Die Heisenbergsche Unschärferelation. Die Heisenbergsche Unschärferelation wird als eine der grundlegenden, fundamentalen Bestimmungen der Quantenmechanik vorgestellt
Es ist unmöglich, Mikropartikeln entweder alle Eigenschaften von Partikeln oder alle Eigenschaften einer Welle zuzuschreiben.
Es ist notwendig, Einschränkungen in die Mikrowelt der Konzepte der klassischen Physik einzuführen. In der klassischen Physik bewegt sich jedes Teilchen entlang einer bestimmten Flugbahn und es ist zu jedem Zeitpunkt möglich, seine Koordinate und seinen Impuls (immer) genau zu bestimmen. Aufgrund des Vorhandenseins von Welleneigenschaften unterscheidet sich ein Mikropartikel von klassischen Partikeln, und der Hauptunterschied besteht darin, dass es unmöglich ist, über die Bewegung von Partikeln entlang einer bestimmten Flugbahn zu sprechen und gleichzeitig die Koordinate eines Partikels genau zu bestimmen durch seinen Schwung.
Der Begriff der Wellenlänge in (0) hat überhaupt keine Bedeutung. Daher kann ein Teilchen mit exaktem Impuls keine exakte Koordinate haben und umgekehrt.
1927 führte Heisenberg die Unschärferelation ein:
das Produkt aus den Unsicherheiten der Koordinaten und der entsprechenden Projektion des Impulses darf nicht kleiner als Ћ sein.
z∆p z ≥Ћ
Lassen Sie den Elektronenfluss durch einen schmalen Spalt x, da das Elektron Welleneigenschaften hat, dann wird beim Durchgang durch einen Spalt, dessen Größe vergleichbar mit der de Broglie-Welle λ B ist, auf dem Schirm ein Beugungsmuster mit einem Hauptmaximum beobachtet. Vor dem Schlitz bewegen sich Elektronen entlang der y-Achse, und die Projektion ihres Impulses auf die x = 0-Achse (p x = 0 und ∆x = 0 (vor dem Schlitz)) ist absolut undefiniert. Beim Durchgang durch den Spalt wird die Position des Elektrons auf der x-Achse durch die Spaltgröße ∆x bestimmt. Gleichzeitig werden sie aufgrund der Elektronenbeugung um einen Winkel 2φ abgelenkt, wobei der Winkel ist, der dem ersten Beugungsmaximum am Spalt entspricht. Es besteht Unsicherheit für die Impulsprojektion für die x-Achse.
∆ p x = p Sinφ = (2πЋ / λ B) Sinφ
Gemäß der Bedingung des ersten Beugungsmaximums am Spalt sollte Δx · Sinφ gleich einer geraden Anzahl von Halbwellen sein.
Beim ersten Minimum ist dies λ.
x · Sinφ = λ; x = λ / Sinφ;
Dann gilt ∆x ∆p x = (λ / Sinφ) (2πЋ / λ B) Sinφ = 2πЋ
Es gibt noch eine andere Beziehung:
∆E ist die Unsicherheit der Energie im System zum Zeitpunkt der Energiemessung.
∆t ist die Unsicherheit der Dauer des Messvorgangs.
System. mit einer Lebensdauer Δt kann nicht durch einen bestimmten Energiewert charakterisiert werden.
Zeitunsicherheit ist die Zeit, in der sich das System in einem Zustand unsicherer Energie befindet. Zum Beispiel die Emission eines Wellenzugs durch einen Körper (dann ist es unmöglich, Energie zu messen).
Schätzung unter Verwendung der Grundzustandsunsicherheitsbeziehung.
Die Teilchen befinden sich in einem Potentialtopf der Breite L, wo sie sich nur im zweiten Bereich befinden können und nicht in den ersten und dritten Bereich gelangen können, weil die Wanne hat für ein Teilchen undurchdringliche Wände (an den Grenzen der Potentialwanne, U = ∞)
Impulsunsicherheit 100 %.
Dann ist xΔp x ≥Ћ
L 2 Δp x 2 ≥Ћ 2
p x = mΔv x = p x
L 2 m 2 ∆v x 2 ≥Ћ 2, dann L 2 m 2 v x 2 ≥Ћ 2
L 2 (m 2 ∆v x 2 / 2m) ≥Ћ 2 / 2m (Energie in Klammern)
E = Ћ 2 / 2mL 2 ist die Energie des Grundzustandes
Daraus folgt, dass ein Teilchen in einem Potentialtopf niemals auf dem Boden dieses Brunnens „liegen“ kann, weil die Unschärferelation verletzt würde, in diesem Fall wären sowohl die Koordinate als auch der Impuls bekannt.
Abschätzung der natürlichen Spektrallinienbreite.
Breite ist die Verteilung in Energien.
Das System kann sich für eine Zeit τ = ∞ im nicht angeregten Zustand befinden.
Im angeregten Zustand ist das System τ = 10-8 s.
Nach dem Unschärfeprinzip kann die Energie des angeregten Zustands nicht genau bestimmt werden und es bleibt immer ∆E · ∆t≥Ћ.
Für den Grundzustand bei τ = ∞.
E 0 = Ћ / ∞ = 0
daher ist der Grundzustand ein unendlich schmales Grundniveau.
Für einen angeregten Zustand:
∆E B = Ћ / τ = Ћ / 10 -8 = 10 -26 J = 10 -7 Ev
Der angeregte Zustand ist bereits das Intervall ∆E B.
∆E В - Spektrallinienbreite.
Beide Heisenberg-Relationen können gleichgesetzt werden:
∆E · t = ∆x∆p x, dann interessiert uns die Breite der Spektrallinie bei Wellenlängen.
E = (- 2πЋc / λ 2) ∆λ; ∆λ = ∆Eλ 2 / 2πЋc („-“ kann entfernt werden)
Bei λ = 600 nm (sichtbares Licht) und ∆E = 10 -7 eV ist = 10 -4 eine solche Ungenauigkeit, so groß ist die Breite in der Realität.
Material aus der freien russischen Enzyklopädie "Tradition"
In der Quantenmechanik Heisenbergsche Unschärferelation
(oder Heisenberg
) stellt fest, dass es einen Grenzwert ungleich null für das Produkt der Varianzen konjugierter Paare physikalischer Größen gibt, die den Zustand des Systems charakterisieren. Das Unsicherheitsprinzip findet sich auch in der klassischen Theorie der Messungen physikalischer Größen.
Üblicherweise wird das Unsicherheitsprinzip wie folgt dargestellt. Betrachten Sie ein Ensemble von nicht wechselwirkenden äquivalenten Partikeln, die in einem bestimmten Zustand hergestellt wurden, für die entweder die Koordinate Q , oder Impuls P ... In diesem Fall handelt es sich bei den Messergebnissen um Zufallsvariablen, deren Standardabweichungen von den Mittelwerten die Unsicherheitsbeziehung erfüllen, wobei -. Da jede Messung den Zustand jedes Partikels ändert, ist es in einer Messung unmöglich, gleichzeitig die Werte von Koordinaten und Impuls zu messen. Bei einem Partikelensemble führt eine Abnahme der Dispersion bei der Messung einer physikalischen Größe zu einer Zunahme der Dispersion der konjugierten physikalischen Größe. Es wird angenommen, dass das Unsicherheitsprinzip nicht nur mit den Fähigkeiten der experimentellen Technologie verbunden ist, sondern auch zeigt grundlegende Eigenschaft Natur.
Inhalt
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Kurze Review
In der Quantenmechanik entsteht eine Unschärferelation zwischen beliebigen Zustandsvariablen definiert durch nicht pendelnd Betreiber. Außerdem wird angenommen, dass der Teilchen-Welle-Dualismus zumindest teilweise für Teilchen gilt. In dieser Näherung wird die Position des Teilchens durch den Konzentrationsort der dem Teilchen entsprechenden Welle bestimmt, der Impuls des Teilchens ist mit der Wellenlänge verbunden, und es ergibt sich eine offensichtliche Analogie zwischen den Unsicherheitsbeziehungen und den Eigenschaften von Wellen oder Signale. Die Position ist unsicher, sofern die Welle im Raum verteilt ist, und die Unsicherheit des Impulses leitet sich aus der Unsicherheit der Wellenlänge ab, wenn diese zu verschiedenen Zeitpunkten gemessen wird. Wenn die Welle in ist punktförmig Region wird ihre Position mit guter Genauigkeit bestimmt, aber einer solchen Welle in Form eines kurzen Wellenzugs fehlt eine bestimmte Wellenlängencharakteristik einer unendlichen monochromatischen Welle.
