। सलाद से, केवल यादें रह जाती हैं, क्योंकि हम उस रेखा से कोण को मापना जारी रखते हैं जो कभी सलाद के लिए खड़ा था। हम बोर्स्ट नहीं पका सकते। बोर्स्ट की मात्रा शून्य है। इस मामले में, रुकें और पानी पीते रहें)))

यहां। कुछ इस तरह। मैं यहां अन्य कहानियां बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगी।

आम कारोबार में दो दोस्तों का हिस्सा था। उनमें से एक को मारने के बाद सब कुछ दूसरे के पास चला गया।

हमारे ग्रह पर गणित का उदय।

इन सभी कहानियों को रैखिक कोण कार्यों का उपयोग करके गणित की भाषा में बताया गया है। कभी-कभी मैं आपको गणित की संरचना में इन फलनों का वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, आइए बोर्स्ट के त्रिकोणमिति पर लौटते हैं और अनुमानों पर विचार करते हैं।

शनिवार, 26 अक्टूबर 2019

मैंने . के बारे में एक दिलचस्प वीडियो देखा ग्रैंडी रो एक माइनस वन प्लस वन माइनस वन - नंबरफाइल... गणितज्ञ झूठ बोलते हैं। उन्होंने अपने तर्क के दौरान समानता परीक्षण नहीं किया।

यह मेरे तर्क को प्रतिध्वनित करता है।

आइए गणितज्ञों द्वारा हमें धोखा देने के संकेतों पर करीब से नज़र डालें। तर्क की शुरुआत में, गणितज्ञ कहते हैं कि अनुक्रम का योग इस बात पर निर्भर करता है कि इसमें तत्वों की संख्या सम है या नहीं। यह एक वस्तुनिष्ठ रूप से निर्धारित तथ्य है। आगे क्या होता है?

फिर गणितज्ञ एक से एक क्रम घटाते हैं। इससे क्या होता है? इससे अनुक्रम में तत्वों की संख्या में परिवर्तन होता है - एक सम संख्या एक विषम संख्या में बदल जाती है, एक विषम संख्या एक सम संख्या में बदल जाती है। आखिरकार, हमने अनुक्रम में एक के बराबर एक तत्व जोड़ा है। सभी बाहरी समानताओं के बावजूद, रूपांतरण से पहले का क्रम रूपांतरण के बाद के क्रम के बराबर नहीं है। यहां तक ​​कि अगर हम एक अनंत अनुक्रम के बारे में बात कर रहे हैं, तो हमें यह याद रखना चाहिए कि विषम संख्या वाले तत्वों के साथ एक अनंत अनुक्रम एक समान संख्या वाले तत्वों के साथ अनंत अनुक्रम के बराबर नहीं है।

तत्वों की संख्या में भिन्न दो अनुक्रमों के बीच एक समान चिह्न लगाते हुए, गणितज्ञों का तर्क है कि अनुक्रम का योग अनुक्रम में तत्वों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है, जो एक वस्तुनिष्ठ रूप से निर्धारित तथ्य का खंडन करता है। अनंत अनुक्रम के योग के बारे में और तर्क गलत है, क्योंकि यह झूठी समानता पर आधारित है।

यदि आप देखते हैं कि गणितज्ञ प्रमाण के क्रम में कोष्ठक लगाते हैं, गणितीय व्यंजक के तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, कुछ जोड़ते या हटाते हैं, तो बहुत सावधान रहें, सबसे अधिक संभावना है कि वे आपको धोखा देने की कोशिश कर रहे हैं। कार्ड जादूगरों की तरह, गणितज्ञ आपको गलत परिणाम देने के लिए विभिन्न अभिव्यक्ति जोड़तोड़ के साथ आपका ध्यान भटकाते हैं। यदि आप धोखे के रहस्य को जाने बिना कार्ड चाल को दोहरा नहीं सकते हैं, तो गणित में सब कुछ बहुत सरल है: आपको धोखे के बारे में कुछ भी संदेह नहीं है, लेकिन गणितीय अभिव्यक्ति के साथ सभी जोड़तोड़ को दोहराने से आप दूसरों को सही होने के बारे में समझाने की अनुमति देते हैं। परिणाम, ठीक वैसे ही जब किसी चीज़ ने आपको आश्वस्त किया हो।

श्रोताओं का प्रश्न: और अनंत के बारे में क्या (जैसा कि अनुक्रम S में तत्वों की संख्या है), क्या यह सम या विषम है? आप किसी ऐसी चीज की समानता कैसे बदल सकते हैं जिसमें कोई समानता नहीं है?

