Tänään olemme menossa Geometrian maahan, jossa tutustumme erityyppisiin kolmioihin.

Harkitse geometrisia kuvioita ja löytää niiden joukosta "ylimääräinen" (kuva 1).

Riisi. 1. Esimerkki esimerkiksi

Näemme, että luvut nro 1, 2, 3, 5 ovat nelikulmioita. Jokaisella niistä on oma nimi (kuva 2).

Riisi. 2. Nelikulmat

Tämä tarkoittaa, että "ylimääräinen" kuva on kolmio (kuva 3).

Riisi. 3. Esimerkki esim

Kolmio on kuvio, joka koostuu kolmesta pisteestä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmesta janasta, jotka yhdistävät nämä pisteet pareittain.

Pisteitä kutsutaan kolmion kärjet, segmentit - hänen juhlia. Kolmion sivut muodostuvat Kolmion kärjessä on kolme kulmaa.

Kolmion tärkeimmät ominaisuudet ovat kolme sivua ja kolme kulmaa. Kolmiot luokitellaan kulman mukaan terävä, suorakaiteen muotoinen ja tylppä.

Kolmiota kutsutaan teräväkulmaiseksi, jos sen kaikki kolme kulmaa ovat teräviä, eli alle 90° (kuva 4).

Riisi. 4. Terävä kolmio

Kolmiota kutsutaan suorakulmaiseksi, jos yksi sen kulmista on 90° (kuva 5).

Riisi. 5. Oikea kolmio

Kolmiota kutsutaan tylpäksi, jos yksi sen kulmista on tylppä, eli suurempi kuin 90° (kuva 6).

Riisi. 6. Tylsä kolmio

Tasasivuisten sivujen lukumäärän mukaan kolmiot ovat tasasivuisia, tasakylkisiä, mittakaavaisia.

Tasakylkinen kolmio on kolmio, jonka kaksi sivua ovat yhtä suuret (kuva 7).

Riisi. 7. Tasakylkinen kolmio

Näitä puolia kutsutaan lateraalinen, kolmas puoli - perusta. Tasakylkisessä kolmiossa pohjan kulmat ovat yhtä suuret.

Tasakylkiset kolmiot ovat akuutti ja tylsä(Kuva 8) .

Riisi. 8. Terävät ja tylpät tasakylkiset kolmiot

Kutsutaan tasasivuista kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret (kuva 9).

Riisi. 9. Tasasivuinen kolmio

Tasasivuisessa kolmiossa kaikki kulmat ovat yhtä suuret. Tasasivuiset kolmiot aina teräväkulmainen.

Kolmiota kutsutaan skaalaiseksi, jos kaikki kolme sivua ovat eri pituinen(Kuva 10).

Riisi. 10. Asteikkokolmio

Suorita tehtävä loppuun. Jaa nämä kolmiot kolmeen ryhmään (kuva 11).

Riisi. 11. Tehtävän kuva

Ensin jaetaan kulmien koon mukaan.

Terävät kolmiot: nro 1, nro 3.

Suorat kolmiot: #2, #6.

Tylsät kolmiot: #4, #5.

Nämä kolmiot on jaettu ryhmiin yhtäläisten sivujen lukumäärän mukaan.

Skaalauskolmiot: nro 4, nro 6.

Tasakylkiset kolmiot: nro 2, nro 3, nro 5.

Tasasivuinen kolmio: nro 1.

Tarkista piirustukset.

Mieti, mistä langanpalasta kukin kolmio on tehty (kuva 12).

Riisi. 12. Tehtävän kuva

Voit väitellä näin.

Ensimmäinen lanka on jaettu kolmeen yhtä suureen osaan, joten voit tehdä siitä tasasivuisen kolmion. Se näkyy kuvassa kolmantena.

Toinen lanka on jaettu kolmeen eri osaan, joten voit tehdä siitä skaalaa kolmion. Se näkyy kuvassa ensimmäisenä.

Kolmas lanka on jaettu kolmeen osaan, joissa kaksi osaa ovat yhtä pitkiä, joten siitä voi tehdä tasakylkisen kolmion. Se näkyy kuvassa toisena.

Tänään tunnilla tutustuimme erityyppisiin kolmioihin.

Bibliografia

1. MI. Moro, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. Arvosana 3: kahdessa osassa, osa 1. - M .: "Valaistuminen", 2012.
2. MI. Moro, M.A. Bantova ym. Matematiikka: Oppikirja. Arvosana 3: kahdessa osassa, osa 2. - M .: "Valaistuminen", 2012.
3. MI. Moreau. Matematiikan tunnit: Ohjeita opettajalle. Luokka 3 - M.: Koulutus, 2012.
4. Sääntelyasiakirja. Oppimistulosten seuranta ja arviointi. - M.: "Valaistuminen", 2011.
5. "Venäjän koulu": Ohjelmat peruskoulu. - M.: "Valaistuminen", 2011.
6. SI. Volkov. Matematiikka: Testaustyö. Luokka 3 - M.: Koulutus, 2012.
7. V.N. Rudnitskaja. Testit. - M.: "Koe", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Kotitehtävät

1. Viimeistele lauseet.

a) Kolmio on kuvio, joka koostuu ..., joka ei ole samalla suoralla, ja ..., joka yhdistää nämä pisteet pareittain.

b) Pisteitä kutsutaan … , segmentit - hänen … . Kolmion sivut muodostuvat kolmion kärjessä ….

c) Kulman koon mukaan kolmiot ovat ..., ..., ....

d) Kolmiot ovat yhtäläisten sivujen lukumäärän mukaan ..., ..., ....