Die Wellenfunktion kann als die dem Teilchen entsprechende Welle aufgefasst werden. In der Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik tritt Dekohärenz bei jeder Messung der Position eines Teilchens auf. Im Gegensatz dazu heißt es in der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik, dass es bei jeder Messung der Position eines Teilchens so ist, als ob die Wellenfunktion auf einen kleinen Bereich kollabiert, in dem sich das Teilchen befindet, und außerhalb dieses Bereichs die Wellenfunktion nahe Null ist (diese Beschreibung wird als mögliche Methode zur Anpassung des Verhaltens der Wellenfunktion als Eigenschaft eines Teilchens angenommen, da die Wellenfunktion nur indirekt mit realen physikalischen Größen zusammenhängt). Diese Interpretation folgt aus der Tatsache, dass das Quadrat der Wellenfunktion die Wahrscheinlichkeit angibt, ein Teilchen im Raum zu finden. Für einen kleinen Bereich kann der Impuls eines Teilchens in jeder Dimension aufgrund des Verfahrens zur Impulsmessung nicht genau gemessen werden. Bei der Positionsmessung wird das Teilchen häufiger dort erfasst, wo das Maximum der Wellenfunktion ist, und bei einer Reihe von identischen Messungen wird die wahrscheinlichste Position angezeigt und die Standardabweichung davon bestimmt:
Ebenso wird in einer Reihe identischer Messungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung durchgeführt, die statistische Varianz und die Standardabweichung vom mittleren Impuls des Teilchens bestimmt:
Das Produkt dieser Größen hängt mit der Unschärferelation zusammen:
wo ist die Dirac-Konstante.
In manchen Fällen wird die „Unsicherheit“ einer Variablen als kleinste Breite des Bereichs definiert, der 50% der Werte enthält, was bei einer Normalverteilung von Variablen dazu führt, dass das Produkt der Unsicherheiten zu einem größeren unteren gebunden, die gleich wird. Gemäß der Unschärferelation kann der Zustand so sein, dass x kann mit hoher Präzision gemessen werden, aber dann P wird nur näherungsweise bekannt sein oder umgekehrt P genau bestimmt werden kann, während x - Nein. In allen anderen Staaten und x und P mit "angemessener", aber nicht beliebig hoher Genauigkeit gemessen werden kann.
Unsicherheitsrelationen schränken die theoretische Grenze der Genauigkeit jeder Messung ein. Sie gelten für die sogenannten idealen Messungen, manchmal auch John-von-Neumann-Messungen genannt. Sie gelten umso mehr für unvollkommene Messungen oder Messungen nach L.D. Landauer. Im Alltag beobachten wir in der Regel keine Unsicherheit, da der Wert extrem klein ist.
In der Regel ist jedes Teilchen (in Allgemeinsinn B. eine diskrete elektrische Ladung tragen) kann nicht gleichzeitig als "klassisches Punktteilchen" und als Welle beschrieben werden. Die Unschärferelation in der ursprünglich von Heisenberg vorgeschlagenen Form gilt, wenn keiner dieser beiden Beschreibungen ist nicht vollständig und ausschließlich zutreffend. Ein Beispiel ist ein Teilchen mit einem bestimmten Energiewert in einer Box. Ein solches Teilchen ist ein System, das nicht charakterisiert ist durch Noch eine bestimmte "Position" (ein bestimmter Wert des Abstands von der potentiellen Wand), Noch ein bestimmter Wert des Impulses (einschließlich seiner Richtung).
Das Unbestimmtheitsprinzip ist nicht nur in Experimenten für viele Teilchen in den gleichen Anfangszuständen erfüllt, wenn die Standardabweichungen von den Mittelwerten für ein Paar getrennt voneinander gemessener konjugierter physikalischer Größen berücksichtigt werden, sondern auch in jedem einzelnen Messung, wenn es möglich ist, die Werte und die Streuung beider physikalischer Größen zu schätzen. Obwohl das Unsicherheitsprinzip mit Beobachtereffekt , es erschöpft sich damit nicht, da es auch mit den Eigenschaften der beobachteten Quantenobjekte und deren Wechselwirkungen untereinander und mit Geräten verbunden ist.
Geschichte
Hauptartikel: Einführung in die Quantenmechanik
Werner Heisenberg formulierte das Unsicherheitsprinzip am Niels-Bohr-Institut in Kopenhagen während seiner Arbeit an mathematische Grundlagen Quantenmechanik.
1925 entwickelte Heisenberg nach den Arbeiten von Hendrik Kramers die Matrixmechanik, die die frühere Version der Quantenmechanik basierend auf Bohrs Postulaten ersetzte. Er schlug vor, dass sich die Quantenbewegung von der klassischen Bewegung unterscheidet, sodass Elektronen in einem Atom keine wohldefinierten Bahnen haben. Folglich kann man für ein Elektron nicht mehr genau sagen, wo es sich befindet die angegebene Zeit und wie schnell es sich bewegt. Die Eigenschaft der Heisenberg-Matrizen für Ort und Impuls ist, dass sie nicht miteinander kommutieren:
Im März 1926 stellte Heisenberg fest, dass Nicht-Kommutativität führt zum Prinzip der Unsicherheit, das die Grundlage für die spätere Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik wurde. Heisenberg zeigte den Zusammenhang zwischen dem Kommutator der Größenoperatoren und dem Bohrschen Komplementaritätsprinzip. Zwei beliebige Größen, die nicht miteinander kommutieren, können nicht gleichzeitig genau gemessen werden, da mit einer Erhöhung der Messgenauigkeit einer Variablen die Messgenauigkeit der anderen Variablen abnimmt.
Als Beispiel können wir die Beugung eines Teilchens betrachten, das durch einen schmalen Spalt im Bildschirm hindurchtritt und sich nach einem bestimmten Winkel ablenkt. Je enger die Lücke ist, desto größer ist die Unsicherheit in Richtung des Impulses des übertragenen Teilchens. Nach dem Beugungsgesetz ist die mögliche Winkelabweichung Δθ ungefähr gleich λ / D , wo D die Spaltbreite ist und λ die dem Teilchen entsprechende Wellenlänge ist. Verwenden wir die Formel für in der Form λ = h / P , und benennen DΔθ = Δ x , dann erhält man die Heisenberg-Relation:
In seiner Arbeit von 1927 stellte Heisenberg diese Beziehung als die minimal notwendige Störung in der Größe des Impulses eines Teilchens dar, die sich aus der Messung der Position eines Teilchens ergibt, gab jedoch keine genaue Definition der Werte von Δx und Δp. Stattdessen machte er ihre Einschätzungen bei einer Reihe von Gelegenheiten. In seinem Vortrag in Chicago verdeutlichte er sein Prinzip wie folgt:
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V moderne Form die Unschärferelation wurde 1927 von E. H. Kennard aufgezeichnet: |
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wo und σ x, σ p sind die quadratischen Mittelwerte (Standard)-Abweichungen von Position und Impuls. Heisenberg selbst hat die Beziehung (2) nur für den Spezialfall der Gaußschen Zustände bewiesen. ...
Das Unsicherheitsprinzip und der Beobachtereffekt
Eine der Varianten des Unsicherheitsprinzips lässt sich wie folgt formulieren:
Die Messung der Koordinate eines Teilchens ändert zwangsläufig seinen Impuls und umgekehrt .
Dies macht das Unschärfeprinzip zu einer besonderen, quantenmechanischen Variante. Beobachtereffekt , und der Beobachter kann automatisiertes System Messungen sowohl nach dem Prinzip der direkten Teilchenfixierung als auch nach der Ausschlussmethode (Teilchen, die nicht in den Detektor gelangten, gingen einen anderen verfügbaren Weg).
Diese Erklärung kann akzeptiert werden und wurde von Heisenberg und Bohr verwendet, die auf der philosophischen Grundlage des logischen Positivismus standen. Nach der Logik des Positivismus wird für den Forscher die wahre Natur des beobachteten physikalischen Systems durch die Ergebnisse der genauesten Experimente bestimmt, die im Prinzip erreichbar und nur durch die Natur selbst begrenzt sind. Das Auftreten von unvermeidlichen Ungenauigkeiten bei Messungen ist dabei nicht nur eine Folge der Eigenschaften der tatsächlich verwendeten Geräte, sondern auch des physikalischen Systems selbst als Ganzes, einschließlich des Objekts und des Messsystems.