गणितज्ञों के लिए अनंत, जैसे कि पुजारियों के लिए स्वर्ग का राज्य - कोई भी कभी नहीं रहा है, लेकिन हर कोई जानता है कि वहां सब कुछ कैसे काम करता है))) मैं मानता हूं, मृत्यु के बाद आप बिल्कुल उदासीन होंगे चाहे आप एक सम या विषम संख्या में रहे हों दिन, लेकिन ... आपके जीवन की शुरुआत में सिर्फ एक दिन, हमें एक पूरी तरह से अलग व्यक्ति मिलेगा: उसका उपनाम, नाम और संरक्षक बिल्कुल वही है, केवल जन्म तिथि पूरी तरह से अलग है - वह एक दिन पहले पैदा हुआ था आप।

और अब, संक्षेप में))) मान लीजिए कि एक परिमित अनुक्रम जिसमें समता है, अनंत में जाने पर इस समता को खो देता है। फिर अनंत अनुक्रम के किसी भी परिमित खंड को भी समता खोना चाहिए। हम यह नहीं देखते हैं। तथ्य यह है कि हम निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते कि अनंत अनुक्रम में तत्वों की संख्या सम या विषम है, इसका मतलब यह बिल्कुल नहीं है कि समता गायब हो गई है। समता, यदि यह मौजूद है, तो अनंत में एक निशान के बिना गायब नहीं हो सकती, जैसा कि एक शार्प की आस्तीन में होता है। इस मामले के लिए एक बहुत अच्छा सादृश्य है।

क्या आपने कभी घड़ी में बैठी कोयल से पूछा है कि घड़ी का हाथ किस दिशा में घूमता है? उसके लिए, तीर विपरीत दिशा में घूमता है जिसे हम "घड़ी की दिशा" कहते हैं। जैसा कि यह विरोधाभासी लगता है, रोटेशन की दिशा पूरी तरह से इस बात पर निर्भर करती है कि हम किस तरफ से रोटेशन का निरीक्षण करते हैं। और इसलिए, हमारे पास एक पहिया है जो मुड़ता है। हम यह नहीं कह सकते कि घूर्णन किस दिशा में होता है, क्योंकि हम इसे घूर्णन तल के एक तरफ से और दूसरी तरफ से देख सकते हैं। हम केवल इस तथ्य को प्रमाणित कर सकते हैं कि घूर्णन है। अनंत अनुक्रम की समता के साथ पूर्ण सादृश्य एस.

अब हम एक दूसरा चरखा जोड़ते हैं, जिसका घूर्णन तल पहले चरखा के घूर्णन तल के समांतर है। हम अभी भी निश्चित रूप से यह नहीं कह सकते कि ये पहिए किस दिशा में घूमते हैं, लेकिन हम यह निश्चित रूप से कह सकते हैं कि दोनों पहिए एक ही दिशा में घूमते हैं या विपरीत दिशाओं में। दो अंतहीन अनुक्रमों की तुलना करना एसतथा 1-एस, मैंने गणित की सहायता से दिखाया कि इन अनुक्रमों में अलग-अलग समानता है और उनके बीच एक समान चिह्न लगाना एक त्रुटि है। व्यक्तिगत रूप से, मैं गणित में विश्वास करता हूं, मुझे गणितज्ञों पर भरोसा नहीं है)) वैसे, अनंत अनुक्रमों के परिवर्तनों की ज्यामिति की पूरी समझ के लिए, अवधारणा को पेश करना आवश्यक है "एक साथ"... इसे ड्रा करना होगा।

बुधवार, 7 अगस्त 2019

के बारे में बातचीत का समापन, विचार करने के लिए एक अनंत संख्या है। नतीजा यह है कि "अनंत" की अवधारणा गणितज्ञों पर एक खरगोश पर बोआ कंस्ट्रिक्टर की तरह काम करती है। अनंत की कांपती भयावहता गणितज्ञों को सामान्य ज्ञान से वंचित करती है। यहाँ एक उदाहरण है:

मूल स्रोत स्थित है। अल्फा वास्तविक संख्या के लिए खड़ा है। उपरोक्त भावों में समान चिन्ह यह दर्शाता है कि यदि आप अनंत में एक संख्या या अनंत जोड़ते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, परिणाम वही अनंत होगा। यदि हम एक उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लेते हैं, तो विचार किए गए उदाहरणों को निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

उनकी शुद्धता के दृश्य प्रमाण के लिए, गणितज्ञ कई अलग-अलग तरीकों से आए हैं। व्यक्तिगत रूप से, मैं इन सभी तरीकों को तंबूरा के साथ नृत्य करने वाले शेमस के रूप में देखता हूं। संक्षेप में, वे सभी इस तथ्य पर उबालते हैं कि या तो कुछ कमरों पर कब्जा नहीं है और नए मेहमान आ रहे हैं, या कुछ आगंतुकों को मेहमानों के लिए जगह बनाने के लिए गलियारे में फेंक दिया जाता है (बहुत मानवीय)। मैंने ऐसे फैसलों पर अपने विचार गोरे लोगों के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में प्रस्तुत किए। मेरा तर्क किस पर आधारित है? असीमित संख्या में आगंतुकों को स्थानांतरित करने में अनंत समय लगता है। एक अतिथि के लिए पहला कमरा खाली करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा गलियारे के साथ अपने कमरे से अगले एक तक सदी के अंत तक चलेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खता से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह पहले से ही "मूर्खों के लिए कानून नहीं लिखा गया है" श्रेणी से होगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या कर रहे हैं: गणितीय सिद्धांतों से मेल खाने के लिए वास्तविकता को समायोजित करना या इसके विपरीत।