2. Piirrä

a) suorakulmainen kolmio;

b) terävä kolmio;

sisään) tylppä kolmio;

d) tasasivuinen kolmio;

e) skaleenikolmio;

e) tasakylkinen kolmio.

3. Tee tehtävä oppitunnin aiheesta tovereillesi.

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Kolmiotyypit

Harkitse kolmea pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, ja kolmea segmenttiä, jotka yhdistävät nämä pisteet (kuva 1).

Kolmiota kutsutaan osaksi tasoa, jota nämä janat rajoittavat, janoja kutsutaan kolmion sivuiksi ja osien päitä (kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla) kutsutaan kolmion kärjeksi.

Taulukossa 1 on lueteltu kaikki mahdolliset kolmiot riippuen niiden kulmien koosta .

Taulukko 1 - Kolmioiden tyypit kulmien koosta riippuen

Kuva	kolmion tyyppi	Määritelmä
	Akuutti kolmio	Kolmio, jolla on kaikki kulmat ovat teräviä , kutsutaan akuutiksi
	Suorakulmainen kolmio	Kolmio, jolla on yksi oikeista kulmista , kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi
	tylppä kolmio	Kolmio, jolla on yksi kulmista on tylppä , kutsutaan tylpäksi

Akuutti kolmio

Määritelmä: Kolmio, jolla on kaikki kulmat ovat teräviä , kutsutaan akuutiksi

Suorakulmainen kolmio

Määritelmä: Kolmio, jolla on yksi oikeista kulmista , kutsutaan suorakaiteen muotoiseksi

tylppä kolmio

Määritelmä: Kolmio, jolla on yksi kulmista on tylppä , kutsutaan tylpäksi

Riippuen sivujen pituudesta Kolmioita on kahta tärkeää tyyppiä.

Taulukko 2 - Tasakylkiset ja tasasivuiset kolmiot

Kuva	kolmion tyyppi	Määritelmä
	Tasakylkinen kolmio	sivut, ja kolmatta sivua kutsutaan tasakylkisen kolmion kannaksi
	Tasasivuinen (oikea) kolmio	Kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret, kutsutaan tasasivuiseksi tai suorakulmaiseksi kolmioksi.

Tasakylkinen kolmio

Määritelmä: Kolmiota, jolla on kaksi yhtäläistä sivua, kutsutaan tasakylkiseksi kolmioksi. Tässä tapauksessa kaksi tasapuoliset puolet nimeltään sivut, ja kolmatta sivua kutsutaan tasakylkisen kolmion kannaksi

Tasasivuinen (säännöllinen) kolmio

Määritelmä: Kolmiota, jonka kaikki kolme sivua ovat yhtä suuret, kutsutaan tasasivuiseksi tai suorakulmaiseksi kolmioksi.

Kolmioiden tasa-arvon merkit

Kolmioita kutsutaan yhtäläisiksi, jos ne voidaan yhdistää peittoon .

Taulukko 3 näyttää kolmioiden tasa-arvon merkkejä.

Taulukko 3 - Kolmioiden tasa-arvomerkit

Kuva	Ominaisuuden nimi	Ominaisuuden muotoilu
	päällä kaksi sivua ja niiden välinen kulma
	Kolmioiden tasa-arvon merkki päällä sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa
	Kolmioiden tasa-arvon merkki päällä kolme puoluetta

Kolmioiden tasa-arvon merkki kahdelta puolelta ja niiden välisestä kulmasta

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä

Kolmioiden tasa-arvon merkki sivua ja kahta sen viereistä kulmaa pitkin

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi vierekkäistä kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Kolmioiden tasa-arvon merkki kolmelta puolelta

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kolme sivua, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneviä

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkit

Suorakulmaisten kolmioiden sivuille on tapana käyttää seuraavia nimiä.

Hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion vastakkainen sivu oikea kulma(Kuva 2), kahta muuta sivua kutsutaan jaloiksi.