Derzeit ist der logische Positivismus kein allgemein akzeptiertes Konzept, daher wird die Erklärung des Unsicherheitsprinzips basierend auf dem Beobachtereffekt für diejenigen unvollständig, die an einem anderen philosophischen Ansatz festhalten. Manche Leute glauben, dass die signifikante Änderung seines Impulses, die sich aus der Messung der Teilchenkoordinate ergibt, eine notwendige Eigenschaft nicht des Teilchens, sondern nur des Messvorgangs ist. Tatsächlich hat das vor dem Beobachter verborgene Teilchen zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Ort und einen bestimmten Impuls, aber ihre Werte werden aufgrund der Verwendung zu grober Instrumente (der Theorie der versteckten Parameter) nicht genau bestimmt. Zur Veranschaulichung können Sie ein Beispiel geben: Sie müssen den Ort und den Impuls einer sich bewegenden Billardkugel mit einer anderen Billardkugel ermitteln. In einer Versuchsreihe, bei der beide Kugeln ungefähr gleich gerichtet sind und kollidieren, kann man die Streuwinkel der Kugeln, ihre Impulse bestimmen und dann die Punkte ihrer Begegnung bestimmen. Aufgrund der anfänglichen Ungenauigkeiten ist jede Kollision einzigartig, es gibt eine Streuung in Ort und Geschwindigkeit der Kugeln, was für eine Reihe von Kollisionen zu einer entsprechenden Unsicherheitsbeziehung führt. Gleichzeitig wissen wir jedoch mit Sicherheit, dass sich die Kugeln in jeder einzelnen Dimension bewegen und zu jedem Zeitpunkt einen ganz bestimmten Impuls besitzen. Dieses Wissen wiederum ergibt sich daraus, dass die Kugeln mit Hilfe von reflektiertem Licht überwacht werden können, was die Bewegung massiver Kugeln praktisch nicht beeinflusst.
Die beschriebene Situation verdeutlicht die Entstehung des Unsicherheitsprinzips und die Abhängigkeit der Messergebnisse vom Messverfahren und den Eigenschaften von Messgeräten. In realen Experimenten wurde jedoch noch keine Methode gefunden, um die Parameter von Elementarteilchen gleichzeitig mit externen Instrumenten zu messen, ohne deren Anfangszustand signifikant zu verletzen. Daher ist die Idee, die Parameter von Teilchen in der Standard-Quantenmechanik vor dem Beobachter zu verbergen, nicht erfolgreich und behauptet normalerweise einfach, dass es keine Zustände gibt, in denen man gleichzeitig die Koordinate und den Impuls eines Teilchens messen kann.
Es gibt jedoch Situationen, in denen die latenten Parameter der Partikel wahrscheinlich bestimmt werden können. Wir sprechen von zwei (oder mehr) gebundenen Teilchen im sogenannten verschränkten Zustand. Wenn diese Partikel einen ausreichend großen Abstand voneinander haben und sich nicht gegenseitig beeinflussen können, ergibt die Messung der Parameter eines Partikels nützliche Informationenüber den Zustand eines anderen Teilchens.
Angenommen, beim Zerfall von Positronium werden zwei Photonen in entgegengesetzte Richtungen emittiert. Lassen Sie uns zwei Detektoren so platzieren, dass der erste die Position eines Photons und der zweite Detektor den Puls eines anderen Photons messen kann. Nach simultanen Messungen ist es unter Verwendung des Impulserhaltungssatzes möglich, sowohl den Impuls als auch die Richtung des ersten Photons und seinen Ort beim Auftreffen auf den ersten Detektor ziemlich genau zu bestimmen. Eine Änderung des Messverfahrens vermeidet in diesem Fall die Notwendigkeit von obligatorische Nutzung das Prinzip der Unsicherheit als begrenzendes Mittel zur Berechnung von Messfehlern. Die beschriebene Situation hebt das Unschärfeprinzip als solches nicht auf, da Koordinate und Impuls gleichzeitig nicht für ein Teilchen lokal, sondern für zwei voneinander entfernte Teilchen gemessen werden.
Heisenberg Mikroskop
Als ein Beispiel zur Veranschaulichung des Unschärfeprinzips nannte Heisenberg ein imaginäres Mikroskop als Messgerät. Mit seiner Hilfe misst der Experimentator die Position und den Impuls des Elektrons, das das einfallende Photon streut und so seine Anwesenheit aufdeckt.
Wenn das Photon eine kurze Wellenlänge und damit einen großen Impuls hat, kann die Position des Elektrons im Prinzip ziemlich genau gemessen werden. Aber in diesem Fall streut das Photon zufällig und überträgt einen ausreichend großen und unbestimmten Bruchteil seines Impulses auf das Elektron. Wenn das Photon eine lange Wellenlänge und einen kleinen Impuls hat, ändert es den Impuls des Elektrons wenig, aber die Streuung bestimmt die Position des Elektrons sehr ungenau. Als Ergebnis bleibt das Produkt der Unsicherheiten in Koordinaten und Impuls nicht kleiner als die Planck-Konstante, bis zu einem numerischen Faktor in der Größenordnung von Eins. Heisenberg hat für das Unschärfeprinzip keinen exakten mathematischen Ausdruck formuliert, sondern das Prinzip als heuristische quantitative Beziehung verwendet.
Kritik
Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik und des Prinzips Unsicherheiten Heisenbergs erwies sich als doppeltes Ziel für diejenigen, die an Realismus und Determinismus glaubten. Die Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik enthält keine fundamentale Realität, die einen Quantenzustand beschreibt und eine Methode zur Berechnung experimenteller Ergebnisse vorschreibt. Es ist nicht im Voraus bekannt, dass sich das System in einem Grundzustand befindet, so dass bei Messungen ein genau spezifiziertes Ergebnis erscheint. Das physikalische Universum existiert nicht in deterministisch Form, sondern als Sammlung von Wahrscheinlichkeiten oder Möglichkeiten. Zum Beispiel kann das Muster (Wahrscheinlichkeitsverteilung), das von Millionen von Photonen erzeugt wird, die durch einen Spalt gebeugt werden, mit Hilfe der Quantenmechanik berechnet werden, aber der genaue Weg jedes Photons kann durch keine bekannte Methode vorhergesagt werden. Copenhagen Interpretation glaubt, dass es überhaupt nicht vorhersehbar ist Nein Methode.
Diese Interpretation stellte Einstein in Frage, als er an Max Born schrieb: „Ich bin sicher, dass Gott nicht die Würfel rollt“ ( sterben Theorie liefert viel. Aber ich bin überzeugt, dass der Alte nicht würfelt ). Niels Bohr, einer der Autoren der Kopenhagener Interpretation, antwortete: "Einstein, sag Gott nicht, was er tun soll."
Albert Einstein glaubte, dass Zufälligkeit als Widerspiegelung unserer Unkenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Realität erscheint, während Bohr glaubte, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung je nach Art der Messung fundamental und einzigartig ist. Die Debatte zwischen Einstein und Bohr über die Unschärferelation dauerte Jahre.
Schlitz im Bildschirm
Einsteins erstes Gedankenexperiment zum Testen der Unschärferelation lautete wie folgt:
Betrachten Sie ein Teilchen, das durch einen Spalt in einem Schirm der Breite d hindurchgeht. Der Spalt führt zu einer Unsicherheit des Teilchenimpulses in der Größenordnung von h / d, wenn das Teilchen das Sieb passiert. Der Impuls eines Teilchens lässt sich aber mit ausreichender Genauigkeit aus dem Rückstoß des Schirms nach dem Impulserhaltungssatz bestimmen.
Bohrs Antwort lautete: Da der Schirm den Gesetzen der Quantenmechanik gehorcht, muss der Rückstoß mit einer Genauigkeit von Δ gemessen werden P der Impuls des Schirms muss bis zum Durchgang eines Teilchens mit einer solchen Genauigkeit bekannt sein. Dies führt zu einer Unsicherheit in der Position des Bildschirms und des Schlitzes, gleich h / Δ P , und wenn der Impuls des Schirms genau genug bekannt ist, um den Rückstoß zu messen, wird die Position des Schlitzes mit einer Genauigkeit bestimmt, die eine genaue Messung der Position des Partikels nicht zulässt.
R. Feynman hat eine ähnliche Analyse mit Teilchen, die an mehreren Schlitzen gebeugt werden.
Einstein-Box
Einsteins anderes Gedankenexperiment wurde entwickelt, um das Unsicherheitsprinzip für konjugierte Variablen wie Zeit und Energie zu testen. Wenn sich im Experiment mit einem Schlitz im Bildschirm die Teilchen in einem bestimmten Raum bewegten, dann bewegen sie sich im zweiten Fall für eine bestimmte Zeit.
Stellen Sie sich eine Kiste vor, die mit Strahlung des radioaktiven Zerfalls gefüllt ist. Die Box hat einen Shutter, der sie für eine genau bekannte kurze Zeit öffnet, während der ein Teil der Strahlung die Box verlässt. Um die mit der Strahlung mitgeführte Energie zu messen, kann die Box nach der Bestrahlung mit dem Ausgangsgewicht verglichen und das Prinzip angewendet werden. Wenn die Box auf einer Waage installiert ist, sollten die Messungen sofort die Ungenauigkeit des Unsicherheitsprinzips zeigen.