एक "अंतहीन होटल" क्या है? एक अंतहीन होटल एक ऐसा होटल है जिसमें हमेशा कितने ही खाली स्थान होते हैं, चाहे कितने भी कमरे भरे हों। यदि अंतहीन आगंतुक गलियारे के सभी कमरों पर कब्जा है, तो अतिथि कमरों के साथ एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारों की अनंत संख्या होगी। इसके अलावा, "अनंत होटल" में अनंत संख्या में देवताओं द्वारा बनाए गए अनंत ब्रह्मांडों में अनंत ग्रहों पर अनंत संख्या में इमारतों में अनंत मंजिलें हैं। गणितज्ञ, हालांकि, आम रोजमर्रा की समस्याओं से खुद को दूर नहीं कर पा रहे हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही हैं, होटल एक है, गलियारा केवल एक है। गणितज्ञ होटल के कमरों के क्रमांकों को टटोलने की कोशिश कर रहे हैं, हमें विश्वास दिलाते हैं कि आप "सामान को अंदर धकेल सकते हैं।"

मैं प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण पर आपको अपने तर्क का तर्क प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले, आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट हैं - एक या कई? इस प्रश्न का कोई सही उत्तर नहीं है, क्योंकि हमने स्वयं संख्याओं का आविष्कार किया है, प्रकृति में कोई संख्या नहीं है। हाँ, प्रकृति गिनती में उत्कृष्ट है, लेकिन इसके लिए वह अन्य गणितीय उपकरणों का उपयोग करती है जो हम से परिचित नहीं हैं। जैसा प्रकृति सोचती है, मैं आपको दूसरी बार बताऊंगा। चूँकि हमने संख्याओं का आविष्कार किया है, हम स्वयं तय करेंगे कि प्राकृत संख्याओं के कितने समुच्चय हैं। एक वास्तविक वैज्ञानिक के लिए उपयुक्त दोनों विकल्पों पर विचार करें।

विकल्प एक। "आइए हमें दिया जाए" प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट, जो शेल्फ पर शांति से स्थित है। हम इस सेट को शेल्फ से लेते हैं। बस इतना ही, शेल्फ पर कोई अन्य प्राकृतिक संख्याएँ नहीं बची हैं और उन्हें लेने के लिए कहीं नहीं है। हम इस सेट में एक नहीं जोड़ सकते, क्योंकि हमारे पास यह पहले से ही है। और अगर आप वास्तव में चाहते हैं? कोई दिक्कत नहीं है। हम पहले से लिए गए सेट में से एक ले सकते हैं और इसे शेल्फ पर वापस कर सकते हैं। उसके बाद, हम शेल्फ से एक इकाई ले सकते हैं और जो बचा है उसमें जोड़ सकते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फिर से प्राकृत संख्याओं का अनंत समुच्चय प्राप्त होता है। आप हमारे सभी जोड़तोड़ इस तरह लिख सकते हैं:

मैंने सेट के तत्वों की विस्तृत गणना के साथ बीजगणितीय संकेतन प्रणाली और सेट सिद्धांत में अपनाई गई संकेतन प्रणाली में क्रियाओं को लिखा। सबस्क्रिप्ट इंगित करता है कि हमारे पास प्राकृतिक संख्याओं का एक और केवल सेट है। यह पता चला है कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब कोई उसमें से घटाए और उसी इकाई को जोड़ दे।

विकल्प दो। हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - अलग, इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अप्रभेद्य हैं। हम इनमें से एक सेट लेते हैं। फिर हम प्राकृत संख्याओं के दूसरे समुच्चय से एक लेते हैं और उस समुच्चय में जोड़ते हैं जो हम पहले ही ले चुके हैं। हम प्राकृत संख्याओं के दो समुच्चय भी जोड़ सकते हैं। यहाँ हमें क्या मिलता है:

सबस्क्रिप्ट "एक" और "दो" इंगित करते हैं कि ये आइटम अलग-अलग सेट से संबंधित थे। हाँ, यदि आप अनंत समुच्चय में एक जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत समुच्चय होगा, लेकिन यह मूल समुच्चय के समान नहीं होगा। यदि हम एक अनंत समुच्चय में एक और अनंत समुच्चय जोड़ते हैं, तो परिणाम एक नया अनंत समुच्चय होगा जिसमें पहले दो समुच्चय के तत्व होंगे।

माप के लिए एक रूलर की तरह ही गिनने के लिए बहुत सारी प्राकृत संख्याओं का उपयोग किया जाता है। अब रूलर में एक सेंटीमीटर जोड़ने की कल्पना करें। यह पहले से ही एक अलग लाइन होगी, मूल के बराबर नहीं।