Taulukko 4 - Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit

Kuva	Ominaisuuden nimi	Ominaisuuden muotoilu
	päällä kaksi jalkaa
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki päällä jalka ja vieressä terävä kulma
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki päällä jalka ja vastakkainen terävä kulma	Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja vastakkainen terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki päällä hypotenuusa ja terävä kulma	Jos yhden suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion hypotenuusa ja terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret
	Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki päällä jalka ja hypotenuusa	Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja hypotenuusa ovat vastaavasti yhtä suuret kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja hypotenuusa, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkki kahdella jalalla

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion kaksi jalkaa, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki pitkin jalkaa ja sen vieressä olevaa terävää kulmaa

Ominaisuuden muotoilu. Jos yhden suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen suorakulmaisen kolmion jalka ja sen vieressä oleva terävä kulma, niin tällaiset suorakulmaiset kolmiot ovat yhtä suuret

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvon merkki jalkaa pitkin ja vastakkaiseen terävään kulmaan

Ehkä geometrian alkeellisin, yksinkertaisin ja mielenkiintoisin hahmo on kolmio. Tiedän lukio sen pääominaisuuksia tutkitaan, mutta joskus tieto tästä aiheesta muodostuu epätäydellisiksi. Kolmioiden tyypit määrittävät aluksi niiden ominaisuudet. Mutta tämä näkemys on edelleen ristiriitainen. Joten katsotaanpa nyt tätä aihetta tarkemmin.

Kolmioiden tyypit riippuvat kulmien astemittasta. Nämä luvut ovat teräviä, suorakaiteen muotoisia ja tylpäitä. Jos kaikki kulmat eivät ylitä 90 astetta, kuvaa voidaan turvallisesti kutsua teräväkulmaiseksi. Jos vähintään yksi kolmion kulma on 90 astetta, kyseessä on suorakaiteen muotoinen alalaji. Vastaavasti kaikissa muissa tapauksissa tarkasteltua kutsutaan tylpäkulmaiseksi.

Teräväkulmaisille alalajeille on monia tehtäviä. tunnusmerkki on puolittajien, mediaanien ja korkeuksien leikkauspisteiden sisäsijainti. Muissa tapauksissa tämä ehto ei välttämättä täyty. Figuurityypin "kolmio" määrittäminen ei ole vaikeaa. Riittää, kun tietää esimerkiksi kunkin kulman kosinin. Jos jokin arvo on pienempi kuin nolla, niin kolmio on joka tapauksessa tylppä. Nollaeksponentin tapauksessa kuvalla on suora kulma. Kaikki positiiviset arvot taatusti kertoa sinulle, että sinulla on teräväkulmainen näkymä.

On mahdotonta olla sanomatta oikeasta kolmiosta. Tämä on ihanteellinen näkymä, jossa kaikki mediaanien, puolittajien ja korkeuksien leikkauspisteet ovat samat. Myös piirretyn ja rajatun ympyrän keskipiste on samassa paikassa. Ongelmien ratkaisemiseksi sinun on tiedettävä vain yksi puoli, koska kulmat on alun perin asetettu sinulle ja kaksi muuta puolta tunnetaan. Eli luku saadaan vain yhdellä parametrilla. Niitä on pääominaisuus- kahden sivun ja kulmien yhtäläisyys pohjassa.

Joskus herää kysymys, onko olemassa kolmiota, jolla on tietyt sivut. Kysyt todella, sopiiko tämä kuvaus päälajeihin. Esimerkiksi, jos kahden sivun summa on pienempi kuin kolmas, niin todellisuudessa tällaista lukua ei ole ollenkaan. Jos tehtävässä pyydetään löytämään kolmion, jonka sivut ovat 3,5,9, kulmien kosinit, niin tässä ilmeinen voidaan selittää ilman monimutkaisia ​​matemaattisia temppuja. Oletetaan, että haluat päästä pisteestä A pisteeseen B. Etäisyys suorassa viivalla on 9 kilometriä. Muistat kuitenkin, että sinun täytyy mennä pisteeseen C kaupassa. Etäisyys paikasta A paikkaan C on 3 kilometriä ja paikasta C paikkaan B - 5. Siten käy ilmi, että liikkeen läpi liikkuessa kävelee kilometri vähemmän. Mutta koska piste C ei sijaitse linjalla AB, sinun on mentävä ylimääräinen matka. Tässä syntyy ristiriita. Tämä on tietysti hypoteettinen selitys. Matematiikka tietää useamman kuin yhden tavan todistaa, että kaikenlaiset kolmiot noudattavat perusidentiteettiä. Se sanoo, että kahden sivun summa on suurempi kuin kolmannen pituus.

Jokaisella tyypillä on seuraavat ominaisuudet:

1) Kaikkien kulmien summa on 180 astetta.

2) Aina on ortosentti - kaikkien kolmen korkeuden leikkauspiste.

3) Kaikki kolme mediaania vedettynä pisteistä sisäiset kulmat, leikkaavat yhdessä paikassa.

4) Ympyrä voidaan rajata minkä tahansa kolmion ympärille. On myös mahdollista piirtää ympyrä niin, että siinä on vain kolme kosketuspistettä eikä se ylitä ulkoreunoja.

Nyt tunnet tärkeimmät ominaisuudet erilaisia kolmiot. Tulevaisuudessa on tärkeää ymmärtää, mitä olet tekemisissä ongelman ratkaisemisessa.