Nach einem Tag des Nachdenkens stellte Bohr fest, dass, wenn die Energie der Box selbst im Anfangsmoment genau bekannt ist, die Öffnungszeit des Verschlusses nicht genau bekannt ist. Zudem können die Waage und die Box durch die Gewichtsänderung bei der Bestrahlung ihre Position im Gravitationsfeld verändern. Dies führt zu einer Änderung der Geschwindigkeit des Zeitablaufs aufgrund der Bewegung der Uhr und aufgrund des Einflusses der Schwerkraft auf die Uhr und zu einer zusätzlichen Ungenauigkeit der Verschlussreaktionszeit.
Das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
Zum dritten Mal wurde Bohrs Interpretation der Unschärferelation 1935 in Frage gestellt, als Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (siehe das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradox) ihre Analyse der Zustände verschränkter Teilchen in großer Entfernung veröffentlichten. Nach Einstein soll die Messung der physikalischen Größe eines Teilchens in der Quantenmechanik zu einer Änderung der Wahrscheinlichkeit der Verteilung eines anderen Teilchens führen, und zwar mit einer Geschwindigkeit, die sogar die Lichtgeschwindigkeit übersteigen kann. In Anbetracht dessen kam Bohr zu dem Schluss, dass die Unsicherheit in der Unschärferelation nicht aus einer solchen direkten Messung resultiert.
Einstein selbst glaubte, dass eine vollständige Beschreibung der Realität die Vorhersage von experimentellen Ergebnissen auf der Grundlage "lokal variierender deterministischer Größen" beinhalten sollte, was zu einer Zunahme der Informationen gegenüber der durch das Unschärfeprinzip begrenzten führt.
1964 zeigte John Bell, dass Einsteins Annahme versteckter Parameter überprüft werden kann, weil sie in verschiedenen Experimenten zu gewissen Ungleichheiten zwischen den Wahrscheinlichkeiten führt. Bis heute gibt es keine zuverlässige Bestätigung für die Existenz versteckter Parameter basierend auf Bell-Ungleichungen.
Es gibt auch einen Standpunkt, dass die Ergebnisse von Experimenten beeinflusst werden können durch nicht lokale versteckte Parameter , insbesondere D. Böhm hat sich daran gehalten. Hier kann die Quantentheorie eng mit anderen physikalischen Konzepten verwandt werden. Beispielsweise kann man sich nicht-lokale versteckte Parameter als einen zufälligen Datensatz vorstellen, der in Experimenten auftaucht. Angenommen, die Größe sichtbares Universum begrenzt diese Menge und die Verbindungen zwischen ihnen, dann wird ein Quantencomputer laut G. Hooft wahrscheinlich Fehler machen, wenn er mit Zahlen über 10.000 Einheiten arbeitet.
Poppers Kritik
K. R. Popper kritisierte die Unschärferelation in der von Heisenberg gegebenen Form - dass die Messung des Ortes eines Teilchens immer das Ergebnis der Impulsmessung beeinflusst, was darauf hindeutet, dass wenn ein Teilchen mit einem bestimmten Impuls vorbeigeht schmaler Schlitz in der reflektierten Welle gibt es eine gewisse Amplitude der Wahrscheinlichkeit für die Existenz eines Impulses gleich dem Impuls vor der Streuung. Dies bedeutet, dass das Teilchen bei einer Reihe von Ereignissen den Spalt passiert, ohne den Impuls zu ändern. In diesem Fall sollte die Unschärferelation nicht für einzelne Ereignisse oder Experimente angewendet werden, sondern für Experimente mit vielen identischen Teilchen mit gleichen Anfangsbedingungen, also für Quantenensembles. Kritik dieser Art trifft auf alle Theorien zu, nicht nur auf die Quantenmechanik, da probabilistische Aussagen viele Messungen zu verifizieren erfordern.
Aus Sicht der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik ist die Zuweisung eines bestimmten Impulses einem Teilchen vor der Messung gleichbedeutend mit der Existenz eines versteckten Parameters. Das Teilchen soll nicht durch diesen Impuls beschrieben werden, sondern durch die Wellenfunktion, die sich beim Durchgang durch den Spalt ändert. Daraus ergibt sich die Impulsunsicherheit, die dem Unschärfeprinzip entspricht.
Unsicherheitsprinzip der Informationsentropie
Mit der Formulierung der Viele-Welten-Interpretation der Quantenmechanik im Jahr 1957 gelangte Hugh Everett zu einer strengeren Form des Unschärferelationsprinzips. ... Wenn die Quantenzustände eine Wellenfunktion der Form haben:
dann haben sie aufgrund der Überlagerung einer bestimmten Anzahl von Wechselwirkungen eine erhöhte Standardabweichung in der Koordinate. Auch die Unsicherheit im Momentum wird zunehmen. Um die Ungleichung in der Unsicherheitsbeziehung zu verdeutlichen, wird die Shannon-Information für die Verteilung von Größen verwendet, gemessen an der Anzahl der Bits, die erforderlich sind, um eine Zufallsvariable für eine bestimmte Wahrscheinlichkeitsverteilung zu beschreiben:
Die Größe I wird als die Anzahl der Informationsbits interpretiert, die der Beobachter in dem Moment empfängt, in dem die Größe x eine Genauigkeit von ε gleich erreicht ich x + log 2 (ε). Der zweite Teil ist die Anzahl der Bits nach dem Komma und der erste gibt den logarithmischen Wert der Verteilung an. Für gleichmäßige Breitenverteilung Δ x Informationsgehalt ist gleich log 2 Δ x ... Dieser Wert kann negativ sein, was bedeutet, dass die Verteilung bereits eine Einheit ist und kleine Bits nach dem Komma aufgrund von Unsicherheit keine Informationen liefern.
Nehmen wir den Logarithmus des Unsicherheitsfaktors in den sogenannten natürlichen Einheiten:
dann ist in dieser Form die untere Schranke gleich Null.
Everett und Hirschman schlugen für alle Quantenzustände vor:
Dies wurde 1975 von Beckner bewiesen.
Derivate
Wenn die linearen Operatoren A und B auf die Funktion ψ ( x) , sie pendeln nicht immer. Der Operator B sei beispielsweise eine Multiplikation mit x, und der Operator A sei die Ableitung nach x. Dann findet die Gleichheit statt:
was in der Bedienersprache bedeutet:
Dieser Ausdruck kommt dem kanonischen Kommutator der Quantenmechanik sehr nahe, bei dem der Ortsoperator die Multiplikation der Wellenfunktion mit x ist und der Impulsoperator die Ableitung und Multiplikation mit beinhaltet. Das gibt:
Dieser Kommutator ungleich Null führt zu einer Unsicherheitsbeziehung.
Für zwei beliebige Operatoren A und B:
was entspricht die Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung für das innere Produkt zweier Vektoren und. Der Erwartungswert des Produkts AB überschreitet die Amplitude des Imaginärteils:
Für hermitesche Operatoren ergibt dies Robertson - Schrödinger-Verhältnis :
und die Unschärferelation als Sonderfall.
Physikalische Interpretation
Wenn Sie von Größenoperatoren zu Unsicherheiten übergehen, können Sie schreiben:
wo
ist der Mittelwert der Variablen x im Zustand ψ,
ist die Standardabweichung der Variablen x im Staat .
Nach Austausch für EIN und für B in der allgemeinen Operatorungleichung hat der Kommutator die Form:
Die Normen und sind in der Quantenmechanik die Standardabweichungen für A und B. Für Koordinate und Impuls ist die Kommutatornorm.
Matrixmechanik
In der Matrixmechanik ist der Kommutator der Matrizen X und P nicht gleich Null, sondern dem Wert multipliziert mit der Identitätsmatrix.
Der Kommutator zweier Matrizen ändert sich nicht, wenn sich beide Matrizen aufgrund der Verschiebung um konstante Matrizen ändern x und P:
Für jeden Quantenzustand ψ kann man die Zahl bestimmen x
als erwarteter Koordinatenwert, und
als erwarteter Impulswert. Die Größen und werden insofern von Null verschieden sein, als Ort und Impuls undefiniert sind, so dass X und P vom Mittelwert abweichen. Erwartungswert wechseln
kann ungleich Null sein, wenn die Abweichung in x im Zustand multipliziert mit der Abweichung in P, groß genug.