आप मेरे तर्क को स्वीकार करें या न करें - यह आपका अपना व्यवसाय है। लेकिन यदि आप कभी भी गणितीय समस्याओं का सामना करते हैं, तो सोचें कि क्या आप गणितज्ञों की पीढ़ियों द्वारा गलत तर्क के मार्ग का अनुसरण नहीं कर रहे हैं। आखिरकार, गणित करना, सबसे पहले, हम में सोच का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाते हैं, और उसके बाद ही हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ते हैं (या इसके विपरीत, हमें स्वतंत्र सोच से वंचित करते हैं)।

pozg.ru

रविवार, 4 अगस्त 2019

मैं एक लेख के बारे में एक पोस्टस्क्रिप्ट लिख रहा था और विकिपीडिया पर इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बेबीलोन के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में एक समग्र चरित्र नहीं था और यह असमान तकनीकों के एक सेट में सिमट गया था, एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित।"

वाह! हम कितने होशियार हैं और दूसरों की कमियों को हम कितनी अच्छी तरह देख सकते हैं। क्या आधुनिक गणित को उसी संदर्भ में देखना हमारे लिए कठिन है? उपरोक्त पाठ को थोड़ा सा समझाते हुए, मुझे व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित मिला:

आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार समग्र नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और साक्ष्य आधार से रहित असमान वर्गों के एक समूह में सिमट गया है।

मैं अपने शब्दों की पुष्टि करने के लिए दूर नहीं जाऊंगा - इसकी एक भाषा और परंपराएं हैं जो गणित की कई अन्य शाखाओं की भाषा और परंपराओं से अलग हैं। गणित के विभिन्न क्षेत्रों में एक ही नाम के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं। मैं आधुनिक गणित की सबसे स्पष्ट भूलों के लिए प्रकाशनों की एक पूरी श्रृंखला समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त 2019

एक सेट को कैसे उप-विभाजित करें? ऐसा करने के लिए, माप की एक नई इकाई दर्ज करना आवश्यक है जो चयनित सेट के कुछ तत्वों के लिए मौजूद है। आइए एक उदाहरण देखें।

आइए हम बहुत से एचार लोगों से मिलकर। यह समुच्चय "लोगों" के आधार पर बनता है आइए हम इस समुच्चय के तत्वों को अक्षर द्वारा निरूपित करें ए, एक अंक के साथ एक सबस्क्रिप्ट इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की क्रमिक संख्या को इंगित करेगा। आइए माप की एक नई इकाई "सेक्स" का परिचय दें और इसे अक्षर द्वारा निरूपित करें बी... चूंकि सभी लोगों में यौन विशेषताएं निहित हैं, इसलिए हम सेट के प्रत्येक तत्व को गुणा करते हैं एलिंग के अनुसार बी... ध्यान दें कि अब हमारे "लोगों" की भीड़ "यौन विशेषताओं वाले लोगों" की भीड़ बन गई है। उसके बाद, हम यौन विशेषताओं को मर्दाना में विभाजित कर सकते हैं बी.एम.और महिलाएं बीडब्ल्यूईयौन विशेषताएं। अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इनमें से किसी एक सेक्स विशेषता का चयन करते हैं, इससे कोई फ़र्क नहीं पड़ता कि कौन सा पुरुष या महिला है। यदि किसी व्यक्ति के पास है, तो हम उसे एक से गुणा करते हैं, यदि ऐसा कोई चिन्ह नहीं है, तो हम उसे शून्य से गुणा करते हैं। और फिर हम सामान्य स्कूली गणित को लागू करते हैं। देखिए क्या हुआ।

गुणा, कमी और पुनर्व्यवस्था के बाद, हमें दो उपसमुच्चय प्राप्त हुए: पुरुषों का एक उपसमुच्चय बी.एम.और महिलाओं का एक सबसेट बीडब्ल्यूई... जब वे सेट थ्योरी को व्यवहार में लागू करते हैं तो गणितज्ञ उसी के बारे में सोचते हैं। लेकिन वे हमें विवरण के लिए समर्पित नहीं करते हैं, लेकिन एक पूर्ण परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक सबसेट और महिलाओं का एक सबसेट होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपको आश्चर्य हो सकता है कि उपरोक्त परिवर्तनों में गणित को कितनी सही ढंग से लागू किया गया है? मैं आपको आश्वस्त करने की हिम्मत करता हूं, वास्तव में, सब कुछ सही ढंग से किया गया था, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित की अन्य शाखाओं के गणितीय आधार को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? मैं आपको इसके बारे में फिर कभी बताऊंगा।

सुपरसेट के लिए, आप इन दो सेटों के तत्वों के लिए मौजूद माप की इकाई को चुनकर दो सेटों को एक सुपरसेट में जोड़ सकते हैं।