Lisää lapsia esikouluikäinen tietää miltä kolmio näyttää. Mutta mitä he ovat, kaverit alkavat ymmärtää jo koulussa. Yksi tyyppi on tylppä kolmio. Ymmärtääksesi, mikä se on, helpoin tapa on nähdä kuva sen kuvalla. Ja teoriassa tätä kutsutaan "yksinkertaisimmaksi monikulmioksi", jossa on kolme sivua ja kärkeä, joista yksi on

Käsitteiden ymmärtäminen

Geometriassa on sellaisia ​​​​kuvioita, joissa on kolme sivua: teräväkulmaiset, suorakulmaiset ja tylppäkulmaiset kolmiot. Lisäksi näiden yksinkertaisimpien polygonien ominaisuudet ovat samat kaikille. Joten kaikkien lueteltujen lajien kohdalla havaitaan tällainen epätasa-arvo. Minkä tahansa kahden sivun pituuksien summa on välttämättä suurempi kuin kolmannen sivun pituus.

Mutta varmistuakseen siitä me puhumme Kyse on täydellisestä kuviosta, ei yksittäisten kärkien joukosta, että on tarpeen tarkistaa, että pääehtoa noudatetaan: tylpän kolmion kulmien summa on 180 o. Sama pätee muuntyyppisiin figuureihin, joissa on kolme sivua. Totta, tylpässä kolmiossa yksi kulmista on jopa enemmän kuin 90 o, ja loput kaksi ovat välttämättä teräviä. Tässä tapauksessa se on suurin kulma, joka on pisintä sivua vastapäätä. Totta, nämä eivät ole kaukana kaikista tylpän kolmion ominaisuuksista. Mutta vaikka tietäisivät vain nämä ominaisuudet, opiskelijat voivat ratkaista monia geometrian ongelmia.

Jokaiselle monikulmiolle, jossa on kolme kärkeä, on myös totta, että jatkamalla mitä tahansa sivua, saadaan kulma, jonka koko on yhtä suuri kuin kahden vierekkäisen sisäisen kärjen summa. Tylsän kolmion ympärysmitta lasketaan samalla tavalla kuin muidenkin muotojen. Se on yhtä suuri kuin sen kaikkien sivujen pituuksien summa. Matemaatikkojen määrittämiseksi johdettiin erilaisia ​​kaavoja riippuen siitä, mitä tietoja alun perin oli olemassa.

Oikea tyyli

Yksi tärkeimmistä geometrian ongelmien ratkaisemisen edellytyksistä on oikea piirustus. Matematiikan opettajat sanovat usein, että se auttaa paitsi visualisoimaan, mitä sinulle annetaan ja mitä sinulta vaaditaan, myös pääsemään 80% lähemmäksi oikeaa vastausta. Siksi on tärkeää osata rakentaa tylppä kolmio. Jos haluat vain hypoteettisen hahmon, voit piirtää minkä tahansa monikulmion, jossa on kolme sivua niin, että yksi kulmista on suurempi kuin 90 astetta.

Jos sivujen pituuksille tai kulmien asteille on annettu tietyt arvot, on niiden mukaan piirrettävä tylppäkulmainen kolmio. Samanaikaisesti on tarpeen yrittää kuvata kulmat mahdollisimman tarkasti laskemalla ne astelevyn avulla ja näyttää sivut suhteessa annettuihin olosuhteisiin tehtävässä.

Päälinjat

Usein ei riitä, että koululaiset tietävät vain, miltä tiettyjen hahmojen tulee näyttää. He eivät voi rajoittua tietoihin siitä, mikä kolmio on tylppä ja mikä suorakulmainen. Matematiikan kurssi edellyttää, että heidän tietämyksensä kuvioiden pääpiirteistä on täydellisempää.

Joten jokaisen opiskelijan tulee ymmärtää puolittajan, mediaanin, kohtisuoran puolittajan ja korkeuden määritelmä. Lisäksi hänen on tiedettävä niiden perusominaisuudet.

Joten puolittajat jakavat kulman puoliksi ja vastakkaisen puolen segmenteiksi, jotka ovat verrannollisia viereisiin sivuihin.

Mediaani jakaa minkä tahansa kolmion kahteen yhtä suureen alueeseen. Kohdassa, jossa ne leikkaavat, kukin niistä on jaettu 2 segmenttiin suhteessa 2:1, katsottuna ylhäältä, josta se on peräisin. Tässä tapauksessa suurin mediaani piirretään aina sen pienimmälle puolelle.

Korkeuteen ei kiinnitetä vähemmän huomiota. Tämä on kohtisuorassa kulman vastakkaiselle puolelle. Tylsän kolmion korkeudella on omat ominaisuutensa. Jos se piirretään terävästä kärjestä, se ei putoa tämän yksinkertaisimman monikulmion sivulle, vaan sen jatkeelle.

Pystysuora puolittaja on jana, joka tulee ulos kolmion pinnan keskustasta. Samalla se sijaitsee suorassa kulmassa siihen nähden.