Das Quadrat des Wertes eines typischen Matrixelements als Quadrat der Abweichung lässt sich durch Summieren der Quadrate der Energiezustände abschätzen:
Daher wird das kanonische Schaltverhältnis durch Multiplizieren der Abweichungen in jedem Zustand erhalten, was einen Wert der Größenordnung ergibt:
Diese heuristische Schätzung kann mit der Cauchy-Bunyakovsky-Ungleichung (siehe oben) verfeinert werden. Inneres Produkt zweier Vektoren in Klammern:
begrenzt durch das Produkt der Vektorlängen:
Daher gibt es für jeden Staat:
der Realteil der Matrix M ist also der Realteil des Produkts zweier hermitescher Matrizen:
Für den Imaginärteil haben wir:
Die Amplitude ist größer als die Amplitude ihres Imaginärteils:
Das Produkt der Unsicherheiten wird nach unten durch den Erwartungswert begrenzt Antikommutator, was den entsprechenden Term in der Unschärferelation angibt. Dieser Term ist für die Unsicherheit von Position und Impuls nicht wichtig, da er für ein Gauß-Wellenpaket, wie im Grundzustand eines harmonischen Oszillators, den Erwartungswert Null hat. Gleichzeitig ist ein Mitglied aus Antikommutator nützlich, um die Unsicherheiten von Spinoperatoren zu begrenzen.
Wellenmechanik
In der Schrödinger-Gleichung quantenmechanische die Wellenfunktion enthält Informationen über den Ort und den Impuls des Teilchens. Die wahrscheinlichste Position des Teilchens ist dort, wo die Konzentration der Welle am größten ist und die Grundwellenlänge den Impuls des Teilchens bestimmt.
Die Wellenlänge der lokalisierten Welle wird ungenau bestimmt. Wenn sich die Welle in einem Volumen der Größe L befindet und die Wellenlänge ungefähr gleich λ ist, liegt die Anzahl der Wellenzyklen in diesem Bereich in der Größenordnung L / λ ... Die Tatsache, dass die Anzahl der Zyklen innerhalb eines Zyklus bekannt ist, kann wie folgt geschrieben werden:
Dies entspricht einem bekannten Ergebnis der Signalverarbeitung – je kürzer die Zeitspanne, desto ungenauer wird die Frequenz bestimmt. In ähnlicher Weise ist bei der Fourier-Transformation die Fourier-Transformation umso breiter, je schmaler die Spitze der Funktion ist.
Wenn Sie Gleichheit mit multiplizieren h , und setze Δ P = hΔ (1 / λ), Δ x = L dann wird es sein:
Das Unsicherheitsprinzip kann als Satz in Fourier-Transformationen dargestellt werden: Das Produkt der Standardabweichung des Quadrats des Absolutwerts einer Funktion durch die Standardabweichung des Quadrats des Absolutwerts seiner Fourier-Transformation beträgt nicht weniger als 1 / (16π 2).
Ein typisches Beispiel ist eine (unnormierte) Gaußsche Wellenfunktion:
Der erwartete Wert von X ist aufgrund der Symmetrie null, daher wird die Variation durch Mittelwertbildung ermittelt x 2 über alle Positionen mit Gewicht ψ ( x) 2 und unter Berücksichtigung der Normalisierung:
Mit der Fourier-Transformation kann man von ψ ( x) zur Wellenfunktion in k Raum wo k ist die Wellenzahl und steht in Beziehung zum Impuls durch die de Broglie-Beziehung:
Das letzte Integral hängt nicht von p ab, da sich hier die Variablen stetig ändern 
, was eine solche Abhängigkeit ausschließt, und der Integrationsweg in der komplexen Ebene geht nicht durch die Singularität. Daher ist die Wellenfunktion bis auf die Normierung wieder Gaußsch:
Verteilungsbreite k wird durch Mittelung durch Integration gefunden, wie oben gezeigt:
Dann in diesem Beispiel
Symplektisch Geometrie
Mathematisch gesehen sind konjugierte Variablen Teil von symplektisch Basis, und das Unsicherheitsprinzip entspricht symplektisch Formular in symplektisch Platz.
Robertson-Schrödinger-Verhältnis
Nehmen Sie zwei beliebige selbstadjungierte hermitesche Operatoren EIN und B, und das System befindet sich im Zustand ψ. Beim Messen von Mengen EIN und B die Wahrscheinlichkeitsverteilung mit Standardabweichungen Δ ψ EIN und Δ ψ B ... Dann gilt die Ungleichung:
wo [ EIN,B] = AB - BA da ist ein schalter EIN und B, {EIN,B} = AB+BA es gibt einen Antikommutator und einen Erwartungswert. Diese Ungleichung wird als Robertson-Schrödinger-Relation bezeichnet, die als Sonderfall die Unschärferelation einschließt. Die Ein-Schalter-Ungleichung wurde 1930 von Howard Percy Robertson eingeführt, und wenig später fügte Erwin Schrödinger einen Begriff mit . hinzu Antikommutator.
Es ist auch möglich, dass es zwei gibt nicht pendelnd selbstadjungierte Operatoren EIN und B die den gleichen Eigenvektor ψ haben. In diesem Fall ist ψ ein reiner Zustand, der gleichzeitig messbar ist für EIN und B .
Andere Prinzipien der Unsicherheit
Die Robertson-Schrödinger-Relation führt zu Unsicherheitsrelationen für zwei beliebige Variablen, die nicht miteinander kommutieren:
- Unsicherheitsbeziehung zwischen Koordinate und Impuls eines Teilchens:
- zwischen der Energie und der Position des Teilchens im eindimensionalen Potential V (x):
- zwischen der Winkelkoordinate und dem Drehimpuls des Teilchens mit kleiner Winkelunsicherheit:
- zwischen den orthogonalen Komponenten des Gesamtdrehimpulses des Teilchens:
wo ich, J, k anders und J ich bedeutet Drehimpuls entlang der Achse x ich .
- zwischen der Anzahl der Elektronen in einem Supraleiter und der Phase ihrer Ordnung in der Ginzburg-Landau-Theorie:
Es besteht auch eine Unsicherheitsbeziehung zwischen der Feldstärke und der Teilchenanzahl, die zum Phänomen der virtuellen Teilchen führt.
Energie-Zeit im Unbestimmtheitsprinzip
Energie und Zeit sind in der Unschärferelation enthalten, die nicht direkt aus der Robertson-Schrödinger-Relation folgt.
Das Produkt aus Energie und Zeit hat die gleichen Dimensionen wie das Produkt aus Impuls und Koordinaten-, Drehimpuls- und Wirkungsfunktion. Daher kannte Bohr bereits folgenden Zusammenhang:
Hier Δt ist die Lebensdauer eines Quantenzustands, und die Zeit sowie die Raumkoordinate legt die Entwicklung des Teilchens im Raum-Zeit-Koordinatensystem fest.
Aus dem Verhältnis folgt, dass ein Zustand mit kurzer Lebensdauer keinen bestimmten Energiewert haben kann – während dieser Zeit muss sich die Energie ändern, je stärker, je kürzer die Zeit. Ist die Energie des Zustands proportional zur Schwingungsfrequenz, dann gilt für hohe Präzision Energiemessungen ist es notwendig, die Frequenz über einen Zeitraum zu messen, der viele Wellenzyklen umfasst.
In der Spektroskopie beispielsweise haben angeregte Zustände eine begrenzte Lebensdauer. Die mittlere Energie der emittierten Photonen liegt nahe dem theoretischen Wert der Zustandsenergie, aber die Energieverteilung hat eine gewisse Breite, genannt natürliche Linienbreite ... Je schneller der Zustand abklingt, desto breiter ist die entsprechende Linienbreite, was eine genaue Messung der Energie erschwert. ... Ebenso bereitet die Bestimmung der Ruhemasse schnell abklingender Resonanzen in der Elementarteilchenphysik Schwierigkeiten. Je schneller ein Teilchen zerfällt, desto ungenauer ist seine Masse-Energie bekannt.
Eine ungenaue Formulierung des Unschärferelationsprinzips besagt, dass um die Energie eines Quantensystems mit einer Genauigkeit von Δ E es braucht Zeit Δ T > h / Δ E ... Seine Ungenauigkeit wurde 1961 von Yakir Aharonov und D. Bohm gezeigt Δ T es gibt eine Zeit, in der das System ohne äußere Störungen existiert, und keine Zeit der Messung oder des Einflusses von Messgeräten.
1936 schlug Paul Dirac eine genaue Definition und Ableitung der Energie-Zeit-Unschärferelation in der relativistischen Quantentheorie der "Ereignisse" vor. In dieser Formulierung bewegen sich Teilchen in der Raumzeit und haben auf jeder Flugbahn ihre eigene interne Zeit. Die multitemporale Formulierung der Quantenmechanik ist mathematisch äquivalent zur Standardformulierung, aber für eine relativistische Verallgemeinerung bequemer. Auf dieser Grundlage erstellte Shinichiro Tomonaga eine kovariante Störungstheorie für die Quantenelektrodynamik.