जैसा कि आप देख सकते हैं, इकाइयाँ और सामान्य गणित सेट सिद्धांत को अतीत की बात बना देते हैं। एक संकेत है कि सेट थ्योरी ठीक नहीं है, यह है कि गणितज्ञ अपनी भाषा और सेट थ्योरी के लिए अंकन के साथ आए हैं। गणितज्ञों ने वही किया जो एक बार शेमस करते थे। केवल शेमस ही अपने "ज्ञान" को "सही ढंग से" लागू करना जानते हैं। वे हमें यह "ज्ञान" सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणितज्ञ किस तरह से हेरफेर करते हैं
मान लीजिए कि अकिलीज़ कछुए से दस गुना तेज दौड़ता है और उससे एक हजार कदम पीछे है। इस दूरी को चलाने में अकिलीज़ को जितना समय लगेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। जब अकिलीज़ सौ कदम दौड़ चुका होता है, तो कछुआ दस और कदम और रेंगता है, और इसी तरह। प्रक्रिया अनिश्चित काल तक जारी रहेगी, अकिलीज़ कछुए को कभी नहीं पकड़ पाएगा।

यह तर्क बाद की सभी पीढ़ियों के लिए एक तार्किक आघात के रूप में आया। अरस्तू, डायोजनीज, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट ... उन सभी को, एक तरह से या किसी अन्य, ज़ेनो के अपोरिया माना जाता है। झटका इतना जोरदार था कि " ... वर्तमान समय में चर्चा जारी है, वैज्ञानिक समुदाय अभी तक विरोधाभासों के सार के बारे में एक आम राय में आने में कामयाब नहीं हुआ है ... गणितीय विश्लेषण, सेट सिद्धांत, नए भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इस मुद्दे के अध्ययन में शामिल थे। ; उनमें से कोई भी प्रश्न का आम तौर पर स्वीकृत समाधान नहीं बन पाया है ..."[विकिपीडिया, ज़ेनो का अपोरिया"]। हर कोई समझता है कि उन्हें मूर्ख बनाया जा रहा है, लेकिन कोई नहीं समझता कि धोखा क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, ज़ेनो ने अपने एपोरिया में परिमाण से संक्रमण को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया। यह संक्रमण स्थिरांक के बजाय अनुप्रयोग का तात्पर्य है। जहां तक ​​मैं समझता हूं, माप की परिवर्तनीय इकाइयों को लागू करने के लिए गणितीय उपकरण या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे ज़ेनो के एपोरिया पर लागू नहीं किया गया है। अपने सामान्य तर्क को लागू करने से हम एक जाल में फंस जाते हैं। हम, सोच की जड़ता से, समय के मापन की निरंतर इकाइयों को व्युत्क्रम पर लागू करते हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, यह समय के फैलाव की तरह दिखता है जब तक कि यह उस समय पूरी तरह से बंद न हो जाए जब अकिलीज़ कछुए के साथ समतल हो। यदि समय रुक जाता है, तो अकिलीज़ कछुए से आगे नहीं निकल सकता।

अगर हम उस तर्क को पलट दें जिसके हम आदी हैं, तो सब कुछ ठीक हो जाता है। अखिलेश निरंतर गति से दौड़ता है। उसके पथ का प्रत्येक बाद का खंड पिछले वाले की तुलना में दस गुना छोटा है। तदनुसार, इस पर काबू पाने में लगने वाला समय पिछले वाले की तुलना में दस गुना कम है। यदि हम इस स्थिति में "अनंत" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह कहना सही होगा कि "अकिलीज़ कछुए के साथ असीम रूप से जल्दी से पकड़ लेगा।"

आप इस तार्किक जाल से कैसे बच सकते हैं? निरंतर समय इकाइयों में रहें और पीछे की ओर न जाएं। ज़ेनो की भाषा में, यह इस तरह दिखता है:

जिस समय के दौरान अकिलीज़ एक हज़ार कदम दौड़ेगा, कछुआ उसी दिशा में सौ कदम रेंगेगा। अगले समय के अंतराल में, पहले के बराबर, अकिलीज़ एक हजार और कदम चलाएगा, और कछुआ सौ कदम क्रॉल करेगा। अब अकिलीस कछुए से आठ सौ कदम आगे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभास के वास्तविकता का पर्याप्त रूप से वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूर्ण समाधान नहीं है। प्रकाश की गति की अयोग्यता के बारे में आइंस्टीन का कथन ज़ेनो एपोरिया "अकिलीज़ एंड द टर्टल" के समान है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन, पुनर्विचार और समाधान करना है। और समाधान को असीम रूप से बड़ी संख्या में नहीं, बल्कि माप की इकाइयों में खोजा जाना चाहिए।

एक और दिलचस्प एपोरिया ज़ेनो एक उड़ने वाले तीर के बारे में बताता है:

उड़ता हुआ तीर गतिहीन होता है, क्योंकि यह हर क्षण विरामावस्था में होता है, और चूँकि यह प्रत्येक क्षण में विरामावस्था में होता है, अत: यह सदैव विरामावस्था में रहता है।

इस एपोरिया में, तार्किक विरोधाभास को बहुत सरलता से दूर किया जाता है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक क्षण में एक उड़ने वाला तीर अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर टिकी हुई है, जो वास्तव में गति है। यहां एक और बिंदु पर ध्यान दिया जाना चाहिए। सड़क पर एक कार की एक तस्वीर से, उसके आंदोलन के तथ्य या उससे दूरी का निर्धारण करना असंभव है। एक कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, जो एक ही बिंदु से अलग-अलग समय पर लिए जाते हैं, लेकिन उनका उपयोग दूरी निर्धारित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, आपको एक ही समय में अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं से ली गई दो तस्वीरों की आवश्यकता होती है, लेकिन आप उनसे गति के तथ्य को निर्धारित नहीं कर सकते हैं (बेशक, आपको गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, त्रिकोणमिति आपकी मदद करेगी) . मैं जिस बात पर विशेष ध्यान देना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो बिंदु और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे अनुसंधान के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
मैं आपको एक उदाहरण के साथ प्रक्रिया दिखाता हूं। हम "एक दाना में लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। उसी समय, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और कोई धनुष नहीं है। उसके बाद हम "संपूर्ण" का एक हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" एक सेट बनाते हैं। इस तरह शेमस अपने सेट थ्योरी को हकीकत से बांधकर अपना पेट भरते हैं।

अब एक छोटी सी गंदी चाल करते हैं। "एक धनुष के साथ एक दाना में ठोस" लें और इन "संपूर्ण" को रंग से मिलाएं, लाल तत्वों का चयन करें। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब एक प्रश्न भरना है: परिणामी सेट "एक धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट हैं या वे दो अलग-अलग सेट हैं? इसका जवाब केवल शेमस ही जानते हैं। अधिक सटीक रूप से, वे स्वयं कुछ नहीं जानते हैं, लेकिन जैसा वे कहते हैं, वैसा ही हो।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि जब वास्तविकता की बात आती है तो सेट सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने "एक धनुष के साथ एक टक्कर में लाल ठोस" का एक सेट बनाया है। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों के अनुसार हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (दाना में), आभूषण (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का एक सेट गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का पर्याप्त रूप से वर्णन करना संभव बनाता है... यह है जो ऐसा लग रहा है।

विभिन्न सूचकांकों के साथ "ए" अक्षर माप की विभिन्न इकाइयों को दर्शाता है। माप की इकाइयों को कोष्ठक में हाइलाइट किया जाता है, जिसके द्वारा प्रारंभिक चरण में "संपूर्ण" आवंटित किया जाता है। माप की इकाई, जिससे समुच्चय बनता है, कोष्ठक से बाहर निकाला जाता है। अंतिम पंक्ति अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि हम एक सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है। और यह गणित है, न कि तंबूरा के साथ नाचने वाले शेमस। शमां "सहज रूप से" एक ही परिणाम पर आ सकते हैं, इसे "सबूत द्वारा" तर्क देते हुए, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

एक को विभाजित करने या कई सेटों को एक सुपरसेट में संयोजित करने के लिए इकाइयों का उपयोग करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित पर करीब से नज़र डालें।

प्राकृतिक संख्याओं का इतिहास आदिम काल का है।प्राचीन काल से, लोगों ने वस्तुओं की गिनती की है। उदाहरण के लिए, व्यापार में आपको कमोडिटी इनवॉइस या निर्माण में एक भौतिक चालान की आवश्यकता होती है। हाँ, रोज़मर्रा की ज़िंदगी में भी, मुझे चीज़ें, खाना, पशुधन भी गिनना पड़ता था। पहले तो जीवन में केवल गिनती के लिए, व्यवहार में संख्याओं का उपयोग किया जाता था, लेकिन बाद में, गणित के विकास के साथ, वे विज्ञान का हिस्सा बन गए।

पूर्णांकोंवे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम वस्तुओं को गिनते समय करते हैं।

उदाहरण के लिए: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,…।

शून्य प्राकृतिक संख्याओं पर लागू नहीं होता है।

सभी प्राकृत संख्याएँ या हमें प्राकृत संख्याओं का समुच्चय कहते हैं, प्रतीक N द्वारा निरूपित किया जाता है।

प्राकृतिक संख्या तालिका।

प्राकृतिक सीमा।

आरोही क्रम में एक पंक्ति में लिखी गई प्राकृतिक संख्याएँ प्राकृतिक पंक्तिया प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला।

प्राकृतिक श्रेणी गुण:

• सबसे छोटी प्राकृत संख्या एक होती है।
• प्राकृतिक श्रृंखला में अगली संख्या पिछली एक से एक के बाद एक बड़ी होती है। (१, २, ३, ...) यदि संख्याओं के अनुक्रम को पूरा करना असंभव है तो तीन बिंदु या दीर्घवृत्त लगाए जाते हैं।
• प्राकृतिक श्रेणी में सबसे बड़ी संख्या नहीं है, यह अनंत है।