Työskentely ympyröiden kanssa

Geometrian opiskelun alussa riittää, että lapset ymmärtävät, kuinka piirtää tylppäkulmainen kolmio, oppivat erottamaan sen muista tyypeistä ja muistamaan sen perusominaisuudet. Mutta lukiolaisille tämä tieto ei riitä. Esimerkiksi kokeessa on usein kysymyksiä rajatuista ja kirjoitetuista ympyröistä. Ensimmäinen niistä koskettaa kolmion kaikkia kolmea kärkeä, ja toisella on yksi yhteinen piste kaikkien sivujen kanssa.

Piirretyn tai rajatun tylppäkulmaisen kolmion rakentaminen on jo paljon vaikeampaa, koska tätä varten sinun on ensin selvitettävä, missä ympyrän keskipisteen ja sen säteen tulisi olla. Muuten, välttämätön työkalu Tässä tapauksessa ei tule vain lyijykynää, jossa on viivain, vaan myös kompassi.

Samat vaikeudet syntyvät, kun rakennetaan kolmesivuisia piirrettyjä polygoneja. Matemaatikot ovat kehittäneet erilaisia ​​kaavoja, joiden avulla voit määrittää niiden sijainnin mahdollisimman tarkasti.

Kaiverretut kolmiot

Kuten aiemmin mainittiin, jos ympyrä kulkee kaikkien kolmen kärjen läpi, sitä kutsutaan rajatuksi ympyräksi. Sen tärkein ominaisuus on, että se on ainoa. Jotta saadaan selville, kuinka tylpän kolmion rajattu ympyrä tulisi sijoittaa, on muistettava, että sen keskipiste on kolmen kuvan sivuille menevän keskisuoran leikkauskohdassa. Jos teräväkulmaisessa monikulmiossa, jossa on kolme kärkeä, tämä piste on sen sisällä, niin tylppäkulmaisessa - sen ulkopuolella.

Kun esimerkiksi tiedetään, että tylpän kolmion yksi sivuista on yhtä suuri kuin sen säde, voidaan löytää kulma, joka on tunnettua pintaa vastapäätä. Sen sini on yhtä suuri kuin tulos, kun tunnetun sivun pituus jaetaan luvulla 2R (jossa R on ympyrän säde). Toisin sanoen kulman synti on yhtä suuri kuin ½. Kulma on siis 150 o.

Jos sinun on löydettävä tylpäkulmaisen kolmion rajatun ympyrän säde, tarvitset tietoja sen sivujen pituudesta (c, v, b) ja sen pinta-alasta S. Säde lasketaan loppujen lopuksi näin : (c x v x b): 4 x S. Muuten, sillä ei ole väliä, millainen hahmo sinulla on: monipuolinen tylppä kolmio, tasakylkinen, oikea tai terävä. Missä tahansa tilanteessa yllä olevan kaavan ansiosta voit selvittää tietyn monikulmion alueen kolmella sivulla.

Rajoitettuja kolmioita

On myös melko yleistä työskennellä piirretyillä ympyröillä. Yhden kaavan mukaan tällaisen kuvan säde kerrottuna ½:lla kehästä on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala. On totta, että sen selvittämiseksi sinun on tiedettävä tylpän kolmion sivut. Itse asiassa ½ kehän määrittämiseksi on tarpeen lisätä niiden pituudet ja jakaa 2:lla.

Ymmärtääksesi, missä tylppään kolmioon piirretyn ympyrän keskipisteen tulisi olla, on piirrettävä kolme puolittajaa. Nämä ovat viivoja, jotka jakavat kulmat. Ympyrän keskipiste sijaitsee niiden leikkauskohdassa. Tässä tapauksessa se on yhtä kaukana kummaltakin puolelta.

Tällaisen tylppään kolmioon kirjoitetun ympyrän säde on yhtä suuri kuin osamäärä (p-c) x (p-v) x (p-b) : p. Lisäksi p on kolmion puolikehä, c, v, b ovat sen sivut.

Vakiomerkintä

Kolmio pisteillä A, B ja C merkitty (katso kuva). Kolmiossa on kolme sivua:

Kolmion sivujen pituudet on merkitty pienillä latinalaisilla kirjaimilla (a, b, c):

Kolmiolla on seuraavat kulmat:

Kulmat vastaavissa pisteissä on perinteisesti merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla (α, β, γ).

Kolmioiden tasa-arvon merkit

Euklidisen tason kolmio voidaan määrittää yksiselitteisesti (kongruenssiin asti) seuraavilla peruselementtitripleteillä:

1. a, b, γ (kahden sivun yhtäläisyys ja niiden välinen kulma);
2. a, β, γ (sivujen ja kahden vierekkäisen kulman yhtäläisyys);
3. a, b, c (tasa-arvo kolmella sivulla).

Suorakulmaisten kolmioiden tasa-arvomerkit:

1. jalkaa ja hypotenuusaa pitkin;
2. kahdella jalalla;
3. jalkaa pitkin ja terävä kulma;
4. hypotenuusa ja terävä kulma.