Eine bekanntere und gebräuchlichere Formulierung der Energie-Zeit-Unschärferelation wurde 1945 von L. I. Mandel'shtam und I. E. Tamm. Für ein Quantensystem im instationären Zustand ist die beobachtbare Größe B scheint ein in sich konsistenter Operator zu sein, und die folgende Formel ist gültig:
wo Δ ψ E ist die Standardabweichung des Energiebetreibers im Staat, Δ ψ B es gibt die Standardabweichung des Operators und den erwarteten Wert in diesem Zustand. Der zweite Faktor links hat die Dimension der Zeit und unterscheidet sich von der Zeit, die in der Schrödinger-Gleichung enthalten ist. Dieser Faktor ist die Lebensdauer des Zustands im Verhältnis zum beobachteten B danach ändert sich der Erwartungswert merklich.
Unsicherheitssätze in der harmonischen Analyse
Bei der harmonischen Analyse impliziert das Unsicherheitsprinzip, dass es unmöglich ist, die Werte einer Funktion und ihrer Fourier-Abbildung genau zu erhalten; in diesem Fall gilt folgende Ungleichung:
Es gibt noch andere Beziehungen zwischen der Funktion ƒ und seine Fourier-Karte.
Satz von Benedik
Dieser Satz besagt, dass die Menge der Punkte, bei denen die Funktion ƒ ungleich Null ist, und die Menge der Punkte, bei der die Funktion ungleich Null ist, nicht beide zu klein sein können. Insbesondere, ƒ v L 2 (R) und seine Fourier-Abbildung können nicht gleichzeitig unterstützt werden (haben die gleiche Unterstützung der Funktion) auf Überdeckungen mit beschränktem Lebesgue-Maß. Dieses Ergebnis ist in der Signalverarbeitung bekannt: Eine Funktion kann nicht gleichzeitig zeitlich und im Frequenzbereich begrenzt werden.
Hardys Unsicherheitsprinzip
Der Mathematiker G. H. Hardy formulierte 1933 folgendes Prinzip: Es ist unmöglich, dass die Funktionen ƒ und beide "sehr schnell ansteigen". Also wenn ƒ definiert in L 2 (R), dann:
außer für den Fall F = 0
... Hier die Fourier-Karte 
gleich ist, und wenn wir im Integral durch für jedes ersetzen ein < 2π
, dann ist das entsprechende Integral für eine Funktion ungleich Null beschränkt F 0
.
Unendliche Verschachtelung von Materie
Theoretisch erhält die Unschärferelation eine spezielle Interpretation. Nach dieser Theorie kann die gesamte Menge der im Universum existierenden Objekte nach Ebenen geordnet werden, innerhalb derer sich die Größen und Massen der zu ihnen gehörenden Objekte nicht so sehr unterscheiden wie zwischen verschiedene Level... Wenn dies auftritt. Sie drückt sich beispielsweise darin aus, dass die Massen und Größen von Körpern beim Übergang von Ebene zu Ebene exponentiell wachsen und mit den entsprechenden Ähnlichkeitskoeffizienten ermittelt werden können. Es gibt grundlegende und mittlere Ebenen der Materie. Wenn wir solche grundlegenden Ebenen der Materie wie die Ebene der Elementarteilchen und die Ebene der Sterne nehmen, dann kann man in ihnen ähnliche Objekte finden - Nukleonen und Neutronensterne. Das Elektron hat auch sein Gegenstück auf stellarer Ebene - in Form von Scheiben, die sich in der Nähe von Röntgenpulsaren öffnen, die die Hauptkandidaten für Magnetare sind. ... Ausgehend von den bekannten Eigenschaften von Elementarteilchen (Masse, Radius, Ladung, Spin etc.) kann man anhand der Ähnlichkeitskoeffizienten die entsprechenden Eigenschaften ähnlicher Objekte auf stellarer Ebene bestimmen.
Darüber hinaus ändern sie aufgrund physikalischer Gesetze ihre Form nicht in verschiedene Level Gegenstand. Das bedeutet, dass neben der Ähnlichkeit von Objekten und deren Eigenschaften auch eine Ähnlichkeit der entsprechenden Phänomene besteht. Dank dessen kann man auf jeder Ebene der Materie ihr eigenes Unsicherheitsprinzip berücksichtigen. Der charakteristische Wert des Wirkquantums und des Drehimpulses auf der Ebene der Elementarteilchen ist also der Wert. Es geht direkt in das Unschärfeprinzip ein. Für Neutronensterne ist der charakteristische Wert des Wirkungsquantums ħ 's = ħ ∙ F' ∙ S '∙ P' = 5,5 ∙ 10 41 J ∙ s, wobei F ', S', P ' die Ähnlichkeitskoeffizienten sind in Masse, Raten und Größen. Wenn wir also die Lage, den Impuls oder andere Größen einzelner Neutronensterne mit Hilfe von stellaren oder noch massereicheren Objekten messen, dann kommt es während ihrer Wechselwirkung zu einem Austausch von Impuls und Drehimpuls mit einem charakteristischen Wert des stellaren Wirkungsquantum in der Größenordnung von ħ s. In diesem Fall beeinflusst die Messung der Koordinaten die Genauigkeit der Pulsmessung und umgekehrt, was zum Unsicherheitsprinzip führt.
Aus dem oben Gesagten folgt, dass sich das Wesen des Unsicherheitsprinzips aus dem Messverfahren selbst ergibt. Elementarteilchen können also nicht anders untersucht werden, als mit Hilfe der Elementarteilchen selbst oder ihrer zusammengesetzten Zustände (in Form von Kernen, Atomen, Molekülen etc.), die sich zwangsläufig auf die Messergebnisse auswirken. Die Wechselwirkung von Partikeln untereinander oder mit Geräten führt in diesem Fall zur Notwendigkeit des Einbringens statistische Methoden in der Quantenmechanik und nur probabilistische Vorhersagen der Ergebnisse von Experimenten. Da das Messverfahren einen Teil der Informationen, die die Partikel vor den Messungen haben, löscht, funktioniert die direkte Bestimmung von Ereignissen aus irgendwelchen versteckten Parametern, die in der Theorie der versteckten Parameter angenommen wird, nicht. Wenn Sie beispielsweise ein Partikel in einer genau festgelegten Richtung auf ein anderes lenken, sollten Sie eine sehr deutliche Streuung der Partikel aneinander erhalten. Hier entsteht jedoch ein Problem, dass es zunächst notwendig ist, das Teilchen auf andere Weise in eine gegebene Richtung zu lenken. Wie man sieht, wird die Bestimmung von Ereignissen nicht nur durch das Messverfahren, sondern auch durch das Verfahren zur Einstellung der genauen Anfangszustände der untersuchten Teilchen behindert.
Ausdruck der endlich verfügbaren Menge an Fisher-Informationen
Die Unschärferelation wird alternativ als Ausdruck abgeleitet Cramer - Rao-Ungleichung in der klassischen Messtheorie. Bei der Messung der Position des Teilchens geht der Effektivwert des Teilchens in die Ungleichung ein als Fischers Informationen ... siehe auch vollständige körperliche Informationen .
Wissenschaftlicher Humor
Die Ungewöhnlichkeit des Heisenbergschen Unsicherheitsprinzips und sein eingängiger Name machten es zu mehreren Witzen. Ein beliebtes Graffiti an den Wänden der Physikabteilung von Universitätscampus heißt: "Heisenberg könnte hier gewesen sein."
Eines Tages wird Werner Heisenberg auf der Autobahn von einem Polizisten angehalten und fragt: "Wissen Sie, wie schnell Sie gefahren sind, Sir?" Worauf der Physiker antwortet: "Nein, aber ich weiß genau, wo ich bin!"
Das Unsicherheitsprinzip in der Populärkultur
Das Unsicherheitsprinzip wird oft missverstanden oder in der populären Presse beschrieben. Eine häufige Fehlaussage ist, dass die Beobachtung eines Ereignisses das Ereignis selbst verändert. Dies hat im Allgemeinen nichts mit dem Unsicherheitsprinzip zu tun. Fast jeder lineare Operator ändert den Vektor, auf den er wirkt (d. h. fast jede Beobachtung ändert den Zustand), aber für kommutative Operatoren gibt es keine Einschränkungen hinsichtlich der möglichen Streuung von Werten. Zum Beispiel die Projektion des Impulses auf die Achse C und ja können beliebig genau zusammen gemessen werden, wobei jede Messung den Zustand des Systems ändert. Außerdem spricht man im Unsicherheitsprinzip von der parallelen Messung von Größen für mehrere Systeme im gleichen Zustand und nicht von sequentiellen Wechselwirkungen mit dem gleichen System.
Andere (ebenfalls irreführende) Analogien mit makroskopischen Effekten wurden vorgeschlagen, um das Unsicherheitsprinzip zu erklären: Man erwägt, einen Wassermelonenkern mit einem Finger zu kneifen. Der Effekt ist bekannt - es ist unmöglich vorherzusagen, wie schnell oder wo der Samen verschwindet. Dieses Zufallsergebnis basiert vollständig auf Zufälligkeit, die mit einfachen klassischen Begriffen erklärt werden kann.
Entsprechend der dualen Korpuskularwellennatur von Materieteilchen werden zur Beschreibung von Mikroteilchen entweder Wellen- oder Korpuskulardarstellungen verwendet. Daher ist es unmöglich, ihnen alle Eigenschaften von Teilchen und alle Eigenschaften von Wellen zuzuschreiben. Natürlich müssen bei der Anwendung der Konzepte der klassischen Mechanik auf die Objekte der Mikrowelt einige Einschränkungen eingeführt werden.
In der klassischen Mechanik wird der Zustand eines materiellen Punktes (klassisches Teilchen) durch die Angabe der Werte von Koordinaten, Impuls, Energie usw. bestimmt. (die aufgeführten Werte werden als dynamische Variablen bezeichnet). Streng genommen können die angegebenen dynamischen Variablen keinem Mikroobjekt zugeordnet werden. Wir erhalten jedoch Informationen über Mikropartikel, indem wir ihre Wechselwirkung mit Geräten, bei denen es sich um makroskopische Körper handelt, beobachten. Daher werden die Messergebnisse unwillkürlich in Begriffen ausgedrückt, die zur Charakterisierung von Makroobjekten entwickelt wurden, d.h. durch die Werte der dynamischen Eigenschaften. Dementsprechend werden die Messwerte der dynamischen Größen den Mikropartikeln zugeordnet. Sie sprechen zum Beispiel über den Zustand des Elektrons, in dem es den einen oder anderen Energiewert hat usw.
Welleneigenschaften von Teilchen und die Möglichkeit, nur eine Wahrscheinlichkeit für ein Teilchen festzulegen ihr bleibe dabei Punkt im Raum führen dazu, dass die Begriffe selbst Teilchenkoordinaten und Geschwindigkeit (oder Impuls) kann bedingt in der Quantenmechanik angewendet werden... Im Allgemeinen ist dies nicht überraschend. Auch in der klassischen Physik ist der Begriff einer Koordinate in manchen Fällen ungeeignet, um die Position eines Objekts im Raum zu bestimmen. Es macht zum Beispiel keinen Sinn zu sagen, dass sich eine elektromagnetische Welle an einem bestimmten Punkt im Raum befindet oder dass die Position der Wellenoberflächenfront auf dem Wasser durch Koordinaten charakterisiert wird x, ja, z.
Die Korpuskularwellen-Dualität der Eigenschaften von Teilchen, die in der Quantenmechanik untersucht wurden, führt dazu, dass in einer Reihe von Fällen erweist sich als unmöglich , im klassischen Sinne, gleichzeitig charakterisieren ein Teilchen durch seine Position im Raum (Koordinaten) und Geschwindigkeit (oder Impuls). So kann zum Beispiel ein Elektron (und jedes andere Mikropartikel) nicht gleichzeitig genaue Werte der Koordinate haben x und Impulskomponenten. Werteunsicherheiten x und erfülle das Verhältnis:
| . | (4.2.1) |
Aus (4.2.1) folgt, dass je kleiner die Unsicherheit einer Größe ( x oder), desto größer ist die Unsicherheit des anderen. Vielleicht ein Zustand, in dem eine der Variablen einen genauen Wert hat (), während die andere Variable sich als völlig unbestimmt herausstellt (- ihre Unbestimmtheit ist gleich unendlich) und umgekehrt. Auf diese Weise, es gibt keine Zustände für ein Mikropartikel,in dem seine Koordinaten und sein Impuls gleichzeitig exakte Werte hätten... Dies impliziert die tatsächliche Unmöglichkeit, gleichzeitig die Koordinate und den Impuls eines Mikroobjekts mit irgendeiner vorbestimmten Genauigkeit zu messen.
Eine ähnliche Beziehung wie (4.2.1) gilt für ja und für z und sowie für andere Mengenpaare (in der klassischen Mechanik heißen solche Paare kanonisch konjugieren ). Bezeichnen der kanonisch konjugierten Werte durch die Buchstaben EIN und B, Du kannst schreiben:
| . | (4.2.2) |
Beziehung (4.2.2) heißt Verhältnis Unsicherheiten für Mengen EIN und B... Dieses Verhältnis wurde 1927 von Werner Heisenberg eingeführt.
Die Aussage, dass das Produkt der Unsicherheiten der Werte zweier konjugierter Variablen kann nicht um eine Größenordnung kleiner sein als die Planck-Konstanteh,namens die Heisenbergsche Unschärferelation .
Energie und Zeit sind kanonisch konjugierte Mengen... Daher gilt auch für sie die Unschärferelation:
| . | (4.2.3) |
Dieses Verhältnis bedeutet, dass die genaue Energiebestimmung ein Zeitintervall von mindestens
Die Unsicherheitsrelation wurde unter gleichzeitiger Nutzung der klassischen Eigenschaften der Teilchenbewegung (Koordinaten, Impuls) und des Vorhandenseins ihrer Welleneigenschaften erhalten. Weil in der klassischen Mechanik wird davon ausgegangen, dass die Koordinate und der Impuls mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden können, dann Unsicherheitsbeziehung Somit Quantenbeschränkung der Anwendbarkeit der klassischen Mechanik auf Mikroobjekte.
Die Unsicherheitsrelation gibt an, inwieweit sich die Konzepte der klassischen Mechanik insbesondere auf Mikropartikel anwenden lassen, mit welcher Genauigkeit man über die Flugbahnen von Mikropartikeln sprechen kann. Die Bewegung entlang einer Flugbahn ist zu jedem Zeitpunkt durch genau definierte Koordinaten- und Geschwindigkeitswerte gekennzeichnet. Setzen wir in (4.2.1) anstelle des Produkts ein, erhalten wir die Beziehung:
| . | (4.2.4) |
Aus dieser Beziehung folgt je größer die Teilchenmasse, desto geringer ist die Unsicherheit seiner Koordinaten und Geschwindigkeit,folglich kann der Begriff der Flugbahn mit größerer Genauigkeit auf dieses Teilchen angewendet werden. So ist beispielsweise bereits für ein Staubkorn mit Masse kg und Längenmaß m, dessen Koordinate mit einer Genauigkeit von 0,01 seiner Abmessungen (m) bestimmt ist, die Unsicherheit der Geschwindigkeit nach (4.2. 4),
jene. wird nicht bei allen Geschwindigkeiten beeinträchtigt, mit denen sich ein Staubkorn bewegen kann.
Auf diese Weise, für makroskopische Körper spielen deren Welleneigenschaften keine Rolle; Koordinaten und Geschwindigkeiten können ziemlich genau gemessen werden. Dies bedeutet, dass die Gesetze der klassischen Mechanik verwendet werden können, um die Bewegung von Makrokörpern mit absoluter Sicherheit zu beschreiben.
Nehmen wir an, der Elektronenstrahl bewegt sich entlang der Achse x mit einer Geschwindigkeit von m / s, bestimmt mit einer Genauigkeit von 0,01% (m / s). Wie genau sind die Koordinaten eines Elektrons zu bestimmen?
Nach Formel (4.2.4) erhalten wir:
.
So kann die Position eines Elektrons auf Tausendstel Millimeter genau bestimmt werden. Diese Genauigkeit reicht aus, um über die Bewegung von Elektronen entlang einer bestimmten Flugbahn sprechen zu können, also ihre Bewegung nach den Gesetzen der klassischen Mechanik zu beschreiben.
Wenden wir die Unschärferelation auf ein Elektron an, das sich in einem Wasserstoffatom bewegt. Nehmen wir an, dass die Unsicherheit der Elektronenkoordinate m (in der Größenordnung der Atomgröße selbst) dann nach (4.2.4)
.
Mit den Gesetzen der klassischen Physik kann gezeigt werden, dass ein Elektron, wenn es sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius von ungefähr m um einen Kern bewegt, seine Geschwindigkeit m / s beträgt. Auf diese Weise, die Unsicherheit der Geschwindigkeit ist um ein Vielfaches größer als die Geschwindigkeit selbst. Offensichtlich kann man in diesem Fall nicht von der Bewegung von Elektronen in einem Atom entlang einer bestimmten Flugbahn sprechen. Mit anderen Worten, die Gesetze der klassischen Physik können nicht verwendet werden, um die Bewegung von Elektronen in einem Atom zu beschreiben.
Die Heisenbergsche Unschärferelation wird als eine der grundlegenden, fundamentalen Bestimmungen der Quantenmechanik vorgestellt.
Hier ist die Charakteristik, die dieser Beziehung von L. D. Landau gegeben wurde:
"Die Entdeckung des Prinzips der Ungewissheit hat gezeigt, dass der Mensch beim Erlernen der Natur von seiner Vorstellungskraft abbrechen kann, er kann sogar das entdecken und verwirklichen, was er sich nicht vorstellen kann."
Landaus Standpunkt spiegelt die weit verbreitete Meinung über die Heisenbergsche Unschärferelation wider. Betrachten Sie die hauptsächlich von den Autoren der Quantenmechanik formulierten Bestimmungen zur Darstellung und Interpretation dieser Beziehung, die die gegebene Eigenschaft rechtfertigen können.
1. „Die klassische Physik endet gerade dort, wo es nicht mehr möglich ist, die Berücksichtigung des Einflusses des Beobachters auf die untersuchten Prozesse zu verweigern“, „Die Unmöglichkeit, unabhängiges Verhalten von ihrer Interaktion mit zu untersuchenden Messgeräten zu trennen“ die Bedingungen des Auftretens eines Phänomens führen zu Mehrdeutigkeiten bei der Zuweisung gewöhnlicher Attribute zu atomaren Phänomenen. Dieser Umstand macht es notwendig, unsere Einstellung zum Problem der physikalischen Erklärung zu revidieren“.
Dieser Faktor findet in der Tat bei gewöhnlichen Messungen statt, die mit Hilfe der klassischen Mechanik beschrieben werden. Aber entweder wird der Einfluss des Messgerätes und der Messtechnik berücksichtigt und eine Änderung vorgenommen, oder das Messergebnis erscheint als bedingt, dh die Technik wird ausgehandelt. Auf jeden Fall ist dieser Faktor ganz offensichtlich und sieht nicht paradox aus.
2. „Es gibt keine spezifische Ungenauigkeit aufgrund der Unschärferelation in der klassischen Physik“.
"In der Quantenmechanik stehen wir vor einer paradoxen Situation - die beobachteten Ereignisse gehorchen dem Gesetz des Zufalls ... Heute ist die Reihenfolge der Ideen umgekehrt [im Vergleich zu 'vorgefassten Vorstellungen von Kausalität']: Der Zufall ist zum primären Begriff geworden." „Aus Sicht der Quantentheorie gibt es keinen Grund, warum [zum Beispiel] diese Kerne zerfielen, sie zerfielen „einfach so“, spontan. Die Quantentheorie sagt nur die Wahrscheinlichkeit des Kernzerfalls voraus“.
In diesem Fall ist das Vorhandensein von Ursachen auftretende Phänomene. Dies ist ein in der Quantenmechanik häufig verwendeter Weg zur „Lösung wissenschaftlicher Probleme“: Das Problem wird durch die Proklamation eines entsprechenden „Gesetzes“ oder „Prinzips“ „geschlossen“. Für Bourne war „Determinismus“ ein Etikett, das die Ablehnung der „modernen“ Wissenschaft charakterisiert. Er war mit der "Kompromiss"-Theorie der "versteckten Variablen" überhaupt nicht zufrieden.
Dem mystischen Weltverständnis liegt eine ähnliche Wahrnehmung des Unerklärlichen zugrunde: Es versteht sich, dass ein unserem Verständnis unzugängliches Phänomen außerhalb der Möglichkeiten seiner Erklärung liegt.
Anzumerken ist, dass nicht alle Klassiker der Quantenmechanik an dieser Theorie festhielten, insbesondere Planck lehnte sie vehement ab: „Wenn ein solcher Schritt wirklich notwendig wäre, dann würde das Ziel der physikalischen Forschung deutlich zurückgeworfen, was erhebliche Auswirkungen hätte Schaden, was nicht schwer zu beurteilen ist“. Dennoch hat eine solche Interpretation des „Unsicherheitsprinzips“ Eingang in die orthodoxe Wissenschaft gefunden.
3. Die Unschärferelation wurde von einer Reihe von Autoren als Spiegelung der Welleneigenschaften von Teilchen betrachtet - eine Folge des Welle-Teilchen-Dualismus. "Die Heisenbergschen Unschärferelationen folgen direkt aus der Position, dass die Elemente des neuen Weltbildes keine materiellen Teilchen sind, sondern die einfachsten periodischen Wellen der Materie." „Unsicherheitsrelationen ergeben sich aus der Art und Weise, wie sie mit einer Konstanten verknüpft sind h Korpuskular- und Wellenseiten einzelner Materie- und Strahlungsobjekte“.
Diese Sichtweise wird jedoch nicht begründet, wie insbesondere die Herleitung der Relation von Heisenberg ohne „direkten Bezug auf das Wellenbild nach dem mathematischen Schema der Quantentheorie“ belegt.
4. Die Heisenbergsche Unschärferelation zeigt, dass „zwischen der Genauigkeit, mit der gleichzeitig der Ort des Teilchens bestimmt werden kann, und der Genauigkeit seines Impulses eine gewisse Beziehung besteht“:
qp ≥ h , (1)
wo ist die Standardabweichung. Eine unkonventionelle Bezeichnung in der Formel wird eingeführt, um den Unterschied zu einer einzelnen Abweichung hervorzuheben, die oft mit dem Symbol D bezeichnet wird, was in einigen Fällen zu einer falschen Interpretation der Formel führt.
Diskussionen zwischen Einstein und Bohr und insbesondere die sog. "Das Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon", das eine "mentale" gleichzeitige Messung des Impulses und der Koordinaten zweier Teilchen - "Zwillinge" voraussetzt.
Charakteristisches Detail: Die Analyse des gegebenen Ausdrucks erfolgt wie eine empirische Formel und nicht wie ein analytisch erhaltenes Verhältnis. Im Ergebnis stellt sich heraus, dass die Interpretation des Verhältnisses unabhängig von den Prämissen und Konventionen ist, die bei seiner Herleitung impliziert wurden, und dies ist einer der Gründe für die mit diesem Verhältnis verbundenen Paradoxien. Konkret werden wir diese Widersprüche im Abschluss unserer Analyse beachten.
Wir präsentieren eine relativ einfache Herleitung des Verhältnisses, wobei wir uns auf die anfänglichen Postulate und Konventionen konzentrieren.
1. Das Verhältnis basiert auf der Planck-Formel, die die Quantisierungsaktion”:
E= n h
(E ist die Photonenenergie, n ist die Frequenz der elektromagnetischen Welle)
oder seine Folgen:
(p - Puls, l - Wellenlänge).
Das Inkrement von „Aktion“ entsprechend h ,
D NS = P D Q
(D Q- Koordinateninkrement)
oder beim umziehen P und Q:
D NS= D P D Q .(2)
2. Beachten Sie, dass die Manifestation eines Impulses ist ohne Bewegung unmöglich und die Manifestation von Energie ist außerhalb der Zeit... Mit "Manifestation" ist die Registrierung durch die Interaktion eines Objekts mit einem Beobachter gemeint, mit Messinstrument... Diese Bedingung gilt auch in der klassischen Mechanik.
3. Bei Verwendung der Unschärferelation und ggf. im allgemeinen Fall „Aktion“ wird gemessen, nicht ihre Komponenten – Impuls, Koordinaten, Energie, Zeit.
Es ist bedeutsam - drei grundlegende Konzepte werden in Aktion kombiniert: Kraft, Länge, Zeit. Das Messgerät ist jeweils auf Impuls, Koordinaten, Energie und Zeit „kalibriert“.
4. Unsicherheit ist die grundsätzliche Unmöglichkeit der Bestimmung der Wert des Parameters, und nicht das Ergebnis des Einflusses von Rauschen oder Messfehlern, unterliegt Wahrscheinlichkeitsgesetzen, wenn deren genaue Wirkung unbekannt ist.
Unsicherheit, die nicht beseitigt werden kann, gibt es auch in der klassischen Mechanik, sie wird einfach erklärt und leicht wahrgenommen. Dies ist der Fall, wenn die Auflösung eines bestimmten Messgerät: zu hoch bei der Messung der „Skalenteilung“, dh die Messung erfolgt mit einer bestimmten Schablone und erfordert eine höhere Genauigkeit als die Abmessungen oder andere Parameter der Schablone. So überrascht es niemanden, dass die Auflösung eines Mikroskops durch die Wellenlänge des Beleuchtungsstrahls begrenzt ist. Diese Unsicherheit hat nichts mit unserer Unkenntnis der Fehlerursache zu tun, zumal dieser Grund nicht existiert - wir haben weder eine Methode noch ein Werkzeug zur genaueren Bestimmung des gemessenen Parameters.
5. In der Beziehung wird Unsicherheit als fehlerverursachender Faktor betrachtet. Folglich wird formal davon ausgegangen, dass eine größere Genauigkeit erreicht werden soll, als dies einen diskreten Wert des Wirkungsquantums liefern kann.