उदाहरण 1:
प्रथम 5 प्राकृत संख्याएँ लिखिए।
समाधान:
प्राकृतिक संख्याएँ एक से शुरू होती हैं।
1, 2, 3, 4, 5

उदाहरण # 2:
क्या शून्य एक प्राकृत संख्या है?
जवाब न है।

उदाहरण # 3:
प्राकृतिक पंक्ति में पहली संख्या कौन सी है?
उत्तर: प्राकृतिक रेंज एक से शुरू होती है।

उदाहरण # 4:
प्राकृतिक श्रृंखला में अंतिम संख्या क्या है? सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या कौन सी है?
उत्तर: प्राकृतिक रेंज एक से शुरू होती है। प्रत्येक अगली संख्या एक-एक करके पिछली संख्या से बड़ी है, इसलिए अंतिम संख्या मौजूद नहीं है। कोई सबसे बड़ी संख्या नहीं है।

उदाहरण # 5:
क्या प्राकृतिक श्रृंखला में इकाई की पिछली संख्या होती है?
उत्तर नहीं है, क्योंकि प्राकृतिक पंक्ति में पहली संख्या एक है।

उदाहरण # 6:
संख्याओं के बाद प्राकृतिक पंक्ति में निम्नलिखित संख्या क्या है: a) 5, b) 67, c) 9998।
उत्तर: ए) 6, बी) 68, सी) 9999।

उदाहरण # 7:
संख्याओं के बीच प्राकृतिक पंक्ति में कितनी संख्याएँ हैं: a) 1 और 5, b) 14 और 19।
समाधान:
a) १, २, ३, ४, ५ - तीन संख्याएँ संख्या १ और ५ के बीच हैं।
b) 14, 15, 16, 17, 18, 19 - चार संख्याएं 14 और 19 के बीच हैं।

उदाहरण # 8:
संख्या 11 के बाद पिछली संख्या क्या है?
उत्तर: 10.

उदाहरण # 9:
आइटम गिनने के लिए किन नंबरों का उपयोग किया जाता है?
उत्तर: प्राकृतिक संख्याएँ।

सबसे सरल संख्या है प्राकृतिक संख्या... इनका उपयोग दैनिक जीवन में गिनती के लिए किया जाता है आइटम, यानी उनकी संख्या और क्रम की गणना करने के लिए।

एक प्राकृतिक संख्या क्या है: प्राकृतिक संख्याएंवे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग के लिए किया जाता है मदों की गिनती या सभी सजातीय से किसी भी वस्तु की क्रम संख्या को इंगित करने के लिएआइटम।

पूर्णांकोंएक से शुरू होने वाली संख्याएं हैं। गिनती करते समय वे स्वाभाविक रूप से बनते हैं।उदाहरण के लिए 1,2,3,4,5... -पहली प्राकृतिक संख्याएँ।

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या- एक। कोई सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं है। संख्या गिनते समय शून्य का उपयोग नहीं किया जाता है, इसलिए शून्य एक प्राकृत संख्या है।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखलासभी प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम है। प्राकृतिक संख्या संकेतन:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

एक प्राकृतिक पंक्ति में, प्रत्येक संख्या एक के बाद एक पिछली संख्या से बड़ी होती है।

प्राकृतिक पंक्ति में कितनी संख्याएँ होती हैं? प्राकृतिक संख्या अनंत है, सबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या मौजूद नहीं है।

दशमलव क्योंकि किसी भी अंक की 10 इकाइयाँ सबसे महत्वपूर्ण अंक की 1 इकाई बनाती हैं। स्थितीय तो किसी अंक का अर्थ संख्या में उसके स्थान पर कैसे निर्भर करता है, अर्थात उस श्रेणी से जहां यह लिखा गया है।

प्राकृतिक संख्याओं के वर्ग।

किसी भी प्राकृत संख्या को 10 अरबी अंकों का प्रयोग करके लिखा जा सकता है:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

प्राकृत संख्याओं को पढ़ने के लिए, उन्हें दाईं ओर से शुरू करते हुए, प्रत्येक 3 अंकों के समूहों में विभाजित किया जाता है। 3 पहले दाईं ओर की संख्याएँ इकाइयों का वर्ग हैं, अगले ३ हज़ारों के वर्ग हैं, फिर लाखों, अरबों के वर्ग हैं औरआदि। वर्ग की प्रत्येक संख्या को it . कहा जाता हैमुक्ति.

प्राकृतिक संख्याओं की तुलना।

2 प्राकृत संख्याओं में से वह संख्या कम है जिसे गिनते समय पहले कहा जाता था। उदाहरण के लिए, संख्या 7 छोटे 11 (इस तरह लिखा है:7 < 11 ) जब एक संख्या दूसरी से बड़ी हो, तो इसे इस प्रकार लिखा जाता है:386 > 99 .