Jotkut kolmion pisteet ovat "paritettuja". Esimerkiksi on kaksi pistettä, joista kaikki sivut ovat näkyvissä joko 60° tai 120° kulmassa. Niitä kutsutaan pisteitä Torricelli. On myös kaksi pistettä, joiden sivuilla olevat projektiot ovat säännöllisen kolmion kärjessä. Tämä on - Apolloniuksen kohdat. Pisteitä ja sellaisia ​​kutsutaan Brocardin pisteet.

Suoraan

Missä tahansa kolmiossa painopiste, ortosentti ja rajatun ympyrän keskipiste ovat samalla suoralla, ns. Eulerin linja.

Suoraa, joka kulkee rajatun ympyrän ja Lemoinen pisteen läpi, kutsutaan Brokarin akseli. Apolloniuksen pisteet ovat siinä. Torricelli-pisteet ja Lemoinen piste ovat myös samalla suoralla. Kolmion kulmien ulompien puolittajien kantat ovat samalla suoralla ns. ulkopuolisten puolittajien akseli. Myös ortokolmion sivut sisältävien viivojen ja kolmion sivut sisältävien viivojen leikkauspisteet ovat samalla viivalla. Tätä linjaa kutsutaan ortosentrinen akseli, se on kohtisuorassa Euler-viivaa vastaan.

Jos otamme pisteen kolmion rajatulla ympyrällä, niin sen projektiot kolmion sivuilla ovat yhdellä suoralla, ns. Simsonin suora annettu piste. Simsonin diametraalisesti vastakkaisten pisteiden suorat ovat kohtisuorassa.

kolmiot

• Kutsutaan kolmiota, jonka kärjet ovat tietyn pisteen läpi piirrettyjen ceviaanien kannassa cevian kolmio tämä kohta.
• Kutsutaan kolmiota, jonka kärjet ovat tietyn pisteen projektioissa sivuille ihon alla tai poljinkolmio tämä kohta.
• Kolmio, jonka kärjet ovat kärkien läpi piirrettyjen viivojen ja annetun pisteen toisissa leikkauspisteissä rajatulla ympyrällä, kutsutaan cevian kolmio. Cevian kolmio on samanlainen kuin ihonalainen kolmio.

ympyrät

• Kirjattu ympyrä- ympyrän tangentti kaikille kolme puolta kolmio. Hän on ainoa. Piirretyn ympyrän keskustaa kutsutaan keskipiste.
• Rajoitettu ympyrä- ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kolmen kärjen kautta. Myös rajattu ympyrä on ainutlaatuinen.
• Kierrä- ympyrä, joka tangentti kolmion toista sivua ja kahden muun sivun jatke. Kolmiossa on kolme tällaista ympyrää. Niiden radikaalikeskus on mediaanikolmion piirretyn ympyrän keskus, ns Spiekerin pointti.

Kolmion kolmen sivun keskipisteet kolmen pohjat sen korkeudet ja kolmen janan keskipisteet, jotka yhdistävät sen kärjen ortokeskiöön ovat samalla ympyrällä, ns. yhdeksän pisteen ympyrä tai Eulerin ympyrä. Yhdeksän pisteen ympyrän keskipiste on Euler-viivalla. Yhdeksän pisteen ympyrä koskettaa piirrettyä ympyrää ja kolmea ulkoympyrää. Piirretyn ympyrän ja yhdeksän pisteen ympyrän välistä kosketuspistettä kutsutaan Feuerbachin kohta. Jos jokaisesta kärjestä asetetaan kolmiot suorille viivoille, jotka sisältävät sivuja, ortooseja, jotka ovat yhtä pitkiä vastakkaisten sivujen kanssa, niin tuloksena saadut kuusi pistettä ovat yhdellä ympyrällä - Conway ympyrät. Mihin tahansa kolmioon voidaan piirtää kolme ympyrää siten, että jokainen niistä koskettaa kolmion kahta sivua ja kahta muuta ympyrää. Tällaisia ​​piirejä kutsutaan Malfatti piirit. Kuuden kolmion, joihin kolmio on jaettu mediaanilla, rajattujen ympyröiden keskipisteet sijaitsevat yhdellä ympyrällä, jota kutsutaan ns. Lamun ympyrä.

Kolmiossa on kolme ympyrää, jotka koskettavat kolmion ja rajatun ympyrän kahta sivua. Tällaisia ​​piirejä kutsutaan puoliksi kaiverrettu tai Verrier-piirit. Janat, jotka yhdistävät Verrier-ympyröiden kosketuspisteet rajatun ympyrän kanssa, leikkaavat yhdessä pisteessä, ns. Verrierin kohta. Se toimii homoteetin keskipisteenä, joka vie rajatun ympyrän sisäympyrään. Verrier-ympyröiden sivujen kosketuspisteet sijaitsevat suoralla, joka kulkee piirretyn ympyrän keskustan läpi.

Janat, jotka yhdistävät piirretyn ympyrän tangenttipisteet kärkiin, leikkaavat yhdessä pisteessä, ns. Gergonnen piste, ja segmentit, jotka yhdistävät kärjet excirclen kosketuspisteisiin - in Nagelin piste.

Ellipsit, paraabelit ja hyperbolit

Kaiverrettu kartio (ellipsi) ja sen perspektiivi

Kolmioon voidaan kirjoittaa ääretön määrä kartioita (ellipsiä, paraabelia tai hyperbolia). Jos kirjoitamme kolmioon mielivaltaisen kartion ja yhdistämme kosketuspisteet vastakkaisiin pisteisiin, tuloksena olevat suorat leikkaavat yhdessä pisteessä, ns. näkökulmasta kartiomaiset. Jokaiselle tason pisteelle, joka ei sijaitse sivulla tai sen jatkeella, on tässä kohdassa piirretty kartio, jossa on perspektiivi.

Steinerin ellipsi on rajattu ja sen pesäkkeiden läpi kulkeva ceviians

Ellipsi voidaan kirjoittaa kolmioon, joka koskettaa sivuja keskipisteissä. Tällaista ellipsiä kutsutaan Steinerin kaiverrettu ellipsi(sen perspektiivi on kolmion painopiste). Kuvattua ellipsiä, joka on sivujen suuntaisten kärkien läpi kulkevien viivojen tangentti, kutsutaan Steinerin ellipsin rajaamana. Jos affiininen muunnos ("vino") muuttaa kolmion säännölliseksi, niin sen sisäänkirjoitettu ja rajattu Steiner-ellipsi muuttuu piirretyksi ja rajatuksi ympyräksi. Kuvatun Steiner-ellipsin polttopisteiden läpi piirretyt Cevians (Skutin-pisteet) ovat yhtä suuret (Skutinin lause). Kaikista rajatuista ellipseistä rajatulla Steinerin ellipsillä on pienin alue, ja kaikista kirjoitetuista ellipseistä Steiner-kirjoitetulla ellipsillä on suurin pinta-ala.

Brocardin ellipsi ja sen tarkkailija - Lemoinen piste

Kutsutaan ellipsiä, jonka polttopisteet ovat Brokarin pisteissä Brocardin ellipsi. Sen näkökulma on Lemoinen piste.

Piirretyn paraabelin ominaisuudet

Kiepertin paraabeli

Piirrettyjen paraabelien perspektiivit sijaitsevat rajatulla Steinerin ellipsillä. Piirretyn paraabelin painopiste on rajatussa ympyrässä, ja suuntaviiva kulkee ortosenterin läpi. Kutsutaan paraabelia, joka on piirretty kolmioon Eulerin suuntaviivalla Kiepertin paraabeli. Sen perspektiivi on rajatun ympyrän ja rajatun Steinerin ellipsin neljäs leikkauspiste, ns. Steiner piste.

Cypertin hyperboli

Jos kuvattu hyperbola kulkee korkeuksien leikkauspisteen läpi, se on tasasivuinen (eli sen asymptootit ovat kohtisuorassa). Tasasivuisen hyperbolin asymptoottien leikkauspiste sijaitsee yhdeksän pisteen ympyrällä.

Muutokset

Jos kärkien ja jonkin sivuilla olevan pisteen läpi kulkevat suorat ja niiden jatkeet heijastuvat suhteessa vastaaviin puolittajiin, niin myös niiden kuvat leikkaavat yhdessä pisteessä, joka on ns. isogonaalisesti konjugoitu alkuperäinen (jos piste oli rajatulla ympyrällä, tuloksena olevat viivat ovat yhdensuuntaisia). Monet merkittävien pisteiden parit ovat isogonaalisesti konjugoituja: rajatun ympyrän keskipiste ja ortosentti, sentroidi ja Lemoinen piste, Brocardin pisteet. Apollonius-pisteet ovat isogonaalisesti konjugoituneet Torricelli-pisteisiin, ja sisäympyrän keskipiste on isogonaalisesti konjugoitu itseensä. Isogonaalisen konjugaation vaikutuksesta suorat menevät rajatuiksi kartioiksi ja rajatut kartioviivat suoriksi viivoiksi. Joten Kiepert-hyperboli ja Brocard-akseli, Enzhabekin hyperboli ja Euler-viiva, Feuerbach-hyperboli ja piirretyn ympyrän keskipisteviiva ovat isogonaalisesti konjugoituja. Isogonaalisesti konjugoitujen pisteiden ihonalaisten kolmioiden rajatut ympyrät osuvat yhteen. Merkittyjen ellipsien kohdat ovat isogonaalisesti konjugoituja.

Jos symmetrisen cevianin sijasta otamme cevianin, jonka kanta on yhtä kaukana sivun keskeltä kuin alkuperäisen kanta, niin myös sellaiset ceviaanit leikkaavat yhdessä pisteessä. Tuloksena olevaa muunnosa kutsutaan isotomiakonjugaatio. Se myös kartoittaa viivat rajattuihin kartioihin. Gergonnen ja Nagelin pisteet ovat isotomisesti konjugoituja. Affiineissa muunnoksissa isotomisesti konjugoidut pisteet siirtyvät isotomisesti konjugoiduiksi pisteiksi. Isotomiakonjugaation yhteydessä kuvattu Steinerin ellipsi siirtyy suoraksi äärettömään.

Jos kolmion sivujen leikkaamiin segmentteihin piirretystä ympyrästä piirretään ympyröitä, jotka koskettavat tietyn pisteen läpi piirrettyjen ceviaanien tyvien sivuja, ja sitten näiden ympyröiden kosketuspisteet yhdistetään rajattuun ympyrään. ympyrä, jossa on vastakkaiset kärjet, niin tällaiset suorat leikkaavat yhdessä pisteessä. Kutsutaan tason muunnos, joka sovittaa alkuperäisen pisteen tuloksena olevaan pisteeseen isokirkulaarinen muunnos. Isogonaalisten ja isotomien konjugaatioiden koostumus on isorenkaan muunnoksen koostumus itsensä kanssa. Tämä koostumus on projektiivinen muunnos, joka jättää kolmion sivut paikoilleen ja muuttaa ulompien puolittajien akselin suoraksi viivaksi äärettömässä.

Jos jatkamme jonkin pisteen Cevian-kolmion sivuja ja otamme niiden leikkauspisteet vastaavien sivujen kanssa, niin tuloksena olevat leikkauspisteet ovat yhdellä suoralla, ns. kolmilinjainen polaarinen lähtökohta. Ortosentrinen akseli - ortosenterin kolmilinjainen napa; piirretyn ympyrän keskipisteen kolmilinjainen napa on ulompien puolittajien akseli. Piirretyllä kartiolla sijaitsevien pisteiden kolmiviivaiset polaarit leikkaavat yhdessä pisteessä (rajoitetulle ympyrälle tämä on Lemoinen piste, rajatulle Steinerin ellipsille se on sentroidi). Isogonaalisen (tai isotomisen) konjugaation ja trilineaarisen polaarisen koostumus on kaksinaisuusmuunnos (jos pisteen isogonaalisesti (isotominen) konjugoitu piste on pisteen kolmilinjaisella polaarisella pisteellä, niin pisteen kolmilinjainen polaarinen isogonaalisesti (isotominen) konjugoitu pisteeseen on pisteen trilineaarisella napaisella ).

Kuutiot

Suhteet kolmiossa

Huomautus: tässä osiossa , on pituus kolme puolin kolmion, ja , , ovat kulmat makaa vastaavasti vastapäätä näitä kolmea sivua (vastakkaiset kulmat).

kolmion epätasa-arvo

Ei-degeneroituneessa kolmiossa sen kahden sivun pituuksien summa on suurempi kuin kolmannen sivun pituus, degeneroituneessa se on yhtä suuri. Toisin sanoen kolmion sivujen pituudet liittyvät seuraaviin epäyhtälöihin:

Kolmio-epäyhtälö on yksi metriikan aksioomeista.

Kolmion kulmien summan lause

Sinilause

,

jossa R on kolmion ympärille piirretyn ympyrän säde. Lauseesta seuraa, että jos a< b < c, то α < β < γ.

Kosinilause

Tangenttilause

Muut suhteet

Kolmion metriset suhteet on annettu:

Kolmioiden ratkaiseminen

Kolmion tuntemattomien sivujen ja kulmien laskemista tunnettujen sivujen ja kulmien perusteella on historiallisesti kutsuttu "kolmioratkaisuiksi". Tässä tapauksessa käytetään yllä olevia yleisiä trigonometrisia lauseita.

Kolmion pinta-ala

Erikoistapaukset Merkintä

Seuraavat epätasa-arvot pätevät alueelle:

Kolmion pinta-alan laskeminen avaruudessa vektoreiden avulla

Olkoon kolmion kärjet kohdissa , , .

Esitellään pinta-alavektori . Tämän vektorin pituus on yhtä suuri kuin kolmion pinta-ala, ja se on suunnattu normaalia pitkin kolmion tasoon:

Antaa , Jossa , Ovat kolmion projektiot koordinaattitasoihin. Jossa

ja samoin

Kolmion pinta-ala on.

Vaihtoehtona on laskea sivujen pituudet (käyttäen Pythagoraan lausetta) ja sitten käyttää Heron-kaavaa.

Kolmiolauseet

Desarguesin lause: jos kaksi kolmiota ovat perspektiivejä (kolmioiden vastaavien kärkien kautta kulkevat suorat leikkaavat yhdessä pisteessä), niin niiden vastaavat sivut leikkaavat yhdellä suoralla.

Sondin lause: jos kaksi kolmiota ovat perspektiivisiä ja ortologisia (yhden kolmion kärjestä pudotetut kohtisuorat kolmion vastaavien kärkien vastakkaisille sivuille ja päinvastoin), niin molemmat ortologiakeskukset (näiden kohtisuorien leikkauspisteet) ja perspektiivikeskus makaa yhdellä suoralla, joka on kohtisuorassa perspektiiviakseliin nähden (suora Desarguesin lauseesta).