श्रेणियों की तालिका और संख्याओं के वर्ग।

प्रथम श्रेणी इकाई	इकाई का पहला अंक दूसरी रैंक दसियों तीसरी रैंक सैकड़ों
द्वितीय श्रेणी हजार	हजार . की पहली अंक इकाइयाँ दूसरी रैंक दसियों हज़ार तीसरी रैंक सैकड़ों हजारों
तीसरी कक्षा लाखों	पहली अंक इकाई मिलियन दूसरी रैंक दसियों लाख तीसरी रैंक सैकड़ों लाखों
चौथी कक्षा अरबों	पहली अंक इकाई अरब दूसरी रैंक दसियों अरबों तीसरी रैंक सैकड़ों अरबों

5वीं कक्षा और उससे ऊपर की संख्याएँ बड़ी संख्याएँ हैं। ५ वीं कक्षा की इकाइयाँ - खरब, ६ वीं वर्ग - क्वाड्रिलियन, 7वीं कक्षा - क्विंटिलियन, 8वीं कक्षा - सेक्सटिलियन, 9वीं कक्षा -एप्टिलियंस प्राकृतिक संख्याओं के मूल गुण। जोड़ की कम्यूटेटिविटी ... ए + बी = बी + ए गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता। अब = बा अतिरिक्त संबद्धता। (ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) गुणन की साहचर्यता। जोड़ के सापेक्ष गुणन का वितरण: प्राकृतिक संख्याओं पर क्रियाएँ। 4. प्राकृत संख्याओं का विभाजन गुणन के विपरीत एक संक्रिया है। अगर बी सी = ए, फिर डिवीजन फॉर्मूला: ए: 1 = ए ए: ए = 1, ए 0 0: ए = 0, ए 0 (ए∙ बी): सी = (ए: सी) ∙ बी (एबी): सी = (बी: सी) ए संख्यात्मक अभिव्यक्तियाँ और संख्यात्मक समानताएँ। वह अंकन जहाँ संख्याएँ क्रिया चिह्नों से जुड़ी होती हैं, है संख्यात्मक अभिव्यक्ति. उदाहरण के लिए, 10 3 + 4; (६०-२ ५) : १०. रिकॉर्ड जहां 2 अंकीय व्यंजकों को एक समान चिह्न के साथ जोड़ा जाता है संख्यात्मक समानताएं. समानता के बाएँ और दाएँ पक्ष हैं। अंकगणितीय संचालन करने का क्रम। संख्याओं का जोड़ और घटाव पहली डिग्री की क्रियाएं हैं, और गुणा और भाग दूसरी डिग्री की क्रियाएं हैं। जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति में केवल एक डिग्री की क्रियाएं होती हैं, तो उन्हें क्रमिक रूप से किया जाता हैबाएं से दाएं। जब अभिव्यक्तियों में केवल पहली और दूसरी डिग्री की क्रियाएं होती हैं, तो क्रियाएं पहले की जाती हैं। दूसरी डिग्री, और फिर - पहली डिग्री की क्रियाएं। जब व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, तो कोष्ठक में क्रिया पहले की जाती है। उदाहरण के लिए, 36: (10-4) + 3 ∙ 5 = 36: 6 + 15 = 6 + 15 = 21.

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को गिनने के लिए किया जाता है। प्राकृतिक संख्याओं में शामिल नहीं है:

• ऋणात्मक संख्याएँ (जैसे -1, -2, -100)।
• भिन्नात्मक संख्याएँ (उदाहरण के लिए, 1.1 या 6/89)।
• नंबर 0.

हम ऐसी प्राकृत संख्याएँ लिखते हैं जो 5 . से कम हों

कुल मिलाकर ऐसी कुछ संख्याएँ होंगी:
1, 2, 3, 4 - ये सभी प्राकृत संख्याएँ हैं जो 5 से कम हैं। ऐसी कोई और संख्याएँ नहीं हैं।
अब उन संख्याओं को लिखना बाकी है जो प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत हैं। डेटा के विपरीत संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें विपरीत चिह्न होता है (दूसरे शब्दों में, वे संख्याएँ -1 से गुणा होती हैं)। संख्या 1, 2, 3, 4 के विपरीत संख्याओं को खोजने के लिए, आपको इन सभी संख्याओं को विपरीत चिह्न (-1 से गुणा) के साथ लिखना होगा। हो जाए:
-1, -2, -3, -4 - ये सभी संख्याएँ हैं जो संख्या 1, 2, 3, 4 के विपरीत हैं। आइए उत्तर लिखते हैं।
उत्तर: 5 से छोटी प्राकृत संख्याएँ संख्याएँ 1, 2, 3, 4 हैं;
जो संख्याएँ पाई गई संख्याओं के विपरीत हैं वे संख्याएँ हैं -1, -2, -3, -